FIL SOLLICITÉ PAR UNE FORCE CENTRALE
\ . Trouver V équation de la courbe décrite par un fil flexible, dont toutes les molécules sont attirées vers un centre fixe.
Soient APP'B une portion du fil;
S le centre d'attraction 5
PP' un élément infiniment petit du fil-,
PT et P'T' les tangentes en P etP';
O le centre de courbure correspondant à l'élément PP' ; p le rayon de courbure pour le même élément ;
l36 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
r la distance du point P au centre d'attraction 5
p la distance ST du centre d'attraction à la tangente au point P -,
T la distance PT:
"h l'angle des deux tangentes PT, P'T'5
(f l'angle SPT 5
Q l'angle que forme le rayon SP avec une direction fixe ;
s l'arc de !a courbe compté dans le sens APP' B 5
t la tension du fiî au point P -, . F la force attractive au même point, rapportée à l'unité de niasse 5
ni la masse du fil rapportée à l'unité de longueur.
Projetons les forces qui sollicitent l'élément PP', d'abord sur le rayon de courbure PO, puis sur la tangente PT.
Il vient
Ymds%inc^ =: (^ -f- dt) siiiiî/,
Y nids co?,<^ = (f + r//)cosi|> — t.
Comme on doit négliger les quantités infiniment petites d'un ordre supérieur au premier, ces équations se réduisent à
Fmds siny = ti> ,
¥mdscos<f ■=: dt^
ji ^ T -, • , ds di'
ou, a après les relations O; = — et cosco = — ,
' ^ ' ds
[a) Fr?2 sinœ = -■»
[b) Fmdr=dt.
Si l'on considère le triangle OPP' et le triangle semblable formé par TT' et les deux tangentes PT, P'T', on
voit que
T dp ^
■ p ds ^
STATIQUE. iSj
d'ailleurs
T dr
COS cp =: - = -— •
;• as Divisant ces deux équations l'une par l'autre, on trouve
r dp
p dr
On a encore
sinç = -• r
Entre ces deux dernières relations et l'équation (a), éliminons p et sincp ; nous obtenons
„ , dp
F mdr -\- -^ tz=o,
P et si nous retranchons l'équation [b),
dp dt
L'intégrale est
log [tp) =1 const., tp = const. = C;
elle nous montre que le moment de la tension par rapport au centre fixe est le même en chaque point.
On tire de cette formule, en la rapprochant de l'équation (è),
- = JYmdr.
Cette dernière formule peut être considérée comme l'équation de la courbe rapportée aux coordonnées p et /'; mais il sera plus commode de prendre les coordonnées polaires r et 9, qui sont liées aux précédentes par la relation
r-dQ
l58 MÉCAKIQUE RATIONNELLE.
Il vient
ou
Cdr [c) rfS =
C'est réqualion de la courbe en coordonnées polaires, telle qu'elle a été donnée par Jean Bernoulli (*).
La formule [b) fera connaître la tension par une simple quadrature, si l'on a soin d'exprimer F et m en fonction de r.
On remarquera de nombreuses analogies entre ces formules et celles qui conviennent au mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe ; la tension joue le rôle de la vitesse.
Le cas d'une force centrale répulsive n'a pas besoin d'être traité d'une manière spéciale, il suffit de changer le signe de F dans les formules qui précèdent.
2. Uji fil homogène et sans poids, retenu par ses extrémités, est attiré vers un point fixe par une force qui est inversement proportionnelle au carré de la distance. Déterminer la courbe décrite par le fil.
Considérons le point de la courbe où la tangente est perpendiculaire à la force d'attraction. Soient t la tension du fil en ce point, c la distance du point au centre d'attraction, et k la force attractive exercée au même point, rapportée à l'unité de masse.
Conservons pour le reste la notation du problème précédent.
D'après l'équation (Z»), nous avons
:= I Ymdr = f k — mdr ^ !-
const.
(*) Opéra, t. IV, p. 235.
STATIQUE. l5p
Puisque / doit se réduire à t, lorsque /' = c, la constante est égale à t + inkc^ et, par conséquent,
f = T + mkc
Substituons cette valeur dans l'équation (c) 5 il vient
r/ , mkc^y 'Y I
/• ( T + mkc ] /-^ CM
Or, lorsque — = o, nous devons avoir /'= c; il en résulte C = CT, en sorte que, si nous posons
— "5 mAc
l'équation de la courbe se réduit à celle-ci,
ncdr
dQ=
r[[n -+- lY r- — 2. (n -i- i) cr -\- c^ — «^c^j ^
Il convient, pour l'intégration, de distinguer trois cas, suivant que l'on a
/z ^ I , « = 1 , ou n<^i.
Premier cas. 71^ 1.
L'intégrale est
. (n — i) c -h r arc sin ^ h C .
Si l'on compte les angles 9 à partir du rayon vecteur qui est égal à c, on a
i6o d'où
= sin -
si n- —
\/n- — I n cos • ô — I
Deuxième cas. 71 =: i.
L'intégrale est
si l'on admet que Q est nul lorsque ?' = c, on a
Troisième cas. n <^i.
L'intégrale est
X log 1^^^^ '- ^ '-
sj i — n'^ cr+c- — n?c^-\-c\l i—n-
si 9 est nul lorsque ?' = c, on a
d'où
Les trois courbes que nous venons d'obienir ont des asymptotes faciles à déterminer. En effet, d'après le problème 4 , on a
}n kc^ c m kc n -h l
STATIQUE. l6l
Si l'on fait 7' = oo , il vient
ne
c'est la distance du centre d'attraction aux asymptotes des trois courbes. Si l'on fait de même r= ao dans les équations des trois courbes, on trouve, pour la première
courbe,
6=1!:: ■ arc ces — ;
pour la seconde courbe,
e = ±i; pour la troisième courbe,
Ces angles sont les inclinaisons respectives des deux asymptotes sur le rayon qui sert d'origine aux angles Q. Jean Bernoulli, Opéra, t. IV, p. 240.
3. Unjîl homogène et sans poids, retenu par ses extrémités, est soumis à Vaction d'' une force répulsive, émanée d^ un centre fixe, et inversement proportionnelle à la ^."'"^' puissance de la distance à ce centre. Déterminer la courbe décrite par le fil.
Conservons la notation du problème précédent, et admettons qu'au point où la force répulsive est perpendi-
culaire a 1 arc, la tension soit égale a •
Nous obtenons l'équation
(c) =COs(f. — 2)0.
