EULER

18. Deux circonférences égales 0,0' se coupent à angle droit, et une droite mobile égale à la distance des centres appuie constamment ses extrémités sur les deux circonférences. Montrer que le point milieu de cette droite décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli, ;-= 2cos2 0, dont les foyers sont les centres des deux circonférences.

Conservons la même circonférence O et la même droite ; mais remplaçons la circonférence O' par une autre circonférence concentrique qui passe au centre de la circonférence O. Alors un point pris sur le prolongement de la droite, à une dis lance de l'extrémité égale à la longueur même de la droite, décrira une lemniscate de Jacques Bernoulli ^ mais cette fois le centre de la circonférence O sera le centre de la courbe, tandis que celui de Vautre circonférence sera toujours Vun des foyers.

On voit par là que la lemniscate est un cas particulier de la courbe à longue inflexion.

Carbonnelle, Bulletin d", l'Acacl. de Belgique, t. XX, u" 5.

19. On suppose deux hyperboles équilatères égales, et qui ont d/'abord la position d^ hyperboles conjuguées. L'une d^ elles restant fixe, on f eut louler V autre sur la première. Alors le centre de Vhyperbole mobile décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli^ dont les foyers coïncident avec ceux de V hyperbole fixe.

On établira ce théorème par la méthode euiployée au n° 4, en montrant que, dans le premier des deux modes de génération indiqués au numéro précédent, le centre instantané de la droite mobile décrit une hyperbole équilatère, soit dans son mouvement absolu, soit dans son mouvement relatif autour de la droite mobile.