ÉDIT
258 MÉCAKIOUE RATIONNELLE.
Celte formule montre que, par l'effet du choc, la somme des forces 'vwes diminue d'autant plus que l'élasticité est moins considérable.
6. j4.vec quelle vitesse une bille doit-elle choquer une bille égale, déjà animée d\ine vitesse connue a, pour que le premier coj'ps reste immobile après le choc ?
L'élasticité des deux billes est e.
La vitesse imprimée à la première bille doit être
7. Déterminer les vitesses a et b que doif^ent avoir deux sphères A et B, qui se meui^ent suivant une même direction, pour qu après le choc, le premier corps h. reste en repos, et le second B continue à se mouvoir avec une vitesse connue |3.
V élasticité commune des deux corps, e, et leurs masses m, m! sont données.
Ou trouve
e m ->r ni'
[em' — w) p
•[m -\- m' ) Maclaurin, Choc des corps, p. ^n. Prix de l'Acad., t. I.
8. Une sphère A est lancée contre mie sphère B en repos ^ on veut qu après le choc, la première sphère A reste en repos, et la seconds B se mette en mouvement avec une vitesse égale à la n''""^ partie de la vitesse pri^ mitive du premier corps. Déterminer V élasticité e des
deux sphères et le l'apport — de la masse du second ' ' m
corps à celle du premier.
On trouve
9. Deux sphères parfaileinent élastiques, qui se meuvent suivant une même droite avec des vitesses égales et contraires, ^viennent à se heurter. Quel doit être le rapport de leurs masses, pour que l'une d^ elles reste en repos après le choc?
Soient m' la niasse de la sphère qui doit rester en repos après le choc et m celle de l'autre sphère. On trouve le rapport
10. Des billes en nombre quelconque et de même élasticité sont disposées en ligne droite^ on imprime à la première bille une vitesse connue, dans la direction des autres corps. Trouver la vitesse que la dernière bille recevra.
Soient n le nombre des billes, ni^, m^,..., m„ leurs masses, e leur élasticité commune^, a la vitesse imprimée à la première bille et v la vitesse cherchée que recevra la dernière bille.
On trouve
nji -{- m^ m2~\- ni^ f^n—t -+- '"n
Maclaurin, Choc des corps, p. 54- Prix de l'Acad., t. I.
11. Un nombre quelconque de billes égales, Juxtaposées en ligne droite sur une table bien unie, sont liées entre elles par des fils inextensibles et d^ égale longueuron écarte brusquement la première bille en lui impri" mant une vitesse connue suivant la droite des centres, et Von demande le temps qui doit s^ écouler avant que la dernière bille soit mise en mouvement.
200 MÉCANIQUE KATIGKNELLE.
Soient n le nombre des billes, a la longueur de chacun des fils de jonction et j3 la vitesse imprimée à la première bille.
Le temps cherché est
?i[n — il a
12. Un nombre quelconque de sphères sont rangées en ligne droite entre deux autres sphères de masses connues jn, m'; on imprime à la sphère m une vitesse donnée a, vers la sphère voisine. Trouver quelles doivent être les masses des sphères intermédiaires pour que la vitesse a' communiquée au dernier corps soit un maximum^ et déterminer la limite vers laquelle converge cette vitesse maximum^ lorsque le nombre des sphères intermédiaires croît indéjînùnent.
Tous les corps considérés ici sont paijailement élastiques.
On trouve que la masse de chacune des sphères intermédiaires doit être une moyenne géométrique entre celles des deux sph ères adjacentes ; et si l'on nomme n le nombre des sphères intermédiaires, on obtient entre les vitesses la relation
Lorsque le nombre des sphères croît indéfiniment, ce rapport tend vers la limite — = w — • En effet,
loff-
= I log-^ + - loi? —
en sorte que, si l'on se borne aux deux premiers termes de ce développement, il vient
lim — =: lini ( i — lotr — :
a \ Il -\- i 1 ^ m
log-y
On montrera sans peine que les termes négligés s'évanouissent à la limite.
13. Une sphère dépourvue de toute élasticité vient heurter contre une autre sphère en repos et pareillement privée d^ élasticité • on connaît la "vitesse de la première sphère à l'instant du choc et V angle que sa direction fait avec la ligne des centres. Déterminer la vitesse du premier corps après le choc.
Soient a l'angle donné, a la vitesse de la première sphère avant le choc, v sa vitesse après le choc, m sa masse et m' celle de l'autre sphère.
On trouve
a sm-a H-
14. Deux sphères A, B, de masses égales et animées d^une même vitesse ût, viennent à se heurter de telle sorte qu'à V instant du choc la ligne des centres coïncide avec la direction que suivait la. sphère B-, on connaît V angle a de leurs directions primitives et leur élasticité commune e. Trouver les vitesses des deux sphères après le choc, et déterminer la valeur de f angle cf. qui rend maximum la ^ntesse de la sphère A.
Soient u et v les vitesses des deux sphères A et B après le choc. ♦
On trouve
= y a^[i + tf + (i — e) ces a]- -+- «• sin' a,
p^ = y rt'[l — f^ -h (l -h e) cosa]-.
La vitesse u est la plus grande possible lorsque
ces a = —
IS. Trois sphères parfaitement élastiques A, B, C sont placées aux trois sommets d\in triangle connu. Trouver le rapport qui doit exister entre les masses des trois corps pour que la sphère A, lancée obliquement sur la sphère B, soit réfléchie sur la sphère C et reviemie à sa position primitive.
On suppose qu'à l'instant où deux sphères se choquent la ligne de leurs centres esl perpendiculaire au côté opposé du triangle, et que les diamètres des sphères sont très-petits par rapport aux côtés du triangle.
Soient a, |3, y les angles du triangle qui correspondent aux sphères A, B, C, et /tz, m' ^ m" les masses de ces sphères.
Les relations cherchées sont les suivantes :
m sin [3 m siny
m' sin(a- — y) m" sin ([3 — a)
16. Une sphère en mouvement A vient heurter une sphère en repos B. Déterminer V angle Q que la direction de la sphère A avant le choc doit faire avec la ligne des centres AB, pour que la déviation ^ que cette sphère éprouve dans le choc, soit la plus grande possible. On connaît V élasticité commune aux deux corps, ainsi que le rapport n de la masse de la sphère A à celle de la
sphère B, et Von îie compte l'angle c& que jusqiià 90 degrés.
L'angle cherclié Q est fourni par l'équation
taniïQ
et la valeur correspondante delà déviation est donnée par la formule
tang^=: -^ ^^
