I, 26 ÉDIT
3o6' MÉCANIQUE RATIONIVELLE.
montre que le mouvement ne peut être représenté à toute époque par les mêmes formules. Alors, pour obtenir les formules réelles quil faut substituer aux premières, lorsque celles-ci deviennent imaginaires, il suffit d'intégrer de nouveau les équations primitives en déterminant les constantes par les circonstances qui ont lieu à l'instant oii les premières formules cessent d'être réelles.
8. Un projectile est lancé sous une inclinaison connue a, avec une vitesse telle, que sa trajectoire passe en un point donné A. On sait que la droite qui joint le point de départ au point A fait avec l'horizon un angle ^j et que le corps parcourrait cette droite en n secondes s'il se mouvait uniformément avec la ^vitesse initiale. Déterminer V instant auquel le projectile atteindra le point A.
Le temps qui s'écoule entre l'instant du départ et l'instant cherclié, exprimé en secondes, est éeral à n — -•
9. ^u même instant on laiice deux projectiles dans un même plan vertical, avec des vitesses v et v', sous des inclinaisons a et ex!. Outre le point de départ, il est un second point commun à leurs trajectoires ^ les deux mobiles l' atteindront à des époques différentes. On deïuande l'intervalle T qui sépare ces deux époques.
Si l'on suppose a ^ a', on obtient
„ 2 ce' sin { a — a' )
g c ces a -+- {>' cos a'
10. Déterminer le temps T qu'un projectile emploie à parcourir un arc donné de sa trajectoire parabolique, en fonction des vitesses v et v' aux extrémités de cet arc, de la vitesse v^ au sommet de la parabole, et de l'an-
DYNAMIQUE. 3oy
gle |3 que font entre elles les tangentes aux extrémités de Varc.
On trouve
14. Un point matériel décrit une ellipse sous V action d^une force perpendiculaire au grand axe. Trouver la force qui le sollicite en un point quelconque de sa trajectoire.
Soient
l'équation de l'ellipse, Y la force cherchée parallèle à l'axe desj)^, |3 la vitesse constante du mohile suivant l'axe des X.
Si l'ellipse se réduit à un cercle de rayon a, la force devient
Newton, Principia, lib. ï, prop. S.
RiccATi, Comment. Bonon., t. IV, p. i49' ^7^7*
12. Un point matériel décrit une cjcloïde sous l'action cV une force parallèle à la base. Déterminer la force qui le sollicite en un point quelconque de sa trajectoire.
Soient
X z=z a[i — ces 9),
j=zfl(9-l- sinQ) les équations de la cycloïde, Y la force cherchée parallèle
io8 MÉCAISIQUE RATIONIVELLE.
à l'axe des y, ^ la vitesse constante du mobile suivant Taxe des x.
On trouve
a ( 2 sin Ô ■ — sin 2 Q)
13. XJn point matériel est lancé ai^ec une vitesse connue parallèlement à une droite fixe, vers laquelle il est constamment attiré par une force proportionnelle à la distajice. Déterminer la position du mobile à une époque quelconque^ et trouver V équation de sa trajectoire.
Soient h la distance initiale du mobile à la droite, (3 la vitesse imprimée, /Ji" l'attraction à Tunité de distance. Prenons pour axe des x la droite donnée et pour axe àesy la perpendiculaire qui passe par la position initiale du mobile.
Nous trouvons
X =i?jt, J -= b CCS ( a l ),
d'où
uL.r Y zrzr b CCS ^— •
RiccATi, Comment. Bonon.^ t. IV^ p. i55; 1757.
14. J.es données restent les mêmes que dans le problème précédent, si ce n'est que la force d' attraction varie en raison inverse du carré de la distance. Trouver r équation de la trajectoire.
On trouve
^'pS/b^''--^. (^--'^•'^'^«^ ~7r-;-'- v/^j -!■■
RiccATi, Comment. Bonon., t. IV, p. i5g.
15. Un point matériel est lancé dans la direction OX avec une vitesse donnée |3 5 ce mobile est attiré par une
DYNAMIQUE. 'dog
foi'ce proportionjielle à la distance vers un centre (inaction qui se meut uniformément dans la direction perpendiculaire OY. Déterminer la position du mobile quand son mouvement devient parallèle à 01 .
Soient a la distance initiale du centre d'action à l'origine O, j3' la vitesse uniforme de ce centre, ^} l'attraction à l'unité de distance, et x' , j' les coordonnées de la position cherchée du point matériel par rapport aux axes OX, OY.
16. Ln point matériel primitivement en repos est abandonné à Inaction de deux forces : F une est constante en grandeur et en direction, Vautre est une force répulsive émanée d^un centre fixe et proportionnelle à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque quelconque, et trouver V équation de sa trajectoire.
Prenons le centre de répulsion pour origine des coordonnées, et disposons les axes de manière que chacun d'eux fasse un angle de 4^ degrés avec la direction de la force constante.
Soient x = a^ y = Z' les coordonnées de la position initiale du mobile, [j? la force répulsive à l'unité de distance et y la force constante.
Si l'on pose ■ ' = m^ il vient
équations qui résolvent complètement le problème.
3lO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
17. Une petite bille d'élasticité donnée, lancée dans Fig. 47- une direction connue
au-dessus d^un plan incliné qui passe au point de dépait, parcourt ce plan en bondissant. Déterminer les angles d' incidence et de réflexion aux différents chocs.
Soient e Félasticilé de la bille, i l'inclinaison du plan, «0 l'angle que la direction du mouvement initial fait avec le plan, a„ et (3„ les angles de réflexion et d'incidence au j^ième clioc comptés à partir du plan.
( I — e) e" tangao
tani; a„ =; (? tanff 6„ = ; -.
^ °' I — e — 2 (i — e'')tangi tangao
BoRDONi, Memorie délia Società Italiana., t. XVII, part. I, p. 191; 1816.
i8. Les données sont les mêmes que dans le problème précédent. On demande de troui^er la relation qui existe entre Vélasticité de la bille et les portées de trois bonds successifs mesurées sur le plan, et de déterminer la distance de la bille à son point de départ lorsqu elle commence à glisser en cessant de bondir.
Conservons les notations du problème précédent, et nommons ^q la vitesse initiale. Ri, R2, etc., R„, Rn+i? Rn+2^ etc., les portées des arcs successifs, et S la distance de la bille à son point de départ lorsqu'elle commence à glisser 5 ces distances R,, R2, etc., et S seront positives en remontant le plan et négatives en descendant.
On trouve la relation
R„+, — ( e -f- e^) R„+, -f- e'R,, r= 0 ; d'où l'on voit que les portées des arcs successifs seront les
DYJSAMIQUE. 3ll
coefficients des puissances successives de l'indéterminée z dans le développement de la fraction
R, — [(g-f-ORi — R^jz
suivant les puissances ascendantes de z. Il suit de là, en faisant z = i,
2ï'^sinaoj cosaocos/ sinaosm
ini~j
g'COS^i j I — <? (
et si l'on pose (i — e) coti=: cotjS,
