Une harre homogène AB s'appuie par ses extré
mités sur deux plans inclinés ; elle est en équilibre. Dire si V équilibre est stable, ou s'il est instable.
Nommons 2 /la longueur de la barre, Q son inclinaison
Fig. 3i. sur l'horizon, a, a' les inclinaisons
/ des deux plans CA, CB, et suppo-
^^^^^,,,,«1^-'*''''/^ sons que a' soit plus grand que a.
^^"\^^ /\^ La distance du centre de gravité
j..^>^-..^ — ^g ]^ barre, au plan horizontal qui
contient l'intersection des deux plans inclinés, a pour
expression
sin (a.' — 9) .
/ sm 0 H- 2 / -. — —7 f sin a
sm (a H- a)
[sin (a' — a) sin ô H- 2 sin a' sin a ces 9].
sin ( a' -f a ^
Celte distance sera maximum ou minimum, en même temps que la quantité
sin (a' — a) sin 9 + 2 sin a' sin a cos 9 = m. Or
fin ...
— - = sin (a — a) cos 9 — 2 sm a sm a sm 9, f/9 ^ ^
et cette dérivée doit être nulle pour que l'équilibre ait lieu; par conséquent,
sin (c// — a) tang9 = — / , . — '.
1 sin a sin a
Puisque le second membre est positif, Q est plus petit
que -• Ceci posé, la dérivée seconde
d- Il • , , y • • • l
— — = — sm (a — a ) sm 9 — 2 sm a sin a cos 9
est négative pour une valeur de 0 inférieure à -*, donc l'équilibre est instable.
4. Une lame carrée et homogène KLMN est soutenue par unjilqui est attaché en deux points K', L' situés sur une arête de la lame, à égale distance des extrémités ^ tout le système est supposé par un crochet C qui s^engage dans le Jil. Déterminer les circonstances de V équilibre. On néglige le poids du fil.
Soient G le centre de la lame 5
GH une perpendiculaire à K'L'-,
B l'angle que celte perpendiculaire fait avec la verticale 5
u le double de la distance du point G à l'horizontale qui passe au crochet ;
^ et (f' les inclinaisons des fils CK' et CL' sur la verticale;
c le côté du carré j
a la distance K'L' des deux points d'attache;
/ la longueur totale du fil;
^ et V les longueurs des parties CK' et CL'.
La Géométrie nous donne
Il z= c CCS 9 -\-l COScp + y ces (p',
a ces 9 = X sin ij) -1- )/ sin <f' , a sin 9 = X cos<p — 1' ces œ', X + V = /; d'où, si l'on élimine W,
(1) Uzrzc CCS 9 H- )l (cOS <û — COS y' ) + / CCS ^',
(2) «cos9 = ). (sinçp — sin^') -+- /sinç',
(3) asin9 =X (cosy -f- COScp') — /cosy'.
Telles sont les trois équations qui lient la fonction u et les quatre variables ç, c^', Q et 1.
On peut considérer op, f' comme des fonctions de Q et de A, et regarder u comme une fonction des deux variables indépendantes 0 et X; alors, dans la position d'équilibre, les dérivées totales de u par rapport à X et par rapport à 9 seront séparément nulles.
Occupons-nous d'abord de la variable 1. Si nous différentions les équations (i), (2), (3) par rapport à cette variable, il vient
fr\ ^"- r -, ■ ^'? /, ^\ • /^?'
(4) o = — 1= cosij) — cos^^^ A sinçp —^ — (/ — À) sin(j> -7^5
(5) o = sinij) — sin<f' + >. ces® — I + (/ — 1) cos^' —^5
rt À et A
(6) o =cosa) + cos^' — Xsin ç -^ + (/ — !X)sin(p'— ^^
et A Cl A
Ajoutons les équations (4) et (6), puis retranchons les mêmes équations. Il vient
A smip— Y = cosç,
dm'
[l — >.) sin(j)' — ^ = — costp^,
ou
da ^-=:COt,ï.,
Reportons ces valeurs dans l'équation (5), et nous trouverons
sin çp = sin ij)', y = çp';
c'est l'une des conditions de l'équilibre.
Considérons maintenant la variable 0. Si dans les équations (i), (2), (3) nous introduisons la condition ^5»=^',
ces équations deviennent
U = C COS 0 -h l COS ff,
a COS 9 = Isxn çp,
« sin 6 = ( 2 X — /) COS çp ;
on en tire aisément la valeur de u en fonction de la seule variable 0,
«r=ccos9 + \Ji'— a^cos'Q,
et, par suite,
du . a' sin 9 ces 9
0=-;-=: — csin9H — — ,
^^ 6 = 0 ou Q =± arc cos
De là il résulte que, si l'on a /<C - \a^ + c^, il existe trois positions d'équilibre :
Q = o, ij) z= (j)'=: arcsin -y 1 = 1';
cl c
Q = arc COS == t ^ = y' = arc sin
cl c
arc cos — . 5 ç = q>' = arc sin
Si l'inégalité / -^ - \/a^ 4- c^ n'est pas satisfaite, la première position d'équilibre existe seule.
Premier cas. l<C-~ sjo^ + c^.
Lorsque 0 = o, les dérivées - — -, - — sont positives, et
leur produit surpasse ( -77—7^ ) 5 par conséquent l'équilibre est instable. D'ailleurs u est une fonction continue
de 9 5 d'où il suit que, si l'on fait croître la variable 0 d'une
manière continue, on rencontrera alternativement un
maximum et un minimum de la fonction. Les positions
déterminées par les valeurs 0 = ± arc cos — — ' sont
a s/d' H- c^ donc des positions d'équilibre stable.
Deuxième cas. /^ - \/a^ H- c^ .
T n ^ .. , . , d' U d^ II. , .
Liorsque y = o, les dérivées -—- ■> — — sont négatives, et
^ ' dk^ d^^ & ?
leur produit surpasse ( j \ par conséquent l'équi-
libre est stable.
5. Deux points pesants, P, P', réunis par un fil sans poids, sont placés sur la surface coiiwexe d'un cylindre horizontal. Déterminer la position d^ équilibre, et dire si V équilibre est stable ou sHl est instable.
Il est clair que tout le système doit être situé sur un même cercle vertical.
Soient P et P' les poids des deux points, ^ et c&' les angles que les rayons menés à ces points font avec la verticale, et ce l'angle sous-tendu par le fi].
La position d'équilibre est définie par l'équation
tang--^=--^tang-,
et l'équilibre est instable.
6. Un point matériel est attiré vers deux centres fixes, par des forces proportionnelles à la /n."'"' puissance de sa distance à chacun de ces centres. Dire dans quel cas l'équilibre est stable, et dans quel cas il est instable.
L'équilibre est stable si m, est positif, il est instable si m est négatif.
7. Un solide de révolution , homogène j repose par son sommet sur le sommet d^un autre solide de révolution, dont Vaxe est également vertical. Le premier corps est tout entier au-dessus du point de contact, le second corps est au-dessous. On nomme r et r' les rayons de courhure des deux surfaces au point de contact.
Démontrer que l'équilihre du premier corps sur le second est stahle, instahle ou indifférent^ selon que la hauteur du centre de gravité du premier solide au-dessus du point de contact est inférieure, supérieure ou égale
8. Un disque elliptique, homogène et très-mince est placé dans un plan vertical sur deux appuis^ situés aux extrémités de deux diamètres conjugués et placés à la même hauteur. Démontrer que le disque est dans une position d^ équilibre instahle.
9. Un solide homogène est formé d'une demi-sphère et d^un cône, dont la base coïncide avec celle de la demisphère. Trouver la plus grande hauteur que peut avoir le cône, le solide étant assujetti à la condition d^être en équilibre stable, quand on pose le sommet de la demisphère sur un plan horizontal.
La hauteur cherchée est égale au produit de y^ par le rayon de la sphère, et par conséquent la section méridienne du cône est un triangle équilatéral.
