MOUVEMENT DANS LE VIDE
1 . Une molécule est placée en un point duquel émane une force répulsive et proportionnelle à la n''""" puissance de la distance. Déterminer la vitessse dont le mobile est animé lorsqud a parcouru un espace donné et le temps qu'il a mis à parcourir cet espace.
Soient ^ la force répulsive à l'unité de distance et x la distance du mobile au centre des forces.
Ou a
do
V — =r ix.r".
dx '
Si l'on intègre en observant que v est nul lorsque x = o, il vient
Cette équation fait connaître la vitesse du mobile lorsqu'il a parcouru l'espace x.
On a d'ailleurs
dx /2a ~^
dt V n + I
dtzzz\ X "* dx ,
et si l'on prend l'instant du départ pour origine du temps,
I — « y 2pi
EuLER, Mechanica, t. I, p. xaS-
2. Un point matériel est attiré vers un centre fixe par une force inversement proportionnelle à la n'""" puissance de la distance. Troui^er quel doit être le nombre n pour que la vitesse que le mobile acquiert en venant vers le centre d^unc distance infinie à la distance «, soit égale à celle quil aurait acquise en venant
de la distance a à la distance -pa.
Soient i^i la vitesse acquise dans le premier mouvement, t^a la vitesse acquise dans le second mouvement, X la distance du mobile au centre d'attraction et [t. l'attraction exercée à l'unité de la distance.
On a
di> p.
dx x" '
f?:=- — 2U./ — dx
Puisque les vitesses Wi et i^^ doivent être égales,
lr=4«-'— I,
208 MÉCANIQUE RATÎONKELLE.
3. TJn point matériel placé sui^ Vune des diagonales d^un carré, près du centre de cette Jîgure, est attiré vers les quatre sommets par des forces égales et fonctions de la distance. Déterminer la durée des petites oscillations que le point exécute autour de sa position d équilibre.
Soient 2a la longueur d'une diagonale, x la distance du mobile au centre du carré, /' sa distance à chacune des extrémités de la diagonale sur laquelle il ne se meut point, et 'S)[r) l'attraction de chacun des sommets h. la distance r.
On
dt-
— 2 ffl ( /•) — -X- o \a — .7" j — o[^a -T X
Développons le second membre par la formule de Taylor suivant les puissances ascendantes de x. Comme celte distance x est fort petite, nous pouvons négliger ses puissances supérieures à la première. Alors l'équation se réduit à celle-ci :
posant 2 — hç'(rt) ^ K,
ou.
dt-
dx Multiplions les deux membi^es par 2-— et intégrons 5 il
vient
Kx- -r- const. ,
dt '
et si novis nommons (3 la valeur initiale de x,
I dx
dt=i —
V/K VP-^'
f = — z:r arc COS-1
x = [icos(^ v'K^)- On voit, par cette dernière formule, que la distance x oscille entre les valeurs (3 et — jS, et que la durée d'une oscillation est
•4. Deux points matériels A f?i B s^ attirent proportionnellement à leur distance^ ils sojit d' abord maintenus immobiles dans une position donnée, puis on les abandonne à leur attraction. Déterminer leurs positions et celle de leur centre de gravité à un instant donné.
L'attraction de A sur B à l'unité de distance est égale à a' et celle de B sur A est égale à p..
Soient X et x' les distances des mobiles A et B à un point fixe O pris sur le prolongement de la droite BA.
Les équations du mouvement sont ici
Multiplions ces équations respectivement par [i' et par |^t, puis ajoutons les résultats-, il vient
' dt^ ' df
Si l'on prend l'origine du temps à l'instant où le mouvement commence, l'intégrale est. sans constante,
dx d.v'
et si l'on désigne par a, a' les valeurs initiales de x, x', on obtient, par une seconde intégration,
(l) pt'.r -t- u.^' = pt'« H- f*a'.
Retranchons l'une de l'autre nos deux premières équations, et posons
il vient
dz Intégrons en observant que -— est nul lorsque z = a' — a -,
nous obtenons
i dz ■ .
dt^=.
y/p-' + po ^\^d —ay—z'
t = , arc CCS —, — — •
^p/ + pi a — a
ou
(2) x'—x=[a' — a)cos{t sJn' -\- i^).
Les équations (i) et (2) nous donnent
f^' + f^ p' H- fA
]jI a -t- ]Ka' ^' [a' — «'
'(mV-
^^^Af=^cos(.v/p^
DY3NAMIQXJE. 2^71
Soient m, m' les masses des deux mobiles A, B, et x la distance de leur centre de gravité au point O. Nous avons
[m + m') X ^= mx H- m' x'
m f , > ix m — fj.ni
, — («'— rt) COsU\/pt'H-pc}.
Dans le cas où les attractions u. et y.' sont proportionnelles aux masses m' et «z, cette équation devient simplement
d'où l'on voit que le centre de gravité du système reste alors immobile pendant toute la durée du mouvement.
5. Un point matériel, soustrait à V action de la pesanteur, est placé à Vextréiiiité de Vaxe d'un tube cylindrique qui se prolonge indéfiniment-^ les parois de ce tube sont très-minces, et la matière qui les compose est douée d'une force attractive inversement proportionnelle au carré de la distance. Déterminer la vitesse acquise par le point matériel lorsqu'il a parcouru un espace donné sur Vaxe du tube.
Soient /' le rayon du lube, t l'épaisseur des parois, p leur densité, x la distance du mobile à l'extrémité de l'axe et f;t l'attraction de l'unité de masse à l'unité de dislance.
Le volume de la petite portion des parois qui est comprise entre deux plans perpendiculaires à l'axe et dont les dislances au mobile sont 5 et 5 + ds^ a pour expression
l'Krzds-^
l'attraction que cette portion du lube exerce sur le mobile
•X'JI MÉCANIQUE RATIOPÎINELLE.
suivant l'axe est
Q.TtU.Ol'tdS • -•
•* ' '^ SJs^ -\- r- Par conséquent, ^
= 2 7rp.pr
"■ a 7Tpp7'£
dx
Multipliant par 2 — et intégrant,
('■- ^ ^TziJ-^rz log(.r H- y/.r- + 7'-) + const.
On détermine la constante par la condition que v soit nul en même temps que x, et il vient
/ , ^ H- \Jjo- -f- 7-p- = q.Tciipr£ [og- ••
6. TJjie bille pesante est lancée d\ine hauteur de 20 mètres contre un plan horizontal ; elle rebondit de lo mètres, retombe de nouveau et rebondit de 4 mètres. Trouver V élasticité de la bille et la vitesse avec laquelle elle a été lancée.
Soient a la vitesse imprimée au mobile, v la vitesse qu'il possède à la fin de sa première chute et e son élasticité.
Nous avons
c^ = a-H-4og-.
Au commencement du premier bond, la vitesse du mobile sera ev^ et puisque cette vitesse ne devient nulle qu'après une ascension de lo mètres,
DYNAMIQUE. •j.'jZ
Au commencement du deuxième bond, la vitesse sera e^t', et puisqu'elle n'est détruite que par une ascension de 4 mètres,
Ces trois équations nous donnent
e = 4 / ^5 rt =: (/log- ou à peu près 9"", go par seconde.
7. Un point matériel se meut en ligne droite sous r action dhine force attractive dirigée iwrs un centre jîxe et proportionnelle à la ji'^'"" puissance de la distance^ on connaît la vitesse (3 que le mobile acquiert en arrivant à la distance a du centre. Trouver à quelle distance du centre le mouvement a commencé.
Soient [j. l'attraction à l'unité de dislance et z la distance cherchée.
On trouve
EuLER, Mcchan., t. I, p. 109.
8. IJn point matériel tombe sur un centre fixe qui V attire en raison inverse du cube de la distance ; on connaît la dislance initiale a, et V on demande la durée de la chute T.
Si l'on représente par [j. l'attraction à l'unité de distance, on trouve
9. Un point matériel arrive d'une distance infinie "vers un centre fixe qui Val tire en raison inverse du carré de la distance. Déterminer la vitesse que possède le mobile à une dislance donnée du centre.
