MOUVEMENT DANS UN MILIEU RÉSISTANT
Lorsqu'un point matériel traverse un milieu résistant, la force retardatrice est une fonction de la vitesse du mobile et de la densité du milieu. La nature de celte fonction ne peut être déterminée que par l'expérience. Dans les recherches mathématiques, pour simplifier les calculs et à titre d'approximation probable, on prend une fonction de la forme Apfl, où p représente la densité du milieu,
12 une certaine fonction de la vitesse du point, et A un coefficient constant qui dépend, pour chaque milieu, de l'adhérence et du frottement des molécules.
Newton et Wallis nous ont donné les premiers travaux mathématiques sur le mouvement des corps dans les milieux résistants. Les profondes recherches de Newton furent publiées en l'année 1687 dans le second livre des Principes. La même année, Wallis, qui de son côté était arrivé à des résultats précieux sur cette matière, communiqua ses réflexions à la Société Royale de Londres, et les fit insérer dans les Transactions philosophiques . Deux ans plus tard, parut dans les Acla erucUtonnn un Mémoire de Leibnitz, où cet illustre géomètre développe ses opinions sur la lésislance des milieux, et déclare les avoir présentées à l'Académie royale des Sciences l'année même des découvertes de Newton. Huyghens aussi s'est occupé de cette question à la fin de son Discours sur la cause de la pesanteur (1690). Tons ces travaux et d'autres encore ont été soumis à l'analyse et discutés avec soin par Varignon, dans une série de Mémoires qui font partie des Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour les années 1707, 1708, 1709, 17 10 et 171 1 . On trouve encore dans le même recueil pour l'année 1731 un beau travail de Bouguer sur le mouvement d'un point matériel dans un milieu qui est lui-même en mouvement.
De toutes ces recherches il résulte que dans le cas des petites vitesses la résistance leur est sensiblement proportionnelle, et que pour les' grandes vitesses elle croit pilus rapidement que leur carré.
1 . Un corps est attiré en raison inverse du cube de la distance^ -vers un centre fixe entouré lai-même d^ une atniosphere dont la densité est inversement proportionnelle au cube de la distance à ce centre^ et dont la ré-
sîstance varie comme le carré de la "vitesse. Déterminer la vitesse du corps à une distance quelconque du centre.
Soient a la distance du mobile au centre à l'instant.où le mouvement commence, x cette distance à l'époque £, h la résistance du milieu pour l'unité de vitesse à l'unité de distance, et [k l'attraction à l'unité de distance.
On a
dt- x^ x^ dt^
OU
d.x d-x 2. y. d.T 2 k dx^
^ 'dt'dF~~ 'x^'dt ~^~^ 'dF'
dt \ dt-
'■\ __ d. I I \ dx' ^^- / I \
l'^^'dt \x^y ~ 'dt' dt Vx^/
Si l'on pose
il vient
dv- H- hv'^ dz z= y.dz, équation qui a pour intégrale
On détermine la constante C par la condition que p- soit nul lorsque o" = a -, alors on trouve
2. Une bille pesante^, parfaitement élastique, tombe d'une hauteur connue sur un plan horizontal, et rebondit plusieurs fois de suite dans un milieu homogène^ dont la résistance est proportionnelle au carré de la
vitesse. Déterminer la hauteur à laquelle la bille s^ élèvera après un nombre donné de réflexions .
On prendra en considération le poids du milieu déplacé par la bille.
Soient «1 la hauteur initiale d'où tombe la bille, et généralement «„^i la hauteur à laquelle elle s'élève après n réflexions. Nommons B le volume de la bille, p la densité de ce corps, p' celle du milieu et k la résistance du milieu pour une vitesse égale à l'unité.
Le poids d'un corps dans un milieu pesant est égal au
poids de ce corps dans le vide moins le poids du milieu
déplacé-, par conséquent, si nous considérons la bille
dans sa descente, et que nous prenions le point le plus
élevé d'où elle descend pour origine de la distance x, nous
aurons
de B^p — Bg-p'
ou, posant ^ ^i — ^ ) =^',
dx.
Intégrons, en observant que p- et x sont nuls à l'instant où la chute commence; il vient
log
Q.k g' — kv-
Ainsi la vitesse Vn du mobile à l'instant de son n''^'"" choc vérifie l'équation
ik ° g' — /■('„ g'
Considérons actuellement l'ascension qui suit ce n"""" choc, et désignons par x la hauteur du mobile au-dessus
284 MÉCANIQUE RATIOMNELLE.
du plan. Nous avons
ou
vdv
— dx,
g' + /.o' équation qui a poui^ intégrale
— - lo<7 IH- — i'- ^k "[ g'
Si l'on considère en particulier l'instant où l'ascension commence, on aura
Posons, pour abréger,
Alors les équations (i) et (2) nous donnent
d'où l'on voitcjue est le «'^""^ terme d'une progres-
sion arithmétique dont le premier terme est — et dont la
raison est 1 unité.
Il s'ensuit
nu, + I
DYJNAMIQlîE. 285
et si l'on remplace Mj, u^^i par leurs valeurs,
I , («H-O = — r loi
Telle est la hauteur du n'^'"" bond.
Quand on suppose que la bille arrive d'une distance
infinie, a^ est infini, et la valeur précédente se réduit à
celle-ci
EuLKR, Mechan., t. I, p. iga.
3. Un centre d'attraction est entouré (Van milieu dont la densité varie avec la distance suivant une loi connue, et dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Déterminer quelle doit être V attraction de ce centre pour quun point matériel abandonné à son action emploie toujours le même temps pour l'atteindre, quel que soit le point de départ.
Soient a la distance du centre au point matériel à l'instant où le mouvement commence, x cette distance à l'époque f, F la force d'attraction et p la densité du milieu, laquelle est une fonction de x.
L'équation du mouvement est ici
ou,
dx
multi
ipliant
par 2e~^
dx
-2/prfx^oj
— •ifpda
ir- Z^ 2
On détermine la constante par la condition que p» soit nul lorsque x = a\ alors, si Ton pose, pour abréger,
0 Jo
il vient
P= s/A-Xe-fp^'^, e~J'P'^''dx
dt =:
Posons encore
nous aurons
dx
dX dt
P y/A — X etla durée de la chute du corps sera donnée par la formule
dX
Py^A — X
Puisque le second membre doit être indépendant de la distance initiale, ou, ce qui est la même chose, indépendant de A, il faut que la quantité comprise sous le signe J' soit du degré o en A, X et ^ZX. Pour qu'il en soit ainsi,
P doit être une fonction homogène et du degré - par rapport à X et Aj mais, d'après l'équation (i), P est indépendant de A, donc la seule valeur qui puisse convenir à cette quantité est
P désignant une constante.
Ceci posé, l'équation (i) nous donne
et comme X et a: sont nuls en même temps,
Elevons au carré, puis remplaçons X par sa valeur; nous trouvons
XX V" nx ~] 2
e -^fp ^"^ F dx rrz / e-fp^dxl'
De la différentielle de cette équation,
e-fpd^dx,
on tire la valeur cherchée,
F = 7— cfp '^^ / e-fP ^^dx.
Lorsque p = o, ce qui est le cas du vide parfait,
Lorsque p est une constante, ce qui est le cas d'un milieu homogène,
EuLER, Médian., 1. 1, p. 220.
4. TJn centre de forces C est animé d'un mouvement uniforme suivant la direction OPCA5 il repousse en raison directe de la distance un point matériel P qui se
aob MECANIQUE RATIONNELLE.
meut suwcijit la même droite, dans un milieu homogène et dont la résistance est proportionnelle à la "vitesse. Déterminer la position du point matériel à une époque donnée.
Soient a et a' les distances initiales du centre C et du point P à l'origine fixe O , (3 et ji' les vitesses initiales de ces mêmes points, p. la force répulsive à l'unité de distance, A" la résistance du milieu pour l'unité de vitesse et X la distance qui sépare le point P de l'origine O à l'époque t.
Si nous convenons de considérer comme positives les vitesses et les distances comptées dans la direction OPCA, et comme négatives les vitesses et lés distances comptées dans la direction contraire, le mouvement sera toujours représenté par l'équation
qui, si l'on pose peut s'écrire,
dt' ^ dt ^■*
Nous intégrerons cette équation par la méthode commune des équations linéaires.
Substituons la valeur ^= Ae''', dans laquelle A et p désignent des constantes qu'il s'agit de déterminer. Il vient
équation qui a pour racines
par conséquent, l'intégrale générale sera
K = CeP'' -hC'eP"^, c'est-à-dire
a: = a-h^ -hBt-hC eP' + C'cP"^.
Lorsque t est nul, on doit avoir
de là il suit que les constantes C et C" sont déterminées par les deux équations
a' = « + M + C' + C% p' =p-hp'C'-h- p"C".
On trouvera ce problème et plusieurs autres du même genre dans les Mémoires du jésuite V. Riccati, De motu rectilineo corporis attracti aut repulsi à centra mohili^ Disquisitio quarta. Comment. Bonon., t. VI, p. 212-,
5. Un point matériel reçoit une vitesse donnée j3 dans un milieu homogène, dont la résistance est proportionnelle à la racine carrée de la 'vitesse. Déterminer Vépoqiie à laquelle le point s'arrêtera.
Si l'on nomme A la résistance du milieu pour l'unité de vitesse et T l'époque cherchée, comptée à partir de l'instant où le mouvement commence, on trouve
6. Un point pesant est placé dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. Soient t le temps nécessaire à ce point pour acquérir en tombant une vitesse t^, et r le temps qui lui serait nécessaire pour perdre cette même vitesse si on le
