THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE MOUVEMENT D'UN SYSTÈME DE FORME INVARIABLE

Euler (*) a démontré le premier qu'un corps solide, mobile autour d'un point fixe, peut être amené d'une position à une autre position quelconque par une rotation autour d'un axe (passant par le point fixe. De là il suit immédiatement que tout mouvement infiniment petit d'un corps solide, libre dans l'espace, peut se réduire à une translation de l'un de ses points, pris à volonté, accompagnée d'une rotation autour d'un axe qui passe par ce point.

MM. Poinsot (**), Chasles et Poncelet ont complété les recherches d'Euler. Ils sont arrivés à définir géométriquement, de diverses manières, le mouvement continu le plus général d'un corps solide.

On trouvera dans ce chapitre une série de théorèmes remarquables énoncés par M. Chasles dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences pour i853, ainsi que diverses propositions éparses dans les écrits de cet auteur.

Nous ne considérerons en général que les mouvements infiniment petits d'un système de fijrme invariable. Toutes

(*) NoviCommentarii Acad. Petrop., 1775.

C**) Théorie nouvelle de la rotation des corps, iSSa.

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nos démonstrations seront fondées sur le principe des infiniment petits, que nous supposerons toujours présent à l'esprit du lecteur. Les points de notre système décriront en général des trajectoires infiniment petites du premier ordre ; les lignes décriront des angles infiniment petits du même ordre. Si un point particulier ne décrit qu'une trajectoire infiniment petite du second ordre, nous conclurons immédiatement que ce point reste immobile : ce qui est tout à fait rigoureux.

i. Considérons une fi'gure plane assujettie à rester dans un même plan, une droite tracée à volonté sur cette figure, et deux points a eib pris sur cette droite. Déplaçons la figure d'une manière quelconcjue. Soient «' et b' les nouvelles positions des points a et b sur le plan fixe, et m le point du plan où se coupent les deux positions de la droite. Nous pouvons supposer les points a et b choisis de telle sorte, qu'avant le mouvement le point b de la droite coïncide avec le point ul du plan, et qu'après le mouvement la nouvelle position a' du point a coïncide avec le point m. Ceci posé, élevons une perpendiculaire sur le milieu de am, et une autre perpendiculaire sur le milieu de mb' -^ ces deux droites se couperont en un point F, centre du cercle circonscrit aux points a, [a', &), b', et il est clair qu'on pourra amener la droite de la première position à la seconde, par une rotation convenable autour du point F. Or la position de la droite détermine celle de la figure. Donc, toute Jigure plane, assujettie à rester dans un plan, peut être amenée dune position donnée à une autre position prise à volonté, par une simple rotation autour d'un point convenablement choisi.

Admettons maintenant que le déplacement imprimé soit infiniment petit. Alors la trajectoire infiniment petite du point a se confond avec la droite aa ou «m, et celle

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du point b avec la droite hb' ou nib' -^ par suite^ le mouvement de la droite ab est en réalité une rotation autour de l'intersection F des normales aux trajectoires des deux points a et b. Or la droite ab entraîne la figure entière dans son mouvement autour du point fixe F 5 en sorte que chaque point de la figure tourne autour de ce point. Il s'ensuit que les normales aux trajectoires de tous les points de la figure passent en un même point F. Ce point se nomme, suivant Euler, le centre instantarié de rotation. Le pied de la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation sur une courbe qui fait partie de la figure est l'intersection des deux positions successives de la tangente à la courbe en ce point, ou, ce qui est la même chose, il est l'intersection des deux positions successives de la courbe.

2. Considérons toujours une figure plane assujettie à rester dans un même plan, et supposons que l'on donne à cette figure un nombre quelconque de positions difTérentes. Marquons dans le plan fixe les points F^ F', etc., autour desquels on doit faire tourner la figure, pour l'amener, par de simples rotations, de la première position à la seconde, de la seconde à la troisième, et ainsi de suite. Marquons aussi sur la figui'e les points/", /', etc., qui sont tour à tour les centres de ces rotations successives, et joignons par des droites les points F, F', etc., et les points de la figure /, /', etc. Il est évident qu'on peut faire passer la figure par toutes les positions données, en faisant rouler le polygone//'. . . sur le polygone FF'. . . .

Maintenant, supposons que les positions données de la figure soient infiniment voisines et infiniment nombreuses. Alors, les polygones//'... et FF'... se i-éduisent à deux courbes, et comme il n'est c[u'un seul mouvement capable de faire passer la figure d'une manière continue

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par toutes les positions données, il en résulte que tout mouvement d'une figure plane dans un plan se réduit au roulement d'une courbe liée avec la figure sur une autre courbe fixe dans le plan. Le point de contact des deux courbes est à chaque instant le centre instantané de rotation.

3. Si, dans le théorème 1, on remplace la figure plane par une figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe, et que l'on remplace les droites par des arcs de grands cercles, on obtient des théorèmes correspondants, et en particulier celui-ci : Tout mouvement infiniment petit d^une figure sphérique sur une sphère fixe se réduit à une rotation autour d^un point de la sphère comme pôle.

4. De là il résulte, comme au théorème 2, que le mouvement le plus général que l'on puisse donner à une figure sphérique assujettie à rester sur une sphère fixe consiste à faire rouler une courbe liée avec la figure sur une courbe fixe tracée sur la sphère.

Si l'on conçoit que la figure sphérique soit liée avec un corps solide retenu par le centre de la sphère, on conclura que le mouvement le plus général d^un corps solide retenu par un point fixe se réduit au roulement d'un cône lié avec le corps sur un autre cône fixe dans l'espace. Ces deux cônes ont leur sommet commun au point fixe, et leur génératrice de contact est à chaque instant Vaxe instantané de rotation.

5. Il suit du théorème précédent que tout mouvement infiniment petit d'un corps solide peut se réduire à une translation rectiligne d'un point O, lié invariablement au corps et choisi à 'volonté, accompagnée d'une rotation autour d'un axe 01 passant par le point O.

On peut encore considéi^er le même déplacement infiniment petit comme résultant d'une rotation autour d'un certain axe FX parallèle à 01, et d'une translation parallèle à cet axe. En effet, si l'on imagine une section faite dans le corps perpendiculairement à l'axe 01, et une figure S tracée sur ce plan, après le mouvement infiniment petit du corps, la projection S' de la figure S sur la position primitive du plan sécant sera une figure identique à la figure S, puisque le plan n'a fait que se déplacer parallèlement à lui-même. Il s'ensuit (ihéor. 1) qu'on peut amener la figure S de sa position initiale à la position S' par une rotation autour d'un certain point F du plan primitif, puis de la position S' à la position finale qu'elle occupe après le mouvement du corps, par une translation rectiligne perpendiculaire à son plan. La figure S entraînant le corps entier dans son mouvement, le corps aura passé de sa position initiale à sa position finale. Le premier mouvement est une rotation autour d'un axe FX parallèle à 01, le second est une translation parallèle au même axe. Rien n'empêclie d'admettre que ces mouvements soient simultanés. D'après cela, tout mow^ement infiniment petit d\in corps solide libre se réduit à un mouvement de rotation autour d\m axe qui glisse sur lui-même pendant cette rotation j de sorte que le mouvement du corps n'est pas auli'e cliose que le mouvement d'une vis dans son écrou.

6. Les positions que Y axe instantané de rotation et de glissement FX occupe successivement dans l'espace forment une surface réglée. Les positions que le même axe instantané occupe successivement dans le corps forment une autre surface réglée. Le mouvement continu du solide peut être considéré comme produit par le roulement de la seconde surface réglée sur la pr^emière, ac-

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compagne dhin glissement le long de la génératrice de contact.

7. Considérons encore un solide qui reçoit un déplacement infiniment petit, et un plan quelconque lié invariablement à ce corps 5 traçons une figure sur ce plan, et examinons le mouvement de la projection de cette figure sur la position primitive du plan. Cette projection reste identique à elle-même; car une ligne de la figure et sa projection ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite par rapport à l'angle des deux directions. Il en résulte, comme au théorème 5, que la projection de la figure tourne dans le plan primitif autour d'un point F.

- Les normales aux trajectoires des points de cette projection passent toutes au même point F. D'ailleurs elles coïncident avec les traces des plans normaux aux trajectoires décrites dans l'espace par les points de la figure primitive; car lorsqu'un plan est perpendiculaire à une droite^, la trace du plan et la projection de la droite sur un même plan sont perpendiculaires entre elles. Par conséquent, un plan étant considéré comme faisant partie du corps, les plans normaux aux trajectoires de ses points passeront tous par un même point de ce plan. INous nommerons ce point \efojer du plan.

Ce qui distingue le foyer d'un plan de tous ses autres points, c'est que sa trajectoire est perpendiculaire au plan.

8. Les points qui appartiennent à l'intersection de deux positions successives du plan ont leurs trajectoires situées dans le plan; car ces points appartiennent à la première position du plan, avant et après le mouvement. Au reste, si trois points non situés en ligne droite avaient leurs trajectoires dans le plan, le plan n'aurait fait que glisser sur lui même. Donc, il existe dans le plan une infinité de points dont les trajectoires sont situées dans