MOUVEMENT QUELCONQUE D'UN POINT MATÉRIEL LIBRE
SECTION I
FORCES SITUÉES DANS UN MEME PLAN ET DIRIGÉES d'uNE MANIÈRE QUELCONQUE.
Considérons un point matériel qui décrit une courbe plane sous l'action de forces dirigées comme Ton voudra dans le même plan. Si nous nommons .r, y les coordonnées de ce point, X la somme des composantes des forces .accélératrices suivant Taxe des x, Y la somme des composantes suivant l'axe desy et t l'époque considérée, toutes les circonstances du mouvement seront contenues dans les équations
Cette méthode, qui consiste à décomposer les forces accélératrices suivant des axes fixes, et ramène ainsi l'étude du mouvement aux formules du mouvement rectiligne, a été donnée pour la première fois par Maclaurin en 1742, dans son Traité des Fluxions (vol. I, art. 4^5 et suiv.). Avant cette époque, toutes les questions étaient résolues par la méthode des composantes tangentielles et normales qui, en général, ne se prête pas aussi bien aux transformations de l'analyse, quoiqu'elle dérive plus immédiatement de la nature même du mouvement curviligne. C'est la marche qu'Euler a suivie dans sa Mécanique, publiée en 1736.
La métliode des composantes tangentielles et normales est fondée sur deux formules utiles à connaître.
Soient :
p* la vitesse du mobile en un point de sa trajectoire;
s l'arc de la courbe qui se termine au même point ;
p le rayon de courbure 5
T la somme des forces qui sollicitent le mobile, estimées suivant la direction de son mouvement;
N la somme des mêmes forces estimées suivant la normale qui se dirige du côté de la concavité de la courbe.
Le mouvement est représenté par les équations
ds
Si l'on remplace dans ces formules — et p par leurs
valeurs bien connues en x, j-, t et leurs dérivées, on obtient deux équations différentielles du second ordre qui sont équivalentes aux équations (A).
1. Un point matériel et pesmit décrit la trajectoire ABCD5 on connaît sa vitesse au point B, estimée suivant une perpendiculaire à la corde BC, et Von demande sa vitesse au point C, estimée suiuant la même direction.
Prenons la corde BC pour axe de^ x^ et la perpendiculaire qui est dirigée de bas en haut pour axe des j. Soient ex. l'inclinaison de la corde sur l'horizon, u la composante connue de la vitesse au point B, et Wj la composante cherchée de la vitesse au point C.
On a
— ^-gcos^.
Si l'on prend l'instant du passage au point B pour ori-
gine du temps, et que l'on intègre deux fois, il vient
dv
—~ = u — s; cos x.t,
dt ^
y =^ ut s; cos oL.t^.
Ces deux équations générales, appliquées au point G de la trajectoire, nous donnent
U^z=^ u — g cosa.^,
et l'on en lire
O = // s cos a . t.
Ainsi, quand un projectile lancé dans le vide coupe une droite donnée en deux points^ il la traverse avec des vitesses dont les composantes perpendiculaires à la droite sont égales et de sens contraires .
2. Un point matériel décrit une parabole autour d"* un centre de forces situé à V intersection de la directrice et de Vaxe. Trouver la force qui sollicite le mobile en un point quelconque de sa trajectoire.
Prenons le centre des forces pour origine des coordonnées, l'axe de la parabole pour axe des x, et la directrice pour axe des j.
Soient p le paramètre, r la distance du mobile à l'origine, et F la force que nous supposerons répulsive.
Le mouvement est représenté par les équations
d'où l'on tire
d^x Yx d^y ^Yj
dx dy
DYNAMIQUE. 2.g^
La constante C représente le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps. D'un autre côté, l'équation de la parabole
nous donne
dr dx
d"^ y dy'^ d"^ .x
•^~dt' '^TF ~'^~dt^^
et si l'on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs, (3) lll^''jl=/^.
^ ' r df ' r
' doc cly
Eliminons — et-j- entre les équations (i), (2) et (3). Il vient
ou, d'après l'équation de la parabole,
Or
3. Un point matériel se meut sous V action de deux centres fixes qui r attirent en raison inverse de la distance avec des intensités égales pour des distances égales. On suppose que la vitesse du mobile est constante. Quelle peut être dans cette hypothèse sa trajectoire?
Prenons pour axe des x la droite qui joint les deux centres, et pour origine le point milieu de cette droite.
Soient 2 a la distance des deux centres, 7'et r' les distances du mobile à ces deux points, et [i. l'attraction à l'unité de distance.
2g6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Les équations du mouvement sont ici
__ ff
dt'
dt'
De plus,
, on a constamment
dx-'
df-
: const
ou, ce qui
revient au même,
dx d^ X dt dt^
dt
d'y dt'
Si dans cette relation on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs tirées des équations du mouvement, on obtient l'équation différentielle de la trajectoire,
dx l a -\- X a — x\ dy ^ j ^ y ^
dt \ r" r' ) dt \r' r
[x -^ a) dx + ydy {x — a)dx -V- ydy
{x ^aY+y' {x — af +j^ ~
L'intégrale est
log[(x + a)^+7^] + log[(x — flp + j'] = const. = logC%
Cette équation exprime que le produit des distances du mobile aux deux centres d'attraction est constant. Par conséquent, si le mouvement uniforme est possible, la trajectoire sera une lemniscate.
Quand on fait C = a, l'équation précédente représente une lemniscate de Jacques Bernoulli. On peut vérifier que le mobile décrira réellement cette courbe d'un mou-
vement uniforme sous l'action des deux centres, s'il est
lancé suivant la tangente avec une vitesse
égale à 2 l/^-
4. Un point matériel est attiré par un centre qui se meut en ligne droite avec une vitesse uniforme, et dont le pouvoir attractif est proportionnel à la distance^ la vitesse initiale du point matériel est dirigée dans un même plan avec la droite que parcourt le centre d^ attraction. Déterminer la position du point matériel à une époque quelconque.
Prenons pour origine la position initiale du centre d'attraction.
Soient a et /3 les projections de la vitesse du centre sur les axes des x et des j., a el b les coordonnées initiales du point matériel, p sa vitesse initiale suivant l'axe des x, q sa vitesse initiale suivant l'axe des j^, et fx l'attraction à l'unité de distance.
A l'époque t les coordonnées du centre d'attraction seront aï et |3f 5 par conséquent, si l'on représente par x elj les coordonnées du point matériel à la même époque, on aura
La première équation peut s'écrire
d"^ ix — a.t) .
— . -\-^[x — CLt)=0.
Sous cette forme on voit tout de suite que l'intégrale est
a: = A cos (f \/fI) 4- B sia (? \/pi ) H- ar.
On détermine les constantes A et B par la condition que pour f = o on ait
dx .r = a et
il vient
.r = a et —-=:»:
dt ^ ■
A=:fl et B=:' =^,
Vf* d'où
X = flcos(? y/p.) H sin (^\/fI) + a.t.
On trouvera de la même manière
j=: ^>cos(^\/pt.) + ^sin(?y/fl) H- ^t.
5. Un point matériel décrit une parabole sous l'action de deux forces : l'une ^ parallèle à Vaxe, est inconnue j Vautre, dirigée suivant la perpendiculaire abaissée sur l'axe, est proportionnelle à la longueur de cette perpendiculaire. On donne la 'vitesse du mobile au sommet de la parabole, et Von demande de déterminer la force inconnue, ainsi que la position du mobile à une époque quelconque .
Soient [3 la vitesse du mobile au sommet de la courbe, p la force perpendiculaire à l'axe pour l'unité de distance, X la force cherchée, et j^^= ^px l'équation de la parabole.
Les équations du mouvement sont
7F = -^^- Si l'on multiplie celte dernière équation par 2 — et que
l'on intègre, il vient
(A.) , |,'=p-pj^
D'un autre côté, l'équation de la parabole nous donne
df dx
^'dt~^~dt'' dj- d'^y d'^x
7r'^^~dF~^^'dF'
et si l'on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs,
Cette équation, jointe à l'équation (A), nous fait connaître la valeur de la force X,
Résolvons la seconde partie du problème. L'équation (A) peut s'écrire
dt~ -^
Prenons pour origine du temps l'instant où le mobile passe au sommet de la courbe, et intégrons \ il vient
? = —= arc sm — -^ >
j= — sin(fv'fx), Vf*
et, par conséquent,
sin' [t\/^)= -~- — [ r — CCS \it y/p}] .
Ces valeurs nous montrent que le mobile oscille de part et d'autre du sommet sur l'arc dont les extrémités
répondent à l'abscisse -— - •> la durée d'une oscillation
étant --=.• Vf*
6. Une petite bille d^une élasticité connue est lancée au-dessus d'un plan horizontal, dans une direction connue et avec mie vitesse donnée. Déterminer les points oit la bille viendra frapper le plan après ses bonds successifs, la vitesse et la direction de la bille à l'instant de ces chocs et les époques auxquelles ils auront lieu. On supposera que la bille est lancée d\in point pris sur le plan horizontal.
Soient:
e l'élasticité de la bille;
Mo la vitesse initiale 5
«„ la vitesse qui anime le mobile immédiatement avant le n"""' choc 5
«0 l'angle que la direction de la vitesse initiale fait avec l'horizon ;
a„ l'angle sous lequel la bille vient frapper le plan horizontal au n'^""" choc 5
f„ le temps qui s'écoule entre l'instant du départ et le
/„ la distance qui sépare la position initiale et le point où le ;2""'« choc a lieu.
La théorie du choc des corps nous donne
K„ cosa„ = H„, ces an i , «„ sin a„ = eUn—\ sin a„i.
Si l'on applique ces équations aux chocs successifs, on
DYNAMIQUE. 3oi
tire de la première
(l) H„COSa„ = «iCOSa, r= ZioCOSao,
et de la seconde
{2) K„sina,i = <?"~' «iSina, =: e"~' «osinaoj
tang a„ = e""~' tang a^ ,
Un z= Kocosao[i + e-("-') tang^ao]^
Ces dernières formules nous donnent la direction et la vitesse de la bille à l'instant du n'^'"^ choc 5 elles nous permettent de déterminer toutes les circonstances du mouvement sur chacun des arcs paraboliques.
D'après les propriétés bien connues du mouvement des projectiles dans le vide, nous avons
tn — ?«! = — w„ sin a„ , S
In — In-l = «„COSa„ {tn — t„-i).
La première de ces équations peut s'écrire, en vertu des relations (2),
( 3 ) /„ — ^«i = - «0 sin «0 e"-' ;
on en conclut
tn = - Uo sin ao [e"-' -{- e"-' + . . . + e H- i),
2KoSinao I — e"
Telle est l'époque du ^2'^'"^ choc.
La seconde des équations considérées, eu égard aux relations (2) et (3), peut se mettre sous la forme
