I ) T XV

Lorsque n est égal à l'unité, la courbe est une hyperbole. Jacques Bernoulli, Jeta erudit.; Lips., Jun., Opéra, t. ï, p. 449- — Jean Bernoulli, Opéra, t. III, p. 5oi.

10. Un fil pesant décrit une parabole du second degré dont l'axe est 'vertical. Déterminer la loi suivant laquelle varie la masse rapportée à Vunité de longueur.

Soit

j;^ = 2 ay

Téquation de la parabole.

On trouve, par les formules générales,

g si a- -+- X-

Autrement : supposons le fil solidifié entre deux points A et B choisis à volonté. La portion de fil AB est en équilibre sous l'action de son poids et des tensions qui s'exercent aux extrémités -, ces trois forces se coupent donc en un même point. Les deux tensions sont dirigées suivant deux tangentes à une parabole 5 elles se coupent sur le diamètre qui passe par le milieu de la corde des contacts 5 par conséquent, le centre de gravité de la portion de fil AB se trouve sur ce même diamètre vertical 5 c'est-àdire qu'une portion quelconque du fil, considérée en projection horizontale, a son centre de gravité au milieu de sa longueur. Ceci exige que le fil considéré en projection horizontale soit homogène. En d'autres termes, la masse

STATIQUE. 1d3

clu fil rapportée à l'unité de longueur varie en raison inverse du cosinus de son inclinaison sur l'horizontale. C'est ce qu'exprime la formule trouvée précédemment. Jean Bernoulli, Opéra, t. lïL p. 5o4-

11. Un fil pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes situés sur une même ligne horizontale^ et la courbe décrite est une cycloïde. Déterminer, en un point donnée la masse du fil rapportée à V unité de longueur, et trouver le poids de l'arc compris entre le sommet de la cycloïde et le point donné.

Soient

j; = « (w -i- sinw),

j- = « ( I — cosw)

les équations de la cycloïde, et P le poids cherché. On trouve

sec^ - w

12. ïJn jil pesant, de longueur donnée, est attaché par son extrémité en un point fixe A, situé sur un plan horizontal et dépoli, tandis que Vautre extrémité est attachée à un poids posé sur le plan. Entre le poids et le point A est une fente étroite qui permet au fil de pendre librement. Trouver la plus grande distance du poids au point A qui soit compatible avec V équilibre du système.

Soient y. le coefficient de frottement du poids sur le plan, n le double du rapport entre le poids donné et celui du fil, Z la longueur du fil et aa la distance cherchée.

On trouve

;/ , \ 1 I-l-v/p-'(/^H-j)'-f-i 2a = u.l(n H- n.log -, ^

l54 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

13. Un Jil pesant est attaché par ses extrémités a deux clous situés sur une même ligne horizontale . On connaît la distance de ces deux supports. (Quelle doit être la longueur du fil, pour que la pression exercée sur chacun des deux supports soit un mi/iimum ?

Soient 2a la. distance des supports, l la longueur du fil et

l'équation de la chaînette.

Si l'on détermine c par l'équation

aa [-1

ou a

Prenons, par exemple, aa = lo™-, nous trouvons

c=:4",i68... et l=i2"',5']8

Diarian Repositorj, p. 644*

L'équation (i) peut s'écrire

Il s'ensuit que le produit de la longueur du fil par l'écartement des points d'attache est égal à quatre fois le produit des deux longueurs de fil dont les poids seraient respectivement égaux aux tensions de l'extrémité et du point le plus bas.

14. Un fil pesant, suspendu par ses extrémités, décrit une courbe représentée par l'équation

STATIQUE. l55

Trouver le point du fil auquel la masse rapportée à Vunité de longueur est un maximum^ et déterminer la 'valeur de ce maximum.

Les coordonnées du point cherché sont

et la masse correspondante est égale a

Diarian Repository, p. 435.

15. On suppose une chaîne pesante, homogène, dont les bouts sont fixés aux extrémités A, B d^une tringle horizontale. L'un des chaînons, C, est engagé sur la tnngle et peut s^j mouvoir sans frotternent. Démontrer que dans l'état d'équilibre le plus petit des deux festons AC, CB, formés par la chaîne, est égal et superposable à une portion du plus grand.

SECTION III