I / TT
tang9 = -\ e"' — e
Par conséquent,
sin (j)
sT-
la P z=z /nCig \l -h 6'*^'
Ce problème s'applique à une pièce d'étoffe homogène, d'une largeur constante, que l'on voudrait soutenir sur deux bâtons fixés horizontalement à la même hauteur, dans des directions parallèles.
annales de Gergonne, t. XiX, p. SSg.
6. Un fil pesant et homogène est attaché par Vune de ses extrémités à un point fixe situé nu-dessus d^un plan incliné, tandis que Vautre extrémité et une portion du fil reposent sur ce plati. On connaît la longueur totale du
l48 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
fily V inclinaison du plan, celle de la tangente à la courbe au point d^ attache, et Von demande la longueur de la portion du jîl qui repose sur le plan.
Soient ABC le fil dont il s'agit, A le point d'attache, BC la partie qui repose sur le plan incliné, l la longueur totale du fil, /' celle de la partie qvii repose sur le plan, a l'inclinaison de ce plan sur l'horizon, et © celle de la tangente à la courbe à l'extrémité A.
L'arc AB appartient à une certaine chaînette; supposons que cette chaînette soit prolongée jusqu'en un point A situé à la même hauteur que le point A, et qu'elle soit décrite par un fil semblable à celui que nous considérons.
Nous disposons les axes, relativement à cette chaînette auxiliaire, comme dans le problème 4, et nous conservons la même notation 5 de plus, nous nommons L le sommet de cette chaînette, et nous comptons les arcs s à partir de ce point.
D'après les formules
ds
la tension au point B est — —•> et les arcs LB, LA sont •^ cosa
respectivement égaux à ctanga, ctangi^.
Ceci posé, la tension au point B est nécessairement égale au poids de la portion de fil BG qui repose sur le plan, estimé suivant la longueur de ce plan.
On a donc
, . mc^
ms;l sma = — - <, cosa
c = l' sinoL cosa,
STATIQUE. î49
l — V r= arc LA — arcLB =i c (tango — tanga)
= / ' sin a cos a ( tang cp — tang a ) , cosacos((i> — a) ^ /cos a
COS y. COS es
7. Une chaîne Jlexible , homogèyiej, mais d'inégale épaisseur, est suspendue par ses extrémités. Déterminer ïa, loi suivant laquelle doit 'varier V épaisseur en chaque point, et la courbe que doit affecter la chaîne, pour que la tension 'varie d'un point à un autre proportionnellement à V épaisseur, ou que la chaîne présente partout égale chance à la rupture.
Conservons les notations du problème 1, et nommons w le rapport constant qui existe entre la masse m rapportée à l'unité de longueur et la tension t.
Les formules (3) et (4) du problème 1 nous donnent
ds T dx}
/« rzz ^ CfJ = WT -— = 5
dx g ds
dx dx'- 1 dx"^
OU
dp
3= iùsdx.
si l'on pose, pour abréger, — = p.
dx
L'intégrale est
vigx z=z arc tang/?,
nous n'ajoutons pas de constante, parce que nous suppo-
dy sons l'origine située au point le plus bas où — - = o.
l5o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si l'on intègre la dernière équation, il vient
J- =r log (COS.W^^)
e cos . w fi-JT = I :
nous n'ajoutons pas de constante par la même raison que plus haut.
Cette dernière équation est celle de la courbe décrite par la chaîne. On voit qu'elle est composée d'une infinité de branches comprises entre deux asymptotes verticales. Nous n'avons à considérer que la branche comprise entre les asymptotes
Portons la valeur de p dans l'équation
ds
m izr ^W :=: WT — — :
m ^ toi =i &3T séc. o)gXy
ce qui fait connaître la tension et l'épaisseur de la chaîne en un point quelconque.
Nous avons encore
dx
ds —
cos . w gx
par conséquent, la longueur d'un arc de la chaîne compté à partir du point le plus bas jusqu'au point (x, y) est
X , I + sin.wF^
s = log : 5- 5
loig I — sxa.wgx et le poids de cet arc a pour valeur
/r d.wgx mgds = z j — — ^ — = Ttang.ug'x.
Le rayon de courbure p est donné par la formule
dx ,
dp dx
Puisque g = a)^(|y,
1 ds i , t ms
p = — =: • sec .tùSX z=. r= 2 ■
' (ù g dx Wg TWg- TW^g''^
d'où l'on voit qu'en chaque point de la chaîne le rayon de courbure est proportionnel soit à la tension, soit au poids de l'élément. On voit aussi qu'au point le plus bas
ce rayon est égal a — •
wg-
FiNCK et BoBiLLiER, AnnaUs de Gergonne, t, XVII, p. 6i.
8. Un fil pesant est attaché par ses deux extrémités en deux points fixes. La masse du fil rapportée à V unité de longueur est proportionnelle ^ en chaque point, au cosinus de V angle que la tangente à la courbe fait avec Vhorizon. Trouver V équation de la courbe.
dx Soient m=z ^ —- la masse correspondante au point
{x, y) et T la tension au sommet de la courbe. La courbe est la parabole
Pg
Jacques Bernoulli, j4cta erudit.; Lips., Jun., Opera^ t. I, p. 449- — Jean Beunoulli, Opéra, t. III, p. 5oi.
9. Déterminer la courbe décrite par un fil pesant, lorsque la masse rapportée à V unité de longueur est proportionnelle à j"^ sin^., n étant positif, et o désignant . Vinclinaison de la tangente sur Vhorizon.
102 MÉCANIQUE IIATI0K:NELLE.
Si Ton pose
m zzz: J3j"sin3.
et si Ton choisit une origine telle, que l'axe des x passe au sommet inférieur de la courbe et que j^ == oo pour a: =: o, ou trouve Féqualion
