QUESTIONS DIVERSES
1 . Considérons un système rie points matériels soumis à des forces et à des liaisons quelconques.
Soient :
m, mj, mt, etc., les masses^ a, at, At, ctc^, les positions à l'époque t\ i? ii> ^fi etc., les positions à Tépoque t-^- dt\ ^9 ^1) ^1) 6lc*) l^s positions qu'auraient les mêmes points à Tépoque t + dt^ si pendant Tinstant dt ils eussent été libres de toutes liaisons, les forces extérieures restant les mêmes.
Les distances c&, Ci &i, c, &,, etc., mesurent les déviations instantanées dues aux liaisons.
Ceci posé, proposons-nous de démontrer que le mouvement d'un sy^stème de points matériels^ Lés entre eux d'une manière quelconque, s'opère à chaque instant de telle sorte, que la somme des produits que l'on obtient en multipliant la masse de chaque point par le carré de sa déviation instantanée due aux liaisons, est inférieure à celle que l'on trouverait en supposant qu'à l'époque
t-^-dt les points aient d'autres positions (3, (3t, (3„ etc., compatibles av^ec les liaisons.
DaDs le mouvement réel, les forces perdues à V époque t
sont
bc bi r, bj c,
Or ces forces doivent se faire équilibre en verlu des liaisons; par conséquent, si nous donnons aux points du système des déplacements virtuels b^, &i /^i , &s P« ) • • • • nous aurons, d'après le principe des vitesses virtuelles,
^m'bc.'b^cos{cbp)^^
D'ailleurs,
rp =zcb -^bp —ibcbpcoslcbp);
donc la différence
Vmcp —^^/ncb =:^^fnbp —^7.\^mbc.bpcos(cbp)
est toujours positive-, c'est-à-dire que la somme relative aux déviations réelles, ^^nicb , est inférieure à la
somme ^^mc(i , relative à tout autre système de déviations compatibles avec les liaisons.
U suit de là que, dans le cas où les mouvements libres ne peuvent exister par suite de conditions nécessaires, ces mouvements sont modifiés parla nature, de la même ma nière que le calculateur appliquant la méthode des moindres carrés modifie les nombres observés, lorsquMls se rapportent à des grandeurs qui sont assujetties à des relations nécessaires.
Gauss, Journal de Crclle, t. IV, p. 232.
2. Considérons un système de points assujettis à des II. 2* ÉDiT. a
l8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
liaisons quelconques et un second système semblable au premier quant à la disposition et quant aux liaisons. Soit a le rapport de similitude linéaire entre les deux systèmes. Supposons de plus que j3 soit le rapport des masses entre les points homologues^ et y le rapport des forces semblablement dirigées qui agissent sur les points homologues dans la position initiale et dans les autres positions semblables. Dans ce cas, le mouvement des deux systèmes sera semblable, c^est-à-dire que les points homologues décriront des courbes semblables dans des temps proportionnels ; le rapport des temps sera
et celui des vitesses
En effet, nommant m la masse d'un point, et X, Y, Z les forces motrices qui le sollicitent parallèlement aux axes, nous pourrons représenter le mouvement du premier système par Téquation
étendue à tous les points de ce système. Si nous supposons que le second système soit homothétique au premier par rapport à Torigine, ce qui ne nuit point à la généralité, nous pourrons représenter le mouvement du second système par Téquation
DYNAMIQUE. ig
étendue à tous les points. Or cette équation coïncide
avec la première quand on y remplace dt par Kl^dt.
Cela suffit pour la démonstration.
Mais pour se rendre pleinement raison de ce théorème, il faut observer qu'il entre dans les questions de Dynamique trois quantités tout à fait indépendantes, l'espace, le temps et la masse, et deux autres quantités qui dépendent des premières, la vitesse et la force. La vitesse est proportionnelle a Tespacc parcouru et en raison inverse du temps. La force est proportionnelle à la masse, à la vitesse communiquée, et en raison inverse du temps, ou, ce qui revient au même, la force est proportionnelle à la masse, à l'espace qu'elle fait parcourir, et ea raison inverse du carré du temps.
Les unités de longueur, de temps et de masse sont tout à fait arbitraires^ par conséquent les équations qui proviennent d'une question de Dynamique ne peuvent être altérées quand on multiplie respectivement les longueurs, les temps et les masses par des nombres à volonté a, e etjSj pourvu que l'on multiplie en même temps les vitesses et les forces par les nombres y; = -» et y = — •
Le théorème qui nous occupe est dû à Newton (Pnncipiaj lib. Il, prop. 3'i). Il constitue une vfaie théorie de la similitude en Mécanique, laquelle, comme Ton voit, résulte de l'homogénéité des équations par rapport aux trois espèces de quantités qui y figurent. Quelques applications feront sentir son importance théorique et pratique.
Deux points matériels égauXy attirés vers un centre fixe par une force proportionnelle à la n'^'"* puissance de la distance^ partent sans vitesse, Vun d^une distance tf, r autre d^une distance a' . Leurs distances au
QO MÉCANIQUE RATIOKMELLE.
centre (Vattraclion seront proportionnelles après des temps dont le rapport est
En effet, donc
Si 71 = I, les distances seront proportionnelles après des temps égaux et, par conséquent, les mobiles arriveront en même temps au centre d'attraction (**),
L'application suivante a été signalée par M. J. Bertrand (***).
Supposons qu'il s'agisse de prévoir, par des expêliences en petit, la valeur d\me invention mécanique dont la réalisation sur une grande échelle serait trop coûteuse. Il s'agira, par exemple, d'une locomotive, et l'appareil construit sera a fois plus petit que la machine projetée.
Le rapport des masses scia a', celui des forces dues a la pesanteur sera de même a}\ par conséquent le rapport des autres forces qui agissent sur les deux systèmes doit aussi être a'. De là il résulte que le rapport des vitesses sera ^a comme le rapport des temps, et le rapport des travaux a*. Examinons séparément les différentes forces qui se trouvent en jeu. Les pressions de la vapeur sur
( *) EcLER, Mechanica, t. I, cap. lit, § 3o8.
(*') ^EWTO!^, Principitt^ lib. l,prop. xxxviliy cor. i,
{***) Journal de rÉcole Poljtichnique, XXXII*' Cahier, p. lî
DYNAMIQUE. ai
les pistons devant être dans le rapport de a' à Tunité, les tensions rapportées à des surfaces égales devront être dans le rapport de a à Tunilé. Les résistances dcFair étant proportionnelles aux surfaces et aux carrés des vitesses, elles se trouveront naturellement dans le rapport voulu de a' à Tunîté. Les frottements de glissement, étant proportionnels aux pressions, se trouveront aussi dans le même rapport. Eufîn les résistances au roulement (*), étant proportionnelles aux pressions et en raison inverse du diamètre des roues, se trouveront dans le rapport de a* à l'unité, lisseront donc trop grands dans le petil système; on devra tenir compte de cette différence, qu'il est difGcile d'éviter.
Savart a reconnu, par de nombreuses expériences, que si Von prend pour mesure du son rendu par un corps solide élastique le nombre de vibrations exécutées pendant V unité de temps, ce son varie en raison inuerse des dimensions du corps y tandis que ces dimensions croissent ou décroissent dans un rappon donné. Or, comme l'a remarqué M. Cauchy (**), cette loi générale d'acoustique résulte encore deTbomogénéité des équations du mouvement.
En effet, soient deux corps de même nature, dont les dimensions linéaires sont dans le rapport oc. On peut considérer ces corps comme formés d'un même nombre de molécules semblablement disposées et possédant des masses qui sont dans le rapport a'. Dès lors on a diuix systèmes semblables. Si donc les valeurs initiales des déplacements moléculaires nécessaires pour produire des vibratîtes sont dans le rapport a, le rapport de la durée
des vibrations sera -^» y étant le rapport des forces mo-
(*) Voir plus loin, chap. VII, scct. 3.
(*") Mémoires de t Académie des Sciences de Paris, t. IX, p. 117; 1829.
aa MÉCANIQUE RATIONNELLE.
trices. Il nous reste à prouver que le rapport des forces motrices est a*, ou bien que celui des forces accélératrices
est - • Or, si Ton cherche l'expression de la force accélératrice qui sollicite une molécule (or, j^, 2), on trouve qu'elle est une somme de termes formés chacun d'une constante, multipliée par Tune des dérivées partielles du second ordre des variations des coordonnées depuis la position d'équilibre, ces dérivées étant prises par rapport aux coordonnées elles-mêmes ; en sorte que les coordonnées et leurs variations étant multipliées par a, chaque terme se trouvera du degré — i par rapport à a. On se rend compte jusqu'à un certain point de cette expression de la force sans aucun calcul, en considérant une file de molécules; et partant de ce principe, que l'action mutuelle de deux molécules trés-voisines est proportionnelle à l'écartement qu'elles ont subi à partir de leur position d'équilibre, et que cette action est nulle quand les deux molécules ne sont pas très-voisines l'une de l'autre.
On verrait de la même manière que la loi de Savart s'étend aux sons rendus par une masse fluide, contenue dans un espace fini.
3. Soient P e£ P' deux petites billes réunies par une tige rigide et sans poids ; la première peut glisser sur un fil tendu horizontalement entre deux points fixes ^ la seconde repose sur le plan honzontal qui contient le fiL Déterminer le mouvement que prend le système quand on lui impn'me une vitesse connue le long du plan horizontal.
On suppose que les frottements sont nuls et que les billes peuvent être assimilées à des points matériels. Prenons le fil pour axe des a:, et soient : X l'abscisse de la première bille ^ x\ y^ les coordonnées de la seconde*.
DYNAMIQUE. a3
/ la distance des deux billes \ m, m' leurs masses ;
STangle que la droite PP' fait avec l'axe des x. Puisque les forces extérieures sont nulles, on a Téquation
dt^ \ dt^ dt^ '^ )
Or
x'i=ar -4-/C05O, yi=/sinO;
^x' z= ^ jt — / sin 0^0, èx'=l ces 0^0 ;
i^^—— .^'cosO </V f/'sinO
Substituant ces valeurs dans la première équation, et galant à zéro les coefficients des variations arbitraires ixj W, il vient
^, ) (^ H- m' ) — -h m' / -jj^ z= o,
, . . ^(d^x d'cosQ\ r/'sinO
?) — smô ( --- -f- / — — — 1 -h / — — - cosô = o. ^ \di^ dr J dt^
La première équation a pour intégrales successives
dx dB
' ^ ' dt di
(w-f- /ii')x-h/w'/cosô-- A/ -f B,
A et B étant deux constantes.
Soient Xq et do l^s valeurs initiales de x et de d ; |S et tù
celles de — et — -• Ces valeurs détermineront les condi dt
stantes, et l'on trouvera finalement
, J (//i -+- /7i')(a:-- j:o)-I-/w'/{cosO-- cosô,)
( — [(/w -f m')p — /îj7wsinO,]r.
L élimination de la dérivée -— entre les équations (i)
ei (a] fournit une seconde équation,
(m -h m') cosQ— -w sidQ — o,
qui a pour intégrale
^'"^'"^[-dT) -+--(-^j-const., ou
dB^ [ni -h m'cos'O) -— := const.
^ ' dt^
Si Ton détermine la constante par les données initiales, il vient
or. ^ô /
m -h /w'cos'ô«
w'cos'ô
Cette dernière formule donne 6 en fonction de « à Taide d'une intégrale elliptique^ portant cette valeur dans Téquation (4), on aura x exprimé en fonction de t.
L'équation différentielle de la courbe que décrit la bille P' s'obtiendra par l'élimination de dt entre les équations (3) et (5) ; les coordonnées seront alors x et 0, Elle donnera immédiatement x en fonction de 9 à Taide d'une quadrature.
Claibaut, Mém, de rAcad. des Se, de Paris, 1786, p. 10.
4. On suppose trois points matériels^ mobiles dans an plan fixe^ qid s'attirent proportionnellement à la masse et en raison im^erse du carré de la distance. Trouver tous les cas ou le mous^ement de deux de ces points autour du troisième est de même nature que le mouvement relatif de deux points s* attirant seuls suivant la même loi.
Soient :
fA Tattraction de l'unité de masse sur l'unité de niasse à l'unité de distance;
M, m, m' les masses;
6, r, r' les distances mm\ M/w, Mm';
X, y et x'^ y les coordonnées des points m et m par rapport à des axes rectangulaires et de directions fixes, qui se coupent au point M.
Prenons la question de plus haut, en supposant d'abord que Tattraction de Tunitc de masse sur TuDitc de mas5e soit une fonction quelconque de la distance. ReprésentODS cette fonction par f (r).
La force accélératrice qui sollicite le point m a pour composante suivant Taxe des x, supposé fixe,
— My(r) ^ — /wXp) ^-ZJ^ .
Si nous ajoutons à cette force une nouvelle force accélératrice, égale et contraire à celle qui sollicite suivant la même direction le point pris pour origine, nous pourrons considérer Torigine comme fixe, et les équations que nous fournira le principe de d'Alembert, dans cette hypothèse, seront celles du mouvement relatif. Ces équations sont les suivantes :
W % +(MH-m)?(r)^H-,,i'[y(rf-;H-y(p)'^] = 0,
(4) %r +{M+/«')î(0^ -f- m [y (r) l +ç(p)-rlzi2:J^o.
Or, 5i le point m était attiré par un seul point placé à I origine, son mouvement serait régi par des équations de la forme
a6 MÉCANIQUE RATIOBHELLE.
K désignant une constante. Pour que le mouvement soit de même nature dans le système des trois points, il faut donc que Ton ait constamment
?('-')7-+-?(p)*^^=Hç(r)p
H désignant une constante. L^élimiuation de H nous donne la condition
Les équations (3) et (4), traitées de la même manière, nous auraient donné la condition semblable
(-y-rx')[?^-^]=o.
De là résultent deux solutions,
Sans pousser plus loin la discussion du cas général, venons au cas le plus intéressant, celui où y (r) = -î^.
Première solution. p==r = r^\ les trois points sont constamment situés aux sommets d^ un triangle équilatéral.
Les équations (i), (2), (3), (4) se réduisent aux suivantes :
d'où Ton voit que chacun des deux corps m, m' se meut
comme s'il était atlirë vers Torigine par une masse égale â la masse totale des trois corps.
Pour que ce mouvement ait lieu, il ne suffit pas que les corps soient primitivement situés aux sommets d'un triangle équilatéral, il faut encore que les vitesses initiales de deux corps relativement au troisième soient égales et également inclinées sur les droites qui joignent les deux premiers corps au dernier, en sorte qu'on ait au premier instant
fip dr dr'
di~^ dt^ ~dt*
Secoude solution. *- = — ; les trois points sont constamment en ligne droite^ et si le point m' se trousse au milieu,
Ces dernières relations permettent d'écrire l'équation (i) sous la forme
alors on voit que le point m se meut comme s'il était attiré vers l'origine par une force égale à
tt r„ m! m' -\
Or les trajectoires des points m, m', rapportées à des coordonnées polaires dont Torigine est au point M, ont des équations de la forme
F(r, ô)=ro, F{r% Q)=o.
Si ces équations étaient connues, l'élimination de 9 donne-
a8 ' MÉCANIQUE RATIONNELLE.
rait une relation entre les distances simultanées /* et r\
de laquelle on pourrait tirer la valeur de r' en fonction
r' de r. Le rapport — et, par suite, Texpression (6) sont
donc des fonctions de r. D*un autre côté, quand la force attractive est une fonction de la distance, la trajectoire ne peut être une section conique, comme Texige notre problème, que dans le seul cas ou la force est inversement proportionnelle au carré de la distance; donc
— = const.
Soit
d'où
Si Ton reporte ces valeurs dans IVquation (i) ou (5), il vient
Les mûmes substitutions faites dans Téquation (3) donnent
Mais on doit avoir
par conséquent,
M H- /w-hiw'(i 4-/^)M i-h ^\
oa bien
I (M-+-iw')/^»-f-(3M-+-2w')/9^-+-(3M-h/w')/>»
l — (/i/-f-3/w)/?^— (2/7/H-3/II)/; — (//i-+-/w') = o.
Les équations (a) et (4)9 traitées de la même manière, conduiraient à la même relation que doit vérifier la constante />. La valeur de cette constante est donc la racine positive de Téquation (8), laquelle est unique d'après la règle de Descartes.
Eu résumé, les trois mobiles sont toujours en ligne droite, et leurs distances sont dans un rapport constant, déterminé par les équations (7) et (8). Les sections coniques décrites par les points m, m' sont homothétiques par rapport au point M.
Pour produire ce mouvement, il faut des positions initiales qui satisfassent aux conditions précédentes, et des vitesses initiales relatives qui soient parallèles entre elles et proportionnelles à la distance au point M.
Si l'on suppose que M se rapporte au soleil, m' à la terre et m â la lunr, on aura, diaprés les nombres de la Mécanique céleste ( t. III, p. 71 et 1 85),
Ces nombres, rapproches de 1 équation (8), montrent quep sera une petite fraction; on peut donc, sans erreur considérable, égaler le plus grand terme positif au plus grand terme négatif; alors il vient
— 5 ou a peu près p = (*).
(*)M. LioQTiUe a démontré {Additions à la Connaissance des Temps poor i8i{5, et Journal de Mathématiques, i856, p. a/|8) que dans cette so- IbUoo le sTstème rormé parles trois corps est instable; en sorte que, dès
3o MéCAMIQUE RATIONNELLE.
Les deux cas que nous venons d'examiner sont le seuls où iron ait pu trouver toutes les intégrales rigou reuses du fameux problème des trois corps. Ils ont et discutés par Lagrange dans son Essai d^une nous^elle mé thodepour résoudre le prohlème des trois corps, ouvrag qui a remporté Je prix de rAcadémie des Sciences d Paris, en 1772.
5. Un fil flexible, pesant et homogène^ porté par l'uni Fig. 5i . de ses extrémités^ tourne uni
formément autour d*un or»
vertical. Dire si le fil peu conseruer une figure pernta nente^ et quelle est cette fi gure.
Admettons que cette fjgun permanente soit possible, e cherchons à la déterminer.
Le principe de d'Alembert réduit le problème à um simple question de Statique. Trois forces agissent sui chacun des éléments du fil, la pesanteur, et deux ten-
quMl est légèrement troublé, il tend à se déranger de plus en plus d^une manière rapide. Il en résulte que, si ce système avait été réalisé par le Créateur dans le soleil, la terre et la lune, la lumière -de la lune, loin de remplacer constamment celle du soleil pendant les nuits, comme Taffirme La place dans V Exposition du Siystème du monde (Ht. IV, chap. v), aurait été probablement moins fréquente qu'elle ne Test dans Vétat actuel des choses.
Quant au système fourni par la première solution, M. Gascheau (Thèse de Mécanique) a montré qu'il est stable quand on a
M m H- Mm' H- mm'
et seulement dans ce cas. Cette inégalité est satisfaite par le soleil, la terre et la lune.
DYNAMIQUE. 3l
sions dirigées en sens contraires suivant les tangentes extrêmes. Ces trois forces doivent faire équilibre à la force effective dirigée en sens contraire, c'est-à-dire à la force centrifuge; ainsi les moments des quatre forces autoar de Taxe de rotation doivent faire une somme nulle. Les moments de la pesanteur et de la force centrifuge étant nuls, ceux des deux tensions doivent être égaux et de signes contraires; par suite, quel que soit le point du fil que Ton considère, le moment de la tension en ee point doit être égal, en valeur absolue, au moment de la tension a l'extrémité libre, lequel est nul, puisque la tension est nulle i cette extrémité. Cela exige que l'axe soit rencontré par chacune des tangentes à la courbe formée par le fil; d'où il résulte que la courbe est plane. Au reste, si l'on omettait de faire cette remarque dès le principe, l'analyse y suppléerait.
Deux coordonnées nous suffisent. Prenons l'axe des / sur l'axe de rotation, dirigé en sens contraire de la pesanteur, et faisons passer Taxe des x par l'extrémité inférieure du fil.
Soient 0) la vitesse angulaire, T la tension essentiellement positive, et s l'arc compté à partir de l'extrémité inférieure.
Le principe de d'Âlemb^t, appliqué à l'un des éléments du fil, nous donne les équations
La seconde a pour intégrale
IS z=: O.
T ^ = 5^5 -f- const. ;
^2 MÉCANIQUE RÀTIOVBELLE.
et, puisque T et 5 sont nuls à rextrémité,
Multiplions les équations (i) et (2) respect! vement'par-jet — > puis ajoutons les produits, en développant les différentielles et observant que (-1-) "*~(;r) =i«Il vient dT = — w'xdlr -h gdy, T = w' j:^ "+- 57 "*- const.
Soit a la distance de Taxe à Textréniité inférieure. Nous devrons avoir simultanément
x = n^ y = Of T=:o.
Cela nous détermine la constante et nous donne
(4) Trr:~%'-.r^) + ^r.
Pour obtenir Téquaiion différcniicile de la courbe, remplaçons dsj dans les équations (i) et (2), par sa valeur M "+~ ( y ) ^Jy ^^ considérons jr comme la variable indépendante 5 nous pourrons écrire les résultats sous la forme
Retranchant ces équations membre à membre après avoir moltiptié la seconde par^) puis remplaçant T par sa Taleur (4^, ilyient
Cett^ équation différentielle, résolue par rapport à la plus haute dérivée, a tous ses coefficients réels ] par conséquent elle représente une courbe. Le fil peut éfbnserver une figure permanente.
n nous reste à étudier cette figure.
L'équation (3) nous montre que la tension, estimée parallèlement à Taxe de rotation, est égale au poids du fil situé au-dessous du point considéré; T est donc supérieur à gy^ 6t, par conséquent, (4), x ne peut atteindre a. Tétant essentiellement positif, la même équation (3) nous fait voir que y croit toujours quand s augmente. Par là nous pouvons déjà entrevoir que la courbe forme une suite d'ondulations de part et d'autre de Taxe de rotation. Le nombre de ces ondulations est évidemment indéterminé ; il dépend de la longueur du fil et de sa position initiale.
Intégrons Féquatîon (i) à partir de l'extrémité inférieure du fil ; nous aurons
dx r ^ , dx
T -r- == — «' I xds. ou bien T —- = — «'x, j, ds J ds
eD nommant x^ la distance de Taxe au centre de gravité de Tare s sur lequel s*étend l'intégrale. Divisant cette dernière ration par Téquation (3)> il vient
dx fù^x^
Or, si nous supposons que la distance à Taxe soit un 1. a« «DIT. 3
• MÉCANIQUE HATIONJIELLE.
màxi^ium ou un miuimum à rextiéniité de Tare 5, --
sera nul fi ce point-, donc aussi x^ sera nul, c'esuà-dîre que le centre de grauité dujll qui pend au-déhous d'un peint dont la distance à Vaxe est un maximum ou un minimum se trouvée sur l'axe de rotation.
Il est évident que la même chose peut se dire de toute portion de fil dont les extrémités sont parallèles à^Faxe. De là il^uit qu'une telle portion du fil coupe toujours l'axe, * l'on en conclut que la disfltnce de Taxe aux différents points du fil, prise en valeur absolue, n'a pas d'autre minimum que zéro. Ainsi la' forme générale de la courbe est bien telle que l'indique la figure.
De ce que nous venons de dire il résulte, eu égard au théorème de Guldin, que toute portion de la courbe qui est terminée à deux points consécutifs parmi ceux où la tangente est verticale (en y comprenant l'extrémité libre), est divisée par Taxe en deux parties qui engendrent dans leur rotation des surfaces équivalentes. A l'aide de la même relation (5), il est aisé de voir qiîfe plus généralement, 51 /'on considère deux arcs situes tout entiers d^ttn même côté de l'axe ^ et dont les tangentes extrêmes soient parallèles deux à deux, les surfaces engendrées par ces deux arcs sont équii^alentes.
Aux points où la tangente est verticale , — = i ;
donc, en vertu des équations (3) et (4)9 on a pour ces points
dr Puisque -j- est généralement inférieur à l'uni lé et jamais
supérieur, s — y croît avec j^ 5 d'après cela, la dernière relation nous fait voir que, de deux points oà le fil est vertical^ le plus éloigné de l'axe est le moins élevé.
DYffAlilQUE. }5
Ceci y rapproché de ce que nous avons dit sur Taire des dififérentes nappes de la surface, nous montre que la distance de deux intersections consécutiv^es de V axe par la courbe va en augmentant à mesure que l'on s' élevée au-dessus de r origine.
Quand on suit la courbe en partant de son extrémité inférieure, on rencontre les points d'inflexion sur les branches qui se rapprochent de l'axe. En effet, si l'on
pose -7-j = o dans Téquation différentielle de la fourbe,
elle donne
fix w'
La courbe intéressante qui nous occupe ici peut se réaliser à très-peu près en faisant tourner avec la main une chaîne à la fois pesante et flexible.
6. Unjil flexible, homogène et soustrait à la gramlé^ tourne uniformément autour d'une droite fixe sur la^ quelle sont attachées ses extrémités. Dire si le Jil peut consen^er une figure permanente , et quelle est cette figure.
Od montrera d'abord que la courbe, si elle existe, doit être une courbe plane \ puis, prenant l'origine à l'une des extrémités du fil, et l'axe des y suivant l'axe de rotation, on arrivera à l'équation diflérentielle
<ix = ± "''"
dans laquellea et i sont des constantes positives, et a <:^£. Cette équation représente une courbe réelle 5 et, comme les constantes sont indépendantes de la vitesse angulaire, la forme de la courbe ne dépond pas de la vitesse angulaire^ elle dépend seulement de la longueur du fil, de la distance de ses extrémités et de sa position initiale.
38 MÉCANIQUE IIATIOIINELLII,
le poids P H- p des^^ndra avec la vitesse ^
les poulies Ai, A,,... A„, descendront avec les vitesses
Si VoT\ réunit les extrémités des col'dons auxquels nous avons supposé attachés les poids P, aP, . . . a"'~*P, et qu'on suspende à cette extrémité commune un poids égal à (2" — 1) P, on pourra maintenir ce poids en équilibre en appliquant à l'extrémité libre du premier cordon une puissance égale à P.
Ainsi, pour un tel système ^ n poulies employé à soulever un poidsir le rapport de la résistance à la puissance est 2" — 1 5 tandis que pour un système de moufles le rapport de la résistance à la puissance n'est égal qu'au nombre n des poulies.
Van MuscHENBEoscRy Introductio ad philosophiam naturalcm, Mec, § ^6.
8. Les équations générales du mouvement d^un point matériel libre, \ ^
-TT — X. = 0, —— - — YirrO, — — ; — Z =r O,
dl^ . fUi ^ dt^ '
peuvent s écrire
A [ dx\ X
d^Yd^j-i;^''^
d.l dx\ Y • .. ^ ■
ds\ds) V
on le reconnaît aisément* si Von observe que i^ = -- .
DTNAHIQtlC. ^ , ^9 '
Ces dernièrqjs équations, comparées aux équations gé-jk Dératés de Téquilibre d'un Gl flexible (t. I, p. iSj),
nous donnent le théorème suivant :
ei:
loi
•ou-
LDt
Un point matériel sollicité par les forces accéléra^ trices\^ Y, Z, fonctions des seules cçorrlonnées, aiàk^ur trajectoire et pour vitesse v la courbe d^ équilibre et la tension d'un fil flexible qui serait Sollicité par les forces
ffHf mtf mv
m étant la masse du fil rapportée à r unité de tffnffKkur; pourvu, toutefois, quen un point donné , commun {wx deux courbes, la vitesse du point soit égale à la tension du fil et de même direction.
Réciproquement, un ^l flexible j dont la masse rapportée à t unité fte longueur est m, et qui est sollicité par les forces X', Y', Z', rapportées à r unité de masse, a poiir forme d'équilibre et pour tension t la trajectoire et la vitesse d'un point matériel sollicité par les forces X = — mtlL\ Y = — mi Y', Z = — mt TJ , pourvu quen un point donné, commun aux deux courbes^ la tension du fil et la vitesse du point soient égales en grandeur et en direction.
Exemples. — i^ Un point pesant, lancé de Torisine des coordonnées dans la direction horizontale de Taxe
*4o M MÉCANIQtiK RÀTIONliELLE.
A»8 X avec la vitesse S^agy décrit la parabole
avec la vitesse vf = i/- (a'-f-xM.
y fl ^ ta
Il s'ensuit qu'un fil flexible, sollicité de bas eu haut
par la force^erticale
f sja} H- x^
* décrit la même parabole, pourvu qu'il passe à l'origine des coordonnées, que sa tangente en ce point soit horizontale, et que la tension y soit égale à sfâg. Alors sa tension en un point quelconque est
^Mfi spmmes arrivés directement au même résultat, 1. 1, p. iT5a.
^° On sait qu'un fil flexible, homogène et pesant, en équilibre, décrit la chaînette
et que, sa tension au point le plus bas (x = o,^ = a) étant représentée par t, sa tei^ion en un point quelconque est
Il en résulte qu'un point matériel, lancé horizoïttalcmept du point (a: = o, j^ r= a) avec la vitesse t, el sollicité par une force verticale, dirigée de As en haut,
égale à
décrit la même chainette.
3** Le théorème qui nous occupe peut s'employer pour trouver les équations générales qui, dans le cas d'un fil en équilibre, répondent aux diverses équations générales du mouvement d'un point. On trouvera, en nommant s Parc, t la tension et S la force appliquée, estimée suivant la tangente à la courbe, qu'à Téquation des forces vives ' répond l'équation
Sds^
opik l'équation des aires répond l'équation
tr^d^ = Cds,
r étant le rayon mené du centre de forces à la courbe, et C désignant i|pe constante (t. I, p. i58).
Enfin, au principe de la moindre action^ exprûpé par la formule
^. I mvds := 0,
répohdtla formule
ê. j(ds=:o.
C'est-à-dire que, si l'on intègre entre deux points cboisil à volonté le produit de l'arc élémentaire par la^ tension qu'il supporte, la somme obtenue est inférieure à telle qu'on obtiendrait de la même manière entre les deux mêmes points extrêmes, après que, par de Auvelles liai"» sons, on aurait assujetti le fil à décrire une nouvelle coirbe sous Tinfluence des mêmes forces.
4 a MÉCANIQUE RÀTIOIVIIELLE.
