FORCES CENTRALES

Un point matériel est attiré vers un centre fixe par une force F constamment dirigée vers le centre et variable

3l2 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

avec la distance 5 on prend pour origine le cenlre d'altraction, et l'on nomme :

x, y les coordonnées du mobile ; /' sa distance au centre d'attraction; 6 l'angle que le rayon vecteur r fait avec l'axe des x; P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente au point de la courbe que le mobile occupe 5 p le rayon de courbure ; u la vitesse 5

/'o et ^'o deux valeurs simultanées des quantités /' et 1^5 C une constante.

Alors les équations générales du mouvement sont celles-ci :

dl- r '

d'y ^ Fj-

dt^ r '

On en tire les formules suivantes dont l'usage est trèscommode :

(I) r^d9=:Cdt,

(II) Pp-^C,

(IV) ,-•,= ^-2^ ^Fdr,

DYNAMIQUE. ' 3l3

Si la force centrale, au lieu d'être attractive comme nous l'avons supposé, était répulsive, il faudrait dans toutes nos formules changer le signe de F, et dans la dernière prendre négatif le rayon de courbure.

L'équation (I) montre que l'aire décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps; la constante C est le double de l'aire décrite dans l'unité de temps. L'équation (II) indique que la vitesse est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente. Ces deux propositions, qui se déduisent immédiatement l'une de l'autre, furent établies en premier lieu par Newton dans le livre des Principes (lib. I, prop. i). L'équation (lU) est une conséquence des deux premières. L'équation (IV) montre que l'accroissement du carré de la vitesse ne dépend que de l'accroissement de la distance au centre, quel que soit l'espace parcouru. Cette proposition est encore une découverte de Newton [Principia^ lib. I, prop. 4o). L'équation (V) est due à M. Binet; elle fait connaître la trajectoire lorsqu'on donne la force, ou fait connaître la force lorsque la trajectoire est donnée. L'équation (VI) a été donnée presque en même temps par Clairaut (*) et par Euler (**) 5 elle exprime que la force accélératrice dirigée suivant le rayon vecteur est égale à l'excès de la force centrifuge dans le mouvement, supposé circulaire, sur la force attractive. Cette équation se déduit aisément des formules précédentes; car, en tenant compte de la formule (I), on trouve

C) Théorie de la Lune, p. 2; lySs.

(**) Novi Comment. Petrop., p. i64i i752-[753.

3l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Portant cette valeur dans la formule (V), il vient

équation identique à l'équation (VI), en vertu de la formule (I).

Au reste on comprend très-bien que, si le mouvement était circulaire, uniforme, et que la force F fût égale à la force centrifuge de ce mouvement, l'accélération suivant le rayon vecteur serait nulle. Donc, quand la force F a une autre valeur, l'accélération suivant le rayon vecteur est égale et contraire à l'excès de la force F sur cette force centrifuge.

La formule (VII) fut communiquée sans démonstration par Moivre à Jean Bernoulli, en l'année i^oSj celui-ci lui renvoya la preuve de la formule dans une lettre écrite de Bàle, le i6 février 1706 (*). Voici comment on peut la démontrer.

Nommons cp l'angle que le rayon vecteur fait avec la tangente à la trajectoire. On a

— =: F sinij) (p. 293);

<''=p-, (form. II), ^pSir-T — - ^p

dr , ^ dr , ^ ,

psin^^:/--— smy = P-— (p. 157).

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, il

(*) Voir MoivF.E, Miscell. analyt., lib. VIII, et Jean Bernoulli, Opéra, t. 1, p. 477.

DYNAMIQUE. 3l5

vient

ce qui est l'équation de Moivre.

Laplace a fait une application remarquable de ces formules aux réfractions astronomiques, dans le livre X de la Mécanique céleste.

1 . Un point matériel décrit une spirale logarithmique sous r action d'une force constamment dirigée "vers le pôle. Trouver V expression de la force et la vitesse du mobile en un point quelconque de la trajectoire.

Soit

a logr =3 9

l'équation de la spirale. On sait que la tangente fait avec

le rayon vecteur un angle constant |3, qui est donné par

la formule

tangp = a.

La perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente est

. ^ or

P = /• sm S = -— == -,

dès lors la formule (VII) nous donne

Nous pourrons déterminer la constante C, si nous connaissons la vitesse i^o qui correspond à une valeur donnée To du rayon vecteur. En effet, d'après la formule (II), nous aurons

3l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

d'où

La formule (II) nous donne encore la vitesse en un poiot quelconque de la trajectoire,

Newton, Principia, lib. I, prop. 9.

2. Un point matériel décrit une parabole sous l'in- Jluence d^iin centre d^attracfion placé au fojer de la courbe j lorsque le mobile est à une dista7ice donnée du fojer, la force d'attraction rapportée à V unité de distance est subitement doublée. Déterminer la trajectoire que le mobile va décrire.

Soit p le paramètre de la parabole.

Dans la première partie du mouvement, on a, d'après la nature de la parabole,

I 2 et, si l'on différentie,

P^ dr pr' par conséquent (formule Vil),

pr'

Dans la seconde partie du mouvement,

iQ?

pr-

DYNAMIQUE. 3l7

Cette équation a pour intégrale

■ — = — — H- const.

Si l'on désigne par a la valeur du rayon /' à i'inslant où la force est doublée, et si l'on observe qu'à cet instant la perpendiculaire P est abaissée sur la tangente commune à la parabole et à la nouvelle trajectoire, on aura, pour déterminer la constante,

— = h const. ;

pa pa

en sorte que la nouvelle trajectoire sera représentée par l'équation

pr -2 y pa

pa la 2P ~"7 ''

Celte équation est celle d'uue ellipse dont le grand axe est 2«, le petit axo KJipa^ et dont l'un des foj'ers coïncide avec celui de la parabole.

La distance de ce foyer au point de contact des deux courbes est égale au demi-grand axe de l'ellipse", par conséquent, la parabole touche l'ellipse au sommet de son petit axe, et la tangente commune est parallèle au grand axe. Cette tangente commune, considérée comme appartenant à la parabole, fait avec l'axe de cette courbe un angle dont le sinus est

\lt^

il s'ensuit que l'inclinaison du grand axe de l'ellipse sur

3l8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

l'axe de la parabole est

.in JJL

3. Un point matériel, soumis à r attraction d\in centre fixe, se meut avec ujie vitesse inversement proportionnelle à la n'^'"^ puissance de sa distance au centre. Trouver la loi de F attraction et V équation de la trajectoire.

Soit

l'expression de la vitesse.

La formule (IV) nous donne

si l'on différenlie, il vient

nu?

Telle est la force d'attraction.

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, nous nous servirons de la formule (III). Elle nous donne

lU^'v "^'■'

dr"-' (n — i]dO =

L'intégrale est

Qf-n—l

[n — I ) 9 = arc cos h const. ,

OU, supposant que 6 soit nul lorsque /' = a,

(n — i) 9 = arc ces ( - r"—' ] — arc ces ( — a"-'- ] • Vf* / \P /

Dans le cas particulier où /?= i, l'équation de la trajectoire devient

Lorsque ji = -■> la trajectoire est une section conique.

RiccATi, Comment. Bonon., t. IV, p. 184.

4. Une petite hille, attachée à V extrémité cV un fil très-délié et légèrement extensible^ repose sur un plan horizontal et parfaitement uni^ le fil est tendu dans sa longueur naturelle, et sa seconde extrémité est fixée sur le plan. Le système étant dans cet état, on imprime à la bille une vitesse connue, et dirigée dans le plan horizontal suivant la perpendiculaire à la direction du fil. Déterminer V allongement du fil à une époque quelconque du mouvement, et trouver V équation de la courbe décrite par la hille.

Soient :

r7z la masse de la bille ; a la longueur naturelle du fil 5 Vq la vitesse initiale ;

7' = a -f- X la longueur du fil à l'époque t\ 6 l'angle décrit par le fil 5

p la tension nécessaire pour faire acquérir au fil la longueur « 4- (3.

Puisque la tension est proportionnelle à l'allongement, l'expression générale de cette force sera — • Substituons

cette valeur dans la formule (YI) 5 il vient

d^r /76* par.

~dÔ ~'^~dt' ~ «Tp'

et si l'on a égard à la formule (I),

d'^r C- px 'd^ '~'~r^~'m^'

D'ailleurs^ en vertu de la formule (II),

flCo - - c ; par conséquent,

d'où

d^r a^vl

dC /^

dû "^ (a -\-xy

dx-

a-'-vl

px^ ^

dt-

const.

doc La constante se détermine par la condition que— soit

nul à l'origine du mouvement 5 on trouve qu'elle est

égale à v\.

D'après la nature du fil, .r et j3 sont des quantités fort

petites et du même ordre de grandeur-, nous pourrons

donc sans erreur sensible réduire la valeur précédente

dx"^ de -— à sa partie principale, qui est du premier degré

par rapport à a: et j3. Alors il vient

dx^ „ , / '?■ X \ px?

^ m p dx

si-

/w S / pa

arc ces I i '-—-

DYMAMIQUE. 32 ï

Nous n'ajoutons pas de constante, car x et t sont nuls à l'origine du mouvement.

Ainsi nous obtenons

^'—WiiS

On voit par cette valeur que le fil reviendra périodiquement à sa longueur naturelle, après des intervalles de temps dont la durée est

Cherchons maintenant l'équation de la courbe décrite. La formule (I) nous permet de substituer dQ à ^/idans l'équation (A). Il vient

dx^

r'' fnA'ix p^^\

~~ C'\ n mp]

(f + ■»■')' /^fo-^

px'

~ «'fo V «

r?ip

OU, dans notre degré d'approximation,

= 9,av

pa'

pn-

npv\ pa

Telle est l'équation de la trajectoire.

Cette courbe est formée d'ondulations égales et disposées