ul sin 2. Uo
In — /„— 1 = — «0 cosao sm ao £'"""' = e"~' ;
3o2 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
on en tire
ul sinsa,, i — e"
C'est la distance du point de départ au point du Ji''""" clioc. BoRDONi, Memorie délia Societa Italiana, t. XVII, part. I, p. 191 ; 1816.
7. Un point matériel est attiré vers deux axes rectangulaires OX, OY par des forces inversement proportionnelles aux cubes de ses dislances à ces axes. Délerminer sa trajectoire.
Nous supposerons que le mobile est primitivement placé dans le plan des deux droites OX, OY sans vitesse initiale, et nous prendrons ces droites pour axes coordonnés.
Soient rt, b les coordonnées initiales du mobile, et /7z\ 7z* les attractions des axes OX, OY à l'unité de distance.
Les équations du mouveraenl sont
IF ~~ x^'
dt-
elles ont pour intégrales premières
dF-^~^ ' dF-y^'^^'
A et B représentant deux constantes arbitraires.
Si l'on détermine ces constantes par les données initiales, il vient
dx^ / I I \ dy'^ , / 1 î
di' ~"' U' «v' '^f' " Vj' ^'
DYNAMIQUE. 3o3
OU
xdx m} ydy n'- ,
— — dt, -; • = -r- dt.
Intégrons une seconde fois, et nommons A', B' des constantes arbitraires ; nous obtenons
(2) in^fl' — ,2:2=:— ? + A', ir: v/^- — 7' = ^ ^ + B'.
Or, lorsque £ = o, on a
par conséquent, les constantes sont nulles, et les intégrales peuvent s'écrire
x"^ zzz a^ 5 y^ = 0' r— •
Ces expressions de x et de jy deviennent imaginaires
lorsque t atteint les valeurs — ^'> ~'i elles ne peuvent donc
convenir après les époques marquées par ces valeurs. Occupons-nous d'abord de la variable x. Pour avoir son
expression après l'époque ï = — -■> il nous faut revenir
à l'équation primitive (i), et l'intégrer en déterminant les constantes par les circonstances qui se présentent
a 1 époque t = — •
Puisque le temps n'entre pas dans la valeur de — que
l'on obtient par une première intégration, on arrivera encore à l'équation (2),
ZIL \i a} — x"" z= — ^ + A'.
3o4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si l'on y pose « = — et x = o, ce qui est la valeur de x
correspondante à cette époque, on trouve
A' = — flipa,
et comme t doit augmenter lorsque la valeur numérique du radical diminue, il faut prendre A' = — 2a 5 en sorte que l'on a
~ a \Ja'' — jt' = ni'^t — ia^.
Le radical a le signe inférieur lorsque le mobile s'approche de l'axe des y\ il a le signe supérieur lorsqu'il s'en écarte. Elevant au carré, il vient
,.=fi;(,i^u,3^
Cette valeur de a: devient imaginaire lorsque t atteint la
I 1 Ravaleur — -•
On verra de même qu'à partir de cette époque jusqu'à
l'époque t =- —pi la formule qui représente le mouvement
est
et ainsi de suite.
Il résulte de celte discussion que la projection du mobile sur l'axe des x exécute de part et d'autre de l'origine
des oscillations dont la durée commune est — -? et l'am-
plitude ia. Généralement la valeur de x en fonction de£ pour la p''""" oscillation est donnée par la formule
«2 («2 — x-") =[mH — 1 {p — i) fl'p. Ou trouvera de la même manière que la projection du
DYNAMIQUE. 3o5
mobile sur l'axe desj exécute de part et d'autre de l'ori-
ffine des oscillations dont la durée commune est — ? et
l'amplitude ^b. La valeur de j- en fonction de t pour la ^ihne oscillation est donnée par la formule
Si l'on élimine t entre ces deux dernières équations, il vient
an^ls/a- — .x'^ -^ ^{p — 0 ^^J "- ^'"" LV^' — J^' ~'^ ^[9 — ï) ^] •
Cette équation représente la courbe sur laquelle se meut le mobile à l'époque f, pourvu qu'on y remplace p par le nombre entier immédiatement supérieur à
et q par le nombre entier immédiatement supérieur à
«2 n-t H- b"^ ib- " ^ ^'
On pourra construire les courbes qui correspondent aux diverses valeurs simultanées de/? etde<7; les intersections de ces courbes détermineront la partie de chacune d'elles qui est parcourue par le mobile.
On voit par ce problème que, dans certaines questions de dynamique qui admettent toujours une solution réelle, les intégrales des équations du mouvement peuvent néanmoins présenter des quantités imaginaires qui s'introduisent lorsque le temps dépasse une certaine valeur. Cela
