FIL PLACÉ SUE. UNE COURBE FIXE
1. TJn fil flexible et pesant est maintenu en équilibre sur une courbe située dans un plan vertical. Déterminer, en un point donné, la tension du fil et la pression exercée sur la courbe.
Prenons l'axe des x horizontal, et soient :
P le point donné dont les coordonnées sont x, y,
P' un point infiniment voisin 5
p le rayon de courbure qui correspond à l'élément PP'-
cji l'angle des deux rayons de courbure qui aboutissent aux points P et P' 5
ds la longueur de l'élément PP' ;
m la masse du fil rapportée à l'unité de longueur 5
t la tension au point P ;
R la pression que supporte la courbe au même point P.
Projetons les forces qui sollicitent l'élément PP' sur la tangente au point P. Il vient
(^t -i- dt) cosrf — t^mgds-—^
ou simplement
dt =r mgdy.
Si l'on suppose que l'axe des x passe par le point où la tension est nulle, l'intégrale est
t — mgj .
Projetons les mêmes forces sur la normale au point P Il vient
ms: ds —- -\- ( / + rf^) sin ? =: R c?^ , ds
OU
dx a ^
l64 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
ds et puisque p = — 5 on a
dx t Idx y
R = m^ — ,- H = ms,
* ds ' û """ \ ds
2. JJnJil Jlexihle passe sur une courbe située dans un plan 2)ej'tical, et porte à ses extrémités deux poids égaux } le poids du fil peut être considéré comme nul rvis-à-'vis des poids quil supporte. Déterminer la pression exercée sur la courbe en un point donné.
Conservons la notation du problème précédent, et nommons Q l'un quelconque des poids suspendus aux extrémités.
Si l'on projette sur la normale au point P les forces qui sollicitent l'élément PP', il vient
[t + dt)s\nt^=^Kds=zK^tij^
ou simplement
/' = Rp.
Si l'on projette les mêmes forces sur la tangente au point P, on trouve
(f + f/f)cosy — ^=0, ou simplement
de =z o, t = const .
Or, au point où la tangente est verticale,
t=Q; donc Q = Rp, R=>.
Corollaire. — La pression totale que supporte la courbe est
Soit 0 l'angle des deux normales menées aux points où
STATIQUE. l65
le fil abandonne la courbe. La pression totale aura pour valeur la quantité O^ augmentée des pressions qui s'exercent aux points extrêmes. Ces pressions additionnelles seront nulles, si la tangente en ces points extrêmes est verticale-, dans ce cas, la pression totale est ttQ. EuLER, Noci Comment. Pclrop., 1775, p. 307.
3. Un fil Jlexihle passe auec frottement sut' une courbe située dans un plan 'vertical, et porte à ses extrémités deux poids Q, Q', dont le premier est trop considérable pour que l'équilibre puisse subsister s'il n'y avait pas de frottement; le poids du fil peut être négligé vis-à-vis des poids quil supporte. Quelle relation doit exister entre les poids Q, Q' et le coefiicient de frottement p., pour que le système i^este en équilibre ?
Conservons la notation du problème précédent, et considérons le système lorsqu'il est sur le point de glisser.
Si nous projetons les forces c|ui sollicitent l'élément PP', d'abord sur la normale au point P, puis sur la tangente, il vient
( ^ + rf;) sin œ = R <f^ = R p V ,
[t -\~ dt) OOSip — t -\- }J.Kds =r. o,
ou simplement
? = Rp,
dt H- iiKds r= o.
On tire de ces formules
dt = — (j. - ds,
log^= — p / -'= — p, / c
Pour que les calculs soient plus nets, remplaçons la lettre cj», qui nous représente un angle infiniment petit,
l66 MÉCAJNIQUE RATIONNELLE.
par la différentielle dQ d'un angle 9 compté à partir d'une direction fixe. Nommons Gj , 9^ les valeurs de 9 qui correspondent aux points extrêmes, où le fil abandonne la courbe, en sorte que '^ soit égal à la différence 9^ — 0i . Nous aurons
log^= — p. i <^9 — — p9 4- const. = — p.9 H- C.
Si nous appliquons cette formule aux points extrêmes, il vient
logQ = C — p9,, ]ogQ' = C — ptG,,
d'où il résulte que la condition d'équilibre est
Lorsque le fil est sur le point de glisser, on a
log/' — logQ'=fx(93 — 9),
alors la pression totale exercée sur la courbe est égale à la somme des pressions exercées aux points extrêmes, plus la quantité
CRds= ft-=: f^'\do = q' r^%/'(^^'-^)^9 J J ? Je, Je,
Corollaire. — Si les tangentes à la courbe aux points extrêmes sont verticales, on a
