CHOC DE SPHÈRES HOMOGÈNES SANS FROTTEMENT
Imaginons que deux sphères homogènes et de même matière, qui se meuvent suivant la droite qui joint leurs centres, viennent à se choquer l'une contre l'autre.
Soient :
7n, m' les masses respectives de ces deux corps *,
II, II' leurs vitesses avant le choc;
p», u' leurs vitesses après le choc; ces vitesses étant comptées positivement dans une direction et négativement dans la direction contraire.
On a toujours Téquation
(A) rn[u—v)z=m'{v' — u').
Si les deux corps sont complètement dépourvus d'élasticité, cette équation suffit pour déterminer leur mouvement après le choc; car ces deux corps, après s'être rencontrés, marcheront ensemble et ne formeront, pour ainsi dire, qu'un seul corps. Quand les corps ont quelque élasticité, il convient de distinguer deux périodes dans la durée du choc : pendant la première les centres de gravité se rapprochent, et pendant la seconde les centres de gravité s'éloignent. Si la pression mutuelle qui s'exerce entre les deux corps a des valeurs égales pendant les deux
périodes pour une même distance des centres de gravité, les corps sont dits parfaitement élastiques., et dans ce cas la seconde équation du mouvement est —
Lorsque les corps n'ont qu'une élasticité imparfaite, comme cela a lieu généralement dans tous les corps de la nature, la question devient beaucoup plus difficile, et l'état actuel de nos connaissances sur les réactions moléculaires ne nous permet pas de la résoudre complètement. Cependant on admet que la quantité de mouvement rendue à l'un quelconque des corps, dans la seconde période du choc, est égale au produit d'une quantité e, comprise entre zéro et l'unité et constante pour un même corps, par la quantité de mouvement qui serait restituée si le corps était parfaitement élastique. Alors ou a l'équation
Cette formule, donnée d'abord par Newton (*), concorde assez bien avec les résultats de l'observation. En effet, d'après une série d'expériences faites par Hodgkinson i^^) , la quantité e ne diminue que lentement à mesure que la vitesse relative des deux corps avant le choc augmente, et même cettequantité estsensiblement constante lorsque la vitesse relative est considérable.
Nous adopterons donc cette formule (B), et nous remarquerons qu'il suffit d'y poser e= i pour avoir l'équation rigoureuse qui convient aux corps parfaitement élastiques 5 tandis que, si l'on y faite=o, on a l'égalité v' = V qui convient aux corps privés d'élasticité. Lenom-
(*) Principia, Axiomata, lex III, schoî.
(**) Reports nf ihe Dristish Association Jor the Advancement oj" Science, vol. III, p. 534.
bre e sera pour nous la mesure de l'élastielté. Il est d'ailleurs aisé de le déterminer expérimentalement pour un corps donné; car^ si nous supposons que u' soit nul et que la masse m puisse être négligée vis-à-vis de la masse ?7z', les équations (A) et (B) nous donnent
i>' — V z=z eu, ç' = u' ^ o; d'où
(C) v= — cu.
C'est-à-dire que le plus petit des deux corps acquerra, par l'effet du choc, une vitesse rétrograde dont le rapport avec la vitesse primitive est égal au nombre e. C'est le cas facile à réaliser d'un corps qui vient choquer un autre corps invariablement fixé sur la terre.
Le plus ancien ouvrage que nous connaissions sur le choc des corps est dû à J. Marc Marci de Crownland {*), médecin hongrois, qui publia à Prague, l'an 1689, un Traité De proportione motus seu régula sphjmica , dans lequel il étudie le choc des corps dépourvus d'élasticité ou parfaitement élastiques. Les lois qu'il adonnées pour ces derniers corps sont précisément celles que Ton adopte aujourd'hui. Cet ouvrage remarquable est cependant tombé dans un oubli général; il parait même qu'il ne parvint pas à la connaissance de Wallis, de Wren et de Huyghfns qui, trente années plus tard, donnèrent à peu près les mêmes lois que Marci. Wallis ('''*) s'occupa des corps dépourvus d'élasticité, Wren (**''') et Huyghens ^***'*'j étudièrent les corps parfaitement élastiques.
(*) MoNTUCLA, Histoire des Mathématiques, t. II, p. [\oQ.
{**) Philos. Trans., 1668, p. 864.
(***) Philos. Trans., 1668, p. 867.
C****) Philos. Trans., 1669, p. q2Ô. — Journal des Sai'ants, mars 1669.
254 MÉCAKIQUE RATIOJNIVELLE.
On peut consulter, sur le sujet qui nous occupe, les écrits de Wallis (^), de KelU (**), de Mariolle (***) et de Smeaton [*^*^].
i . Trois sphères m, m', ni" parfaitement élastiques sont en ligne droite ; le corps m est lancé sur le corps m' avec une 'vitesse donnée. Trouver la masse que doit avoir ce second, corps y pour que la vitesse quil communiquera au corps m!' soit la plus grande possible.
Soient :
m, 77z', m'Mes masses des trois corps; a la vitesse imprimée au corps m:,
V la vitesse de ce corps après le choc dans le sens de la vitesse a \
a' la vitesse qu'il communique au corps m' 5
a" la vitesse que ce corps m' communique au corps m" .
Les formules (A) et (B) nous donnent
et si l'on élimine v^ De même,
Par conséquent,
La question est ramenée à déterminer le minimum de
(*) Mechatiica, pars lerlia, 1671.
(**) Intvoductio ad veram Pliysicaiii, lect. xii, xiii, xiv.
( * ** ) Traité de Percussion.
(***') Philos. Trans., avril 1782.
[\inin' a
DYjyAMIQUE. 255
la quantité
+ 1 im' + m").
Diiïérentioas cette expression par rapport à m' \ il vient
ni 2 ^ ■ ^ ni
m' ' — nini' z= o, ni = \J inni' ,
HoYGHENS, Phil. Trans., 1669, p. 928.
2. Une sphère parfaitement élastique est lancée contre un plan fixe et bien uni, avec une vitesse donnée en grandeur et en direction. Déterminer la grandeur et la direction de la ■vitesse après le choc.
Soient a et t^ les vitesses d'incidence et de réflexion; a et |3 les angles que les directions de ces vitesses font avec la normale. Ces vitesses ont pour composantes parallèles au plan z/sina, t^sin[3, et pour composantes normales i/cosa, t^cosjS.
Puisc[ue le plan est parfaitement uni, le clioc n'altère pas la composante de la vitesse d'incidence qui est parallèle au plan-, on a donc
rsinp z=z II sina.
La composante normale se comportei^a comme si le choc était normal ; en sorte cpa'on aura, d'après l'équation (C)^
t-COSp = U CCS a.
On tire de ces deux équations
c'est-à-dire que la vitesse n'est point altérée par le choc, et que l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
Wallis, Mechon., pars III, De elatere, etc., prop. 2.
a56 MÉCA.NrOUE RATIONNELLE.
3. Deux sphères parfaitement élastiques j animées de vitesses connues en grandeur et en direction, viennent à se heurter. Déterminer les vitesses de ces sphères après le choc et leurs directions.
Soient 77Z, ni' les masses des deux sphères; O, O' leurs centres à Finsiant du choc-, «, a' leurs vitesses avant le choc; AO, A'O' les directions de ces vitesses; a, a! les angles que ces directions font avec la direction 00'.
Décomposons chacune des vitesses a, a' d'abord suivant la ligne des centres 00', puis suivant une perpendiculaire à cette ligne située dans le plan AOO' pour la vitesse a, et dans le plan A'0'0 pour la vitesse a' . Les composantes de la première vitesse seront «cosa, «sina, et celles de la seconde vitesse seront a'cosa', a'sinoc'.
Les composantes perpendiculaires à la ligne des centres ne seront point altérées par l'effet du choc: d'où il suit que le corps m continuera à se mouvoir dans le plan AOO', et le corps ni dans le plan A'0'0.
Les composantes parallèles à la ligne des centres seront modifiées de la même manière que si les deux sphères se mouvaient avant le choc suivant la ligne OO', avec des vitesses égales à ces mêmes composantes acosa, a'coscx.'. Dès lors, si nous représentons par p» et t^' les composantes suivant 00' des vitesses des deux sphères après le choc, nous aurons, d'après les équations (A) et (B),
m (flcosa — '^j = '"' {^' — «'cosa'), v' — p = <7C0Sa — rt'cosa';
d'où
CCS a
ces a'
DYKAMIQtJE. 2.5y
Nommons V et V les vitesses des deux sphères après leur choc et 4>, ^' les angles que les directions de ces vitesses font avec la direction 00'. Nous aurons,
- «^sin^a,
V'2 = c'2H-a'^sin'a'
fang<î>
a sina
, o' sin a'
lauj, V — , •
Keill, Introductio ad veram physicam, lect. i^.
•4. Deux sphères imparfailement élastiques se nieuuejit ai^ec des vitesses données sur une même ligne droite et dans la même direction^ lorsque Vune d'' elles uicnt à heurter contre l'autre. Déterminer les vitesses de ces deux corps après le choc.
Soient m, m' les masses des deux corps, «, a' leurs vitesses avant le choc, u^ u' leurs vitesses après le choc et e leur élasticité commune.
D'après les formules (A) et (B), on a
d'où
ma
m -\- m me [a — o
Maclaurin, Choc des corps, p. 3o. Prix de l'Acad. , t. I.
5. Trouver la somme des forces vives qui animent après le choc les deux sphères considérées dans le pro' blême précédent.
On trouve
, ,. , , ,, mm' il — e^) [a — a'Y
mu' + m't>'-= ma^ -}- m' a'- !^ —- '—
