VV
RiCCATI, Ib.
, t. VI,
2^6 MÉCANIQUE UATIOKKELLE.
14. On sujypose que dans le piohlèine \1 la vitesse du centre d'action soit uniformément accélérée^ au lieu d^ être constante. Trouver la position du point matériel à une époque donnée.
Si Ton nomme |3 la vitesse initiale du centre d'action el f l'accroissement de celte vitesse pendant l'unité de temps, on trouve
.x=za h p/ -h - //M
— « H ) cos [t sjit.).
RlCCATl, Ib., p. l68.
15. Les données restent les mêmes que dans le problème précédent, à l'exception de la force qui est répulsii^e. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée.
On trouve
.— 'Vy-
RiccATi, Ih., p. 182.
16. TJn point matériel est abandonné en un lieu connu à r attraction d'une plaque mince et indéfinie en tous sens, dont chaque point Vattire en raison im^erse du carré de la distance. Déterminer le temps nécessaire au mobile pour arriver sur la plaque.
Soient e l'épaisseur de la plaque, p sa densité, a la dislance initiale du mobile à la plaque, et p. rattraction de l'unité de masse de la plaque à l'unité de distance.
PTNAMIQUE. 2^7
Le temps cîierché est
17. Un point matériel est placé dans le plan d'un anneau mince et tout près du centre; la densité de Vanneau et sa section normale sont partout les mentes, la matière dont il se compose est douée d'un pouvoir répulsif inversement proportionnel au carré de la distance. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée, et trouver la durée des petites oscillations qu il exécute autour de sa position d'équilibre.
Soient a le rayon de l'anneau, A Faire de sa section normale, p sa densité, / la distance initiale du point matériel au centre, x la distance des deux mêmes points à l'époque f, et p la répulsion de l'unité de masse de l'anneau à l'unité de distance.
On trouve
j: 1= / COS f - \jv: A p^ et la durée d'une oscillation est
18. Un point matériel est abandonné à l' attraction d'un disque mince et homogène, dont toutes les molécules sont douées d'un pouvoir attractif inversement proportionnel au carré de la distance; la position initiale du point matériel est connue, et se trouve sur la perpendiculaire au plan du disque qui passe par le centre de ce corps. Déterndner la 'vitesse acquise parle mobile lorsqu'il arrive à la surface du disque.
Soient p la densité du disque, £ son épaisseur, a sou
278 MÉCANIQUE UATIONNELLE.
rayon, b sa distance initiale au point matériel, et [j. l'attraction de l'unité de niasse du disque à l'unité de distance.
La vitesse cherchée V est donnée par la formule
19. Uîie bille dont on connaît l'élaslicité tombe d\ine hauteur donnée sur un plan liorizonlal. Trouver tout l'espace que la bille doit parcourir avant d^ arriver au repos.
Soient e l'élasticité de la bille et a sa hauteur initiale au-dessus du plan.
L'espace cherché est égal à ^ a.
20. Deux billes parfaitement élastiques sont placées à des hauteurs différentes sur une même verticale j au même instant on les abandonne à leurs poids, elles tombent sur un plan incliné de 45 degrés à Vhorizon , et continuent aussitôt leur route sur un plan horizontal parj'aitemeiit poli qui fait suite au plan incliné. Déterminer la distance que les deux billes doivent parcourir sur le plan horizontal avant de se rencontrer.
Si l'on nomme a et a' les distances initiales des deux billes au-dessus du plan horizontal, la distance cherchée sera
2 sjaa' .
21 . Deux points pesants sont situés à des hauteurs différentes sur la même verticale ; au même instant on abandonne le point supérieur à son poids, et on lance le point inférieur de bas en haut avec une vitesse donnée (3. Déterminer V époque et le lieu de la rencontre des deux points.
DYKAMIQUE. 2^9
Soient a la distance initiale des deux mobiles, x la distance de leur point de rencontre à la position initiale du mobile supérieur et t l'époque de la rencontre, comptée à partir de l'instant où le mouvement commence.
On trouve
sa- a
KuRDWANOwsKi, Mém. de l'Acad. des Sciences de Berlin, lySS, p. 3g4-
22. Un mobile part du point A, sans vitesse initiale, sollicité par une force accélératrice constante a dans la direction X. Jlu même instant un second mobile part du point B, sans vitesse initiale , sous l'action de la force b qui agit dans la direction Y. On demande de déterminer Vinstant ou la distance des deux mobiles est un minimum, et la grandeur de cette plus petite distance.
Les droites X et Y ne sont pas nécessairement dans un même plan.
Soient A' le pied de la perpendiculaire abaissée du point B sur la droite X; B' le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur Y 5 F la force résultante des forces a et b transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point.
La distance des deux mobiles est un minimum après un temps égal à la racine carrée de
akk' + b~Ô^
cette plus petite distance est la racine carrée de
