Une conrhe S roule sur une courbe S' et entraîne
Fig. 4/i.
dans son mouvement une courbe S" liée as^ec elle.
Celle-ci enveloppe dans son mouvement une quatrième courbe S'".
Soient :
7", 7'', r", r'" les rayons de courbure des quatre courbes aux points de contact simultanés ;
O, O', O^ O'" les centres de courbure ^
m le point de contact des courbes S, S';
a la distance mm';
6 l'angle OmO".
Démontrer qu'oit a la relation
Le mouvement élémentaire des courbes mobiles S, S" est une rotation autour du centre instantané tîi, qui fait parcourir au point de contact sur chacune des deux courbes deux arcs élémentaires égaux mm^ , mm\ .
Dans ce mouvement, la normale Omi de la courbe S vient se placer sur le prolongement de la normale O'/n', à la courbe S'-, et la normale 0"m^ de la courbe S" vient prendre la direction de la normale 0"'m\ à la courbe S'".
CINÉMATIQUE. 245
Les angles décrits par ces deux normales sont égaux, puisque ces deux lignes sont entraînées dans le même
mouvement de la figure mobile.
L'angle que décrit Om^ est égal à la somme
wO w, -f- mO' m\
OU
mm,
L'angle que décrit 0"mi est la somme mO" /J2, -h mO" m\.
qui a pour valeur
mm, cosQ mm. cosQ
La formule proposée s'ensuit.
Cette formule est due à Savary. Elle exprime que les droites 00'', O'O"' se coupent sur la perpendiculaire élevée au point ui à la droite 0''0''', et donne par là une méthode très-simple pour trouver un des quatre centres de courbure quand les trois autres sont connus.
15. Joint universel ou joint de Cardan. — Un axe A Fis- 45- est terminé par une fourchette dont
} les extrémités sont articulées sur un "1 anneau aux bouts d'un diamètre BC. ' Un second axe A' est articulé de la même manière sur le même anneau aux extrémités d'un diamètre B C perpendiculaire à BC.
Cet assemblage permet aux deux axes de se mouvoir librement dans toutes les directions autour du centre de l'anneau, qui est leur point de con-
cours obligé. Si l'on maintient les axes dans des directions fixes, et que l'on fasse tourner l'un d'eux sur luimême, l'autre devra forcément prendre une rotation qui, en général, ne sera pas égale à celle du premier.
Cherchons la relation qui lie les vitesses de rotation simultanées co, w' de ces deux ax^s A, A' de directions fixes.
Dans ce mouvement de rotation, les points B, B', C, C restent sur la sphère qui a pour centre et pour rayon le centre et le rayon de l'anneau. Les points B et C sont assujettis à se mouvoir sur le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe A. De même, les points B', C'ne peuvent se mouvoir que sur le grand cercle perpendiculaire à l'axe A'. Enfin, les points B, B', dont le mouvement nous fera connaître les rotations des axes, sont assujettis à rester à une distance l'un de l'autre égale au quart d'un grand cercle.
On voit que la question est ramenée au problème suivant :
Un arc de grand cercle BB', égal au quart de la circonjêrence, se meut sur une sphère en appujant constamment ses extrémités sur deux grands cercles fixes PB, PB'. Trouver le rapport des vitesses co, w' de ses deux extrémités.
D'après le théorème 4 du chapitre précédent, le mouvement élémentaire de l'arc mobile est une rotation autour d'un pôle instantané I, qui se trouve à l'intersection de deux arcs de grands cercles perpendiculaires sur les trajectoires BP, B'P aux points B, B'. Les vitesses de ces points sont entre elles comme les distances de ceux-ci au diamètre de la sphère qui aboutit au pôle I :
w sinBI w' sinB'I
CINÉMATIQCE.
Les propriélés des triangles spliériques donnent
sinKI sinBB'I cosBB'P sinB'I ~ sinB'BI " cosB'BP '
et, en nommant |3 et /3' les arcs PB et PB',
Il s'ensuit
cosp = sinp'cosBB'P, cosp'= sinp cosB'BP.
w sin?. p w' sin2p'
On peut exprimer ce rapport eu fonction d'une seule variable j3.
Soit P l'angle BPB', qui est l'angle des axes ou son supplément.
On a
cotp cotp'= — cosP, et, par suite,
0) I — sin^p sin'^P
m' cos P
Ce rapport devient infini quand P devient égal à un angle droit; alors la transmission est impossible.
16. Une figure plane se meut dans un plan; on con~ Fig. 46, naît, à un instant donné, le centre
instantané de rotation C et les centres de courbure O, O' des courbes décrites par deux des points de la figure m, m' . Trouver le rayon de courbure de la courbe décrite par un troisième point m" .
Soient :
O" le centre de courbure de la troisième courbe;
/•, 7', r" ies rayons de courbure O/??, O'/n', O" m" -^ p, p\ p" les distances mC, m'Q^ /r^^'C", c la position infiniment voisine du centre instantané; M, m', u" les angles OCc, O'Cc, O^'Cc.
En exprimant que les arcs décrits sont proportionnels aux longueurs des normales abaissées du centre instantané, on obtient les relations '
r sinH r' siria'
r sinw
Comme on connaît la différence a — «', la première relation fera connaître 11 et u' \ alors on aura la direction Ce et, par suite, l'angle u" . Substituant les valeurs des angles n' et u" dans la seconde relation, on en tirera la valeur du rayon de courbure r" .
On pourra calculer aisément par cette méthode le rayon de courbure de la courbe à longue inflexion et celui de plusieurs autres courbes intéressantes.
Arnoux, Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXV'' Cahier, p. 109.
47. Soient O, O', O" trois circonférences tangentes au même point m, et telles que le rayon de la troisième soit égal à la somme des rayons des deux autres.
Supposons d'abord que les deux premières circonférences roulent successivement et en sens contraires dans l'intérieur de la troisième. Le point ttz, considéré comme appartenant à chacune des circonférences mobiles, décrira la même épicjcloïde dans les deux mouvements.
Supposons maintenant que la circonférence O roule sur l'extérieur de la circonférence O', puis que la circon-
CIJVÉMA.TIQUE, 249
férence O'' roule intérieurement et dans le même sens sur la même circonférence O'. Le point m, dans ces deux mou\^emcnts^ décrira la même épicycloïde extérieure à la circonférence O'. Démontrer ces théorèmes.
Ceci montre cju'on u'a jamais à considérer que deux sortes d'épicycloïde.
