MOMENTS D'INERTIE
On nomme moment d'inertie d*un <^rps par rapport à un axe, la soi:ninç des produits que l'on obtient en multipliant ]a masse de chaque ml>léculc par le carre de sa distance à Taxe.
Si Ton désigne par M la masse du corps entier, et par h une ligne convenablement déterminée, on ponrra mettre le moment d'inertie sous la forme MA'; alors la ligne k est ce que Ton nomm^l^ rayon de'^iration du corps autour de l'axe considéré. ^ ^ Euler s'est servi le premier du terme moment dHnertie; voici comment il s'en explique (*) : a Ratio hujus deno- » minationis ex similitudine motus progre«sivi est de- » sumpta : quemadmodum enim in motu progressivo, si a » vi secundum suam directionem sollicitante ac^eferetur, )) est iiicremeiJtum celeritatis ut vis sollicitans divisa per M massam seu irierliam; ita in motu giratorio, quoniam ^ loco ipsius vis sollicirantis ejus momentum considerari
)) qporiet, eam expressionem | r'rflVI, qua; loco inertiae
V in calculum ingredi tur, momentum inertiœ appellemus, » ut increnventum celeritatis angularis simili modo pro- » portionale fiât momento vis sollicitantis diviso per mo- » mentum inertiœ. )>
' {*àTheoria motus corporum solidorum, cap. V, ^167.
DYSAMIQUE. 43
Soieut k et k' les rayons de giration d'un corps autour de deux droites parallèles L et U, a la distance de ces droites, x' la distance d'une molécule dfM à un plan mené par la droite U perpendiculairement au plan des deux droites L et L', cette distance étant comptée positive du côté de la droite L. On a généralement la relation
M/-' = M(fl»-f-)t'^)— 2fl Çx'd^.
Quand la droite U passe au centre de gravité, le dernier terme disparait et Ton a simplement
Par un point pris à volonté dans l'intérieur d'un corps traçons des droites en nombre quelconque, et sur chacune de ces droites îportons une longueur égale & la valeur inverse de la racine carrée du moment d'inertie relatif à cet axe. Les«xtrémités de ces longueurs seront toutes suc^la surface d'un même ellipsoïde. Si nous prenons l'origine des coordonnées à l'origine des droites, et si nous posons
d = ^^jrzdVL, e=J^Jza:dM, f^^J^rd^^.
les intégrales s'étendant au corps entier, l'équation de l'ellipsoïde sera ^
(V) (b H- c)x»H- (c-f- a)jr^-^{a-\'b) t»— idyz — lezx — ofxy =r — .
Cet ellipsbïde a été nommé par M. Poinsot ellipsoïde * central du corps par rapport au point pris pour origine des droites.
Considérons l'un quelconque de% axes coordonnés,
44 MÉCANIQUE RATiOMNELLE.
l'axe des x par exemple. Si Ton a e = o etf=^ o, on dit que Taxe des x est un axe principal d'inertie relativement au point pris pour origine des coordonnées, et le moment d'inertie relatifs cet axe se nomme moment d^inertie principal. En tout point du corps passent trois axes principaux d'inertie; ces axes sont dirigés suivant les axes de Tellipsoïde central relatif à ce point, et par conséquent ils se coupent à angle droit.
1. Trouver le rayon de giration d*une lentille biconvexe, homogène autour d^une parallèh à l'axe de révolution. On suppose la lentille terminée par deux surfaces sphériqucs égales, ♦
tl nous suffit de considérer une seule des deux lentilles plan-convexes dont Tensemble forme la lentille proposée. Soient :
r le rMyon de la surface sphérique \ ^
a la flèche de la lentille plan-convexe -, i le rayon de la base \ M la masse; p la densité;
h et k' les rayont de giration autour de Taxe proposé et iiutour de l'axe de révolution; c la distan^ de ces deux axes.
Commençons par déierminejp le rayon k'^. Pour cela considérons d'abord une tranche infiniment mince et perpendiculaire à l'axe. Si nous nommons j'Je* rayon de cette tranche et %: sa distance au sommet de la lentille, le moment d'inertie de la tranche autour de Taxe de révolution sera *
OTNAMIQUB. 45
De là il résulte ^
i /^r^a^ Ara* a»\ Or on a
par conséquent,
Mit'»- ' X. [^i^i±j!)i ^'i^'-^^') ^ «n
o.io '
et, puisque M = ^7rp(a'-f- 3«i'), on a
,j I fl<-f-5û'A*-f-io^* Maintenant il est aisé de calculer A', car
EuLEE, Theoria motus corporum solidorum, cap. YI, prob. 4^*
2. Étant donnés une pyramide homogène à base (juelconque et trois axes rectangulaires OX, OY, OZ passant au sommet, conce\fons que Von ait joint le centre de grauité G de l'aire de la base à un sommet A du con^tour poljrgonal de cette aire et au milieu B d 'un côté adjacent. Si F on nomme M la masse de la pyramide fWangulaire qui aurait pour base le triangle GAB et pour sommet le sommet O de la pyramide donnée^ p, /, a les longueurs OG, GB, BAj px» Ix^ ^x leurs projections sur
le plan YOZ j et que Von indique par le signe V une
somme relative à toutes les pyramides triangulaires telles que la pyramide OGAB, dont r ensemble constitue la pyramide donttétj le moment d'inertie de ce dernier corps autour de taxe OX sera représenté par la formule
Il s'agit de démontrer ce résultat,
Di^^s tout de suîle que le moment d'inertie d^unpo-
Fig. 5a. lyèdre homogène , de
z\ forme quelconque ^ au-
\ tour d* une droite quel'-
^ X conque OX, sera re-
pré sente par la même
rmule^ pourvu que
'on étende le signe
sommalolre\^à toutes
' \ les pyramides ayant J, B pour sommet un même point de la d/vite OX I et pour bases les différentes faces du polyèdre^ et que dans cette somme on regarde comme négatives les masses des pyramides qui, relativement à leur base^ sont situées du côté opposé an polyèdre.
Considérons la pyramide triangulaire OGBA. Soient :
|o la perpendiculaire abaissée du sommet O sur la base;
A^ forn al on
DTNAMIQDB. 4?
iï« la perpendiculaire abaissée du poini G sur le côtéAB-,>
K un point quelconque du solide;
H le pied de la droilt OK sur le plan de la base ;
I Tintersection de la droite GH avec le côté AB; ^ ^ la distance BI; ;i
n 1} projection de GH sur la droite y;o ;
l la projection de OK sur la droite Ç^.
Les valeurâ^ assignées aux quantités Ç, 73, ^ définissent la position du point K. ^ iP n*
Prenons pour éléiùent de la base GAB le petit quadrilatère compris entre la droite GI, une droite infiniment voisine menée par le point G, une parallèle à AB menée {>ar le point H et une parallèle infiniment voisine. La surface de cet élément sera —d^.dm. Concevons que cet
^élément soit la base d^uft petite pyramide ayant son sommet au pointO, et prenons pour élémentde masse dM la masse du petit solide découpé dans cette pyramide par un plan mené au point K parallèlement à la base, et par un plan parallèle infiniment voisin. En supposant la densité égale à l'unité, nous aurons
Ceci posé, soient arj x\ a/' les abscjjsses des points K, H, I, et pij Zi, ^1 les projections des' distances p^ /, a sur l'axe des x.
Mous aurons
et par conséquent,
48 MÉCANIQUE RATIONl^ELLE.
D'après cette valeur, et en observant que pour embrasser
toute la pyramide triangulaire il fAit faîre*varier les
y jj g rapports -> -» 7- de zéro à Funité, il vient
iJki^oixime de toutes les équations semblables, relatives a toutes fes pyramides triangulaires qui composent la pyramide donnée, fera connaître l'expression de l'intégrale
I x*dM. étendue à tous les éléments de ce dernier corps.
Les trois remarques suivantes permettent de simplifier le résulut. ^ Il
i^ Le produit ayio^o est 'égal à six fois la masse* de la pyramide triangulaire *, on peut donc le remplacer par 6M .
2° Pour tes deux pyramides triangulaires qui se joignent au milieu B d'une même arête, la quantité représentée par ai est égale et de signe contraire, tandis que les autres quantités qui figurent dans la forftiule sont égales et de même signe ] donc les termes qui cbntiennenl ai à la première puissance disparaissent dans la somme relative à toutes les ]pyramides.
3° Le produit -=£irioÇoA>i'i se décompose en deux facteurs ■= ^oPi ei-ario "^hj dont le premier reste jconstant
quand on passe d'une pyramide triangulaire à une autre, et dont le second représente le moment statique de Faire GAB par rapport à un plan mené par le centre de gravité G perpendiculairement àVaxé OX. Or ces mo-
DTirAMIQUE. 49
ments, relatifs aux différents triangles qui forment la base Ade la pyramide donnée, ont une somme nulle*, donc le teraie amt^^Piit disparait dans la somme. Il reste finalement
On aura de mème^ en nommant Pt^ J%^ a^ et p^^ /g, a^ les projections dep, l, a sur les axes OY et OZ,
La somme de ces deux dernières équations donne précisément la formule qu^il s^agit de démontrer.
Comme application^ nous calculerons le moment d'i« t nerûe d'un polyèdre régulier homogène, autour d'un axe OX passant par le centre de gravité de ce corps et, par suite, autour d'un axe quelconque.
Il est aisé de reconnaître a l'inspection des polyèdres réguliers, par la considération de l'ellipsoïde central, que les moments d'inertie de ces corps autour des axes qui passent au centre de gravité sont tous égaux.
En effet, dans le tétraèdre les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées, dans le cube les droites qui joignent les centres des faces opposées, dans l'octaèdre les droites qui joignent les sommets opposés, sont trois droites rectangulaires passant au centre de gravité du polyèdre, et autour desquelles les moments d'inertie sont évidemment égaux. Il en résuite que l'ellipsoïde central relatif au centre de gravité est ime sphère.
Dans le dodécaèdre et Ficosaèdre les droites qui joignent les centres de gravité des faces opposées passent au centre de gravité du polyèdre, et sont évidemment des
IL 2* *I>iT. 4
5o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
diamètres égaux de Tellipsoïde central relatif à ce points d'ailleurs la disposition de ces droites est telle, qu'elles ne peuvent être des diamètres égaux d'un ellipsoïde qu'autant que celui-ci est une sphè^.
D'après cela le moment d'inertie autour de Taxe OX est égal au tiers de la somme des moments d'inertie autour des trois axQj|^OX, OY, OZ; c'est-à-dire que l'on a
De plus, les quantités p, /, a sont les mêmes pour toutes les pyramides triangulaires. La masse M de chacune de
ces pyramides est ^ pla. Si l'on nomme /ut le nombre des
arêtes sur chaque face du polyèdre, et v le nombre des arêtes qui se réunissent à chaque sommet, le nombre des pyramides triangulaires, quadruple du nombre total des arêtes, sera
8/xv
2 (p, -h v) fAV
De tout cela résulte la valeur suivante du moment d'inertie,
J ^"^ ^ ï5 2(fi-^ v) — p V 2 6 /
L'une des longueurs p^ /, a étant donnée, les deux autres s'en déduisent par les relations
[p^ -f- n) sin» - = (/?* -f- /* 4- a') ces»- (*),
/sm- = acos-* f* f*
HoppE, Jrchiv der Mathematik und Physiky von J. A. Gninert;
Greiswald, i855, t. XXTV, p. 204.
(*) On obtient celte relation en considérant le trièdre dont le sommet eit au centre de gravité du polyèdre et qui a pour arêtes OA, OB, OG. En
DYNAMIQUE. ^ 5l
3. Démontrer la proposition suivante : SfVon cherche V ellipsoïde central d 'un corps pour chacun des points d^une même droite, et que Con mèn^le plan conjugué de cette droite dans cha^n des Hupsoïdes, tous ces plans se couperont suivant une même ligne.
Prenons la droite considérée pour ^je dfRp:, et représentons par Xi, j^i, Zi les coordonnéalu- centre de gravité du corps. L'équation (Y) représentera Tellipsoïde central relatif au point pris pour origine^ et pour en déduire l'équation de rellipsoïde relatj^au point x = d, il suffira de changer ^
kenx — S] a
a en^ I (x— J)'rfM = a-i- 5"— 2X1 J;
e en e — Zii\ ^ '^
/en/— JiCÎ.
Mais il ne sera point nécessaiy de former cette seconde équation ; car les substitutions indiquées, faites dans Téqaation du plan conjugué de l'axe des x relativement au premier ellipA)ïde, donneront l'équation du plan conjugué du même axe relativement au second ellipsoïde.
D'après cela, l'équation du premier plan conjugué est
et celle du second,
eflet, les angles dièdres correspondants à ces arôtes sont respectivement -)-)-: il en résulte que Ton a
ces - = sin - cos ( AOB ); et par conséquent,
ÔB*sin«-=5Â'cos«-*
L'Intersec^ti de ces deux plans est représentée par Téquation (i) jointe à Téquation
Or ces deux é(|uatiGjts sont indépendantes de d] par conséquent ru^ersectiôn appartient au plan conjugué de l*!» des jfVânsXellipsoïde centrai relatif à Tun quelconque des poiniPde cet axe.
S;^pposons que e el f soient nuls pour une origine convenablement choisie, c'est-à-dire que la droite donnée soit un axe principe d'inertie relativement à Tun 4|^ ses points pris pour origine. "^ ^
Alors, d'après l'équation (i), l'intersection commune des plans conjugués sera dans le plan desjz] d'après l'équation (aLgelle sera située dansun plan perpendiculaire au plan dmrminé par l'axe des x et par le centre de gravité, et sa distance à l'axe des x sera le quotient 4u carré du rayon'4e gîration autour de cet axe par la distance du centre de gravité au même axe. Il résulte de là et d'une proposition bien connue que, si le corps estkUbre de tourner autour de la droite considérée^ et qu'une force instantanée vienne à le Jrapper suiv^ant V intersection commune des plans conjugués, Vaxe néproui^era aucune percussion,
4. Trou\^er pour un corps quelconque le lieu des points O tels que, les axes piincipaux d^ inertie relatifs à ce point étant pris pour axes coordonnés, l'une des quantités *
«=:iJ.'rfM, b=^Jrif^, ^^ii/'^'M
ait une valeur assignée d"* avance H.
Ées seules données de la question sont les valeurs A,
B, C que prennent les quantités a, b, c lâmqiie V origine O coïncide aî^ec le centre de grav^ité du corps.
Prenons d'abord, autour du point 41, des axes coor* donnés rectangulaires de directions^quelconques, OX'^ OY', OZ', et posons
d'=^Jyz'dM, e'=±JzVrfM, r=ifx'jmd.
Représentons encore par h Tune des quantités a, b^ c, r ensorte que M (a -h 4 -h c — h) soit l'un des moments d'inertie principaux relatifs à Torigine, et nommons X, fi^ V les cosinus des angles que fait l'axe de ce moment avec nos axes coordonnés. L'équation de rellipsoïde central sera (6' -h c') x'» -4- (c' -h a')y^ ■+- (a' -+- b') z'» — nd'/z'
ou, ce qui revient au même,
o^j/» ^ b'y^ -h c'z'' H- 2r/'/z' 4- 2^'z'x' -\- if'x'y
— ( û' + ^' hL c') (y^ +yi + z'2) __ ' . ,
Appliquons cette équation au point de li surface qui est sitdé sur un ai^e principal. En nommant X,'fji, v les ^ cosinus des angles que cet axe fait avec les sites coordonnés, et observant que l'inverse du carré de la distsmce du point considéré à l'origine est M(a'4-ft'-f-c' — h) ou M(a-|-i4-c — A), il vient f
I^eplas, puitifue Taxe principal d'inertie, est normal à la surface de Tellipsoïde, les quantités X, fx, v, h dolvftt
vérifier les relations
a'X-¥-/'ii-he'if __b'ii-hd\-h/'X c'j^e''k-hd'iL
%)VL nous tirons, par. l'élimination des cosinus,
/*^ — (a' -h &' 4- c') ^» -h («' 6' -i- 6V -h c' û' - é/'^ — I?'' — /' jWgp' ^ V — û' é/'» — ^' e'2 — c'/'^ -h 2 rf' ^' /•' ) = o.
Telle est Téquation qui a pour racines les trois vale
de Afporrespondantes à l'origine O.
^ SupposÉDs maintenant que les axes OX', OY', ( ^p)ient parallèles aux axes principaux d'inertie^'clatifs
centre de gravité, et transportons l'origine à ce ceni
Nous aurons, en nommant ^, >3, ^ les coordonnées
point O relatives à la nouvelle origine,
^'^^ \d' = rii;, . e'=Ç?, /' = Ç>j;
et, par la subs^tution de ces valeurs, la dernière équat deviendra
h — A /i — Bà — C
Quand on y donne à A la v^eur partidulière H, Téq tion résdttante
^présentc^le lieu cherché.
Ce lieu est une surface du second ordre, qui a p centre le centre de gravité du corps, et pour axes les i principaux d'inertie relatifs au centre de gravité.
Soit
Pour que la surface soit réelle, il faut que H soit st riettt à A. Suivant que H est compris entre A et B, B c
DYllAMIQUkf 55
OU que H est supérieur à C, la surface est un hyperboloide à deux nappes, un hyperboloïde à une nappe, ou un ellipsoïde.
Les surfaces en nombre infini que Ton obtient en faisant varier H sont toutes hoinofocales. Il en résulte, comme Ton sait, que deux surfaces de même famille ne se rencontrent pas, et que deux surfaces de ftmilles difTéopoiles se coupent à anglef^roit suivant leurs lignes de courBEure.
Les axes principaux d'inertie relatifs à un point^uelconque O sont dirigés suivant les tangentes ^ux inter-^ sections des trois surfaces homofocales qui passent à c7 point.
En effet, les cosinus des angles que la normale à Tune des surfaces fait avec les axes coordonnés sont proportionnels aux quantités
Or, si dans les équations (i), qui définissent les directions des axes principaux, on remplace h par H, X, fz, v par les fractions précédentes, et a\ i', c', d^, c\f' P*r les valeurs (2), ces équations sont identiquement vérifiées, eu égard à ce que 1«' point (Ç, m, Ç) se trouve sur la surface représentée par l'équation (3).
En chaque point O, les qu!ntité%désignées par a, &, c^ rangées par ordre de grandeur, se trouvent comprises respectivement entre A et B, B et C, C etoo . II s'ensuit que les moments d'inertie principaux rangés par ordre de grandeur, a -i- J, a-i-c, i -f- c, étant comparés aux moments d'inertie principaux^ relatifs au centre de gravité et rangés dans le même ordre, A-f-B, Ah- C, B-hC, vérifient les inégalités suivantes :
A4-B<fl-4-è<B-f-C, û-+-c>A-i-C, 'i-i-c>BH-C.
56 MÈCkSl^E RATIOlflVELLE.
Il nous est facile de trouî^er les points où les trois mo~ ments d'inertie ont trois valeurs données.
Soient H|, Hs, Hg les valeurs de a, &, c qui résultent des trois moments donnés, et Ç, yj, Ç les coordonnées des points dont il s'agit.
Pour obtenir ces coordonnées il nous faut résoudre les trois équations simultanées
H3 — A H, — B Hj — C
Nous y parviendrons facilement comme il suit (*) : Dans l'équation (3), (|ui comprend chacune des équations proposées, remplaçons H par A — li, et considérons alors ^, y?, ^ comme des quantités connues, et u comme Finconnue. Sous ce point de vue, Féquation sera du troî^ sième degré, et ses racines seront A — Hi, A — H„ A — H,. *;
Cette équation pourra s'écrire
^+;^ + «H^B-^ir-^i.-^C-A=°-
Faisant disparaître les dénominateurs et égalant le dernier terme au produit des racines chan^ de signe, il vient
(*) Le procédé de résolmion que nous donnons ici est dû au P. Cbelioi ; il s'applique a un nombre quelconque d'équations de môme forme.
DYNAMIQUE. 5j
Nous troaverioDS de même
Les équations sont résolues. On voit qu'il exisV^ huit points où les trois moments d'inertie principaux ont les valeurs données. Ces huit points appartiennent tous à un même système de trois surfaces \ ils sont deux à deux aux extrémités d'un même diamètre, et pour chacun de ces coaples de points les axes principaux d'inertie sont parallèles.
J. BorcT, Journal de l'École Pofyt.^ XVI« Cahier, p. 4 1 ; i8i i •
S. Étant donnés les^xes et les moments d'inmrtie principaux relatifs au centre de grav^ité, déterminer le lieu des points où deux des moments d^ inertie prince poux ont une même 9ùleur.
Conservons la notation du problème précédent, et supposons toujours A <é<] C. II nous faut troufer la relation qui existe entre Ç, y?, (f loîsque Téquation en H,
tdeux racines ég^es.
Quand deux racines différentes de A, d, C sont égalas, l'une d'elles appartient à Téqnation dérivée
Or cette dernière équation n'a que des racines imaginaires; donc, s'il est des racines doubles, elles ne sont autres que A, B ou C.
Pour reconnaître dans quels cas ces quantités sont effectivement des racines doubles, il convient de faire disparaître les dénominateurs de Téquation (i) avant de
58 MÉGAKIQUE RÀTIONIfELLE.'
prendre sa dérivée. Alors on arrive sans peine aux résultats suivants :
La valeur H = C est racine double quand on a
(2) ^ C = o et ^ . ^ —.
C— A C— B La valeur H = B est racine double quand on a
(3) ,=0 et ^-^=,,
, La valeur H = A ne peut jamais être racine double.
Par conséquent, L* ellipse et l'hyperbole représentée
parles équations (a) et (3) contienilient tous les point
où d^ux dcsD|oments d'inertie pVincipaux ont unemèm
valeurt «I J. BiNET, ibid,
6. Déterminer tous les points ou les axes principaux sont parallèles à ceux qui se coupent en un point donne
Soient (J'ie point dond|f OX', OY', OZ' les axes prin cipaux qui se coupent à ce point, GX, GY, GZ des Axe parallèles menés par le centre de gravité, et Xi, ji, z^ \i coordonnées du point O relatives aux derniers axes.
On a, par hypcahèse,
/y z' r/M z= o, îz' x' rfM = o, Çx'y flfM = o, ou bien, en transportant les axes au centre de gravité,
I yzd'^A -h M j, z, = o , (A) ^ I zjTc/M-f-Mz, j?, = o,
jr/e/M -f Ma:,/i = o .
DYNAMIQUE. Sp
Lesint^rales qui figurentdans ces équations (A)conserventla même valeur, lorsqu'on substitue au point donné O un nouveau point autour duquel les axes principaux d'inertie aient les mêmes directions. Par conséquent nous obtiendrons le lieu cherché en résolvant les équations (A) par rapport à a:i,^i, Zi, et regardant les intégrales comme des constantes.
S'il n'est aucune des intégrales qui soit nulle, les équations (A) nous donneront deux systèmes de valeurs de Xi,^i, z, égales et de signes contraires. Ainsi, il n'est en général que deux points où les axes principaux aient des directions données. La droite qui unit ces deux points est divisée en deux parties égales par le centre de gravité.
Admettons maintenant que Tune des intégrales soit
nnlle; ce sera par exemple l'intégrale j yzdM. Alors
nous aurons
Zi=zo ou ^,=:o;>
e)..par conséquent Tune des deux autres intégrales sera nolle.
Soient
2, =1 o et' / zxdM =z o.
Dans ce cas le point donné O se trouve sur l'un des plans principaux d'inertie relatifs au centre de gravité; Ton des axes principaux d'inertie relatifs au point donné, QZ', est parallèle à Tun des axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité-, et le lieu cherché est l'hyperbole équilatère représentée par l'équation
M.r,jr.
- iarrdfil = (
Supposons enfin que les trois intégrales soient nulles. Dans ce cas deux des coordonnées Xi, j^i, ^, sont nulles;
6o MÉGÀlfIQI]E RATIONNELLE.
c'est-à-dire que le lieu cherché est l'un quelconque des trois axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité.
GuiBERT, Joum, de V École Polyt,^ XXV* Cahier, p. 1 18.
Corollaire. — Le résultat obtenu dans le cas d'une intégrale nulle, comparé à celui du problème 4, nous conduit à ce théorème de géométrie : Sur une série d'edlipses ou d^ hyperboles homofocaleSy le lieu des points de contact des tangentes parallèles à une direc^n donnée est une hyperbole équilatère qui passe aux foyers communs.
7. Étant donnés un corps et un point choisis à vo^ lonté, déterminer^ parmi toutes les lignes gui passent à ce point, celles qui sont un axe principal d 'inertie du corps relativement à Vun de leurs points.
Soient P le point donné ; GÇ, G>3, GÇles axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité; $1, y?,, ^i les* coordonnées du point P par rapport à ces axes ; X, p, v les cosinus des angles qu'une droite menée par le point P forme avec ces axes 5 O le point de cette droite par rapport auquel elle est un axe principal d'inertie ; ria distance PO ; OX', OY', .OZ'des axes parallèles à ceux des $, to, ^5 et conservons pour le reste la notation du problème 4.
Les co9inus X, ]^, v doivent (Probl. 4) vérifier les équations
an,-h/'iJL-he'v b'ii.-\-d'v-h/"k c'v-he''k-hd'^
et
Or on a, pour un point quelconque (^S j', «O? (S? ^» 0>
x'=::Ç— (|,-i-rX), /=„ — („, -h rp), 2'=Ç-(Ç.-f-rv);
DYNAMIQUE. 6l
d'où
a'= A -i- (Ç. -4- r\)\ é' = B -*-(«, -i- rptjS c'=C-f.(Ç,-+.rv)% rf' = („,-4-rp)(Ç.4-rv), ^' = (Ç. -i- rv) (Ç. -i- r>), ^ /'==(?. 4-rX)(„. + rpL).
Substituant ces valeurs dans les équations (A), et éliminant r, ce qui est facile parce que les termes en r* se détniisent, il vient
pÇ. (B — C) -i- v>rj, (C — A) -h VÇ. (A —* B) = o.
Cette relation nous montre que toutes les droftes concourantes qui sont un axe principal d'inertie pour un 4to leors points forment le cône du second degré représenté par l'équation ^
-H(,5-Ç,)(>]->i.)ç.(A-B) = o, ou
(B — C)Ç.iiÇ -f.(C~A)>î.« -i-(A-B)Ç.Ç«
+ (B-C)>i,î;,çh-(C-a)ç.h,,jh-{a-B)ç,>î,çi=:o.
AMPÈas^ Mém. de ^JcaJ^des Se, dé Paris ^ t. V; 1821- 1822.
Corollaire. — Delà et du résultat du problème 4 nous concluons cette proposition de géométrie : Le lieu de toutes les normales que Von peut abaisser d^un point donné sur trois séries de surfaces homofocales est un cône du second degré,
8. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que l'arête d^un tétraèdre homogène soit un axe principal d'inertie du corps relativ^ement à Vun de ses points^ est que cette arête soit dans un plan perpendiculaire à V arête opposée.
Bakhe, Noupelles Annales de Mathématiques^ i854, p- 385.
6a MÉCANIQUE RÀTIOI)îI)î£LLE.
9. Nous proposerons de vérifier quelques-uns des résultats suivants : '^
Il s'agit de corps homogènes ; on nomme k le rayon de gi ration.
Pour une droite AB autour d^un axe qui passe à l'extrémité A et fait un angle (3 a^ec la droite, la longueur de la droite étant l, on a
Pour une droite autour d^un axe perpendiculaire et nf/i situé dans le même plan, a a étant la longueur de la droite et b la perpendiculaire abaissée du milieu de la i^roite sur l'axe, ^
Pour un arc de cercle autour d'un a^e perpendicu-^t laire à son plan et passant à son centre de graî^ite, r étant le rayon, c la corde et a la longueur de Tare,
Pour un arc de cercle autour d'un axe perpendiculadre à son plan et passant au milieu de l'arc,
Pour la surface d'une ellipse autour du grand ajte, na étant le grand axe et a & le petit axe,
Autour du petit axe, on aurait A' = y*
% DTNAMIQUC. 63
Pour la surface d*un triangle isofèle autour de la perpendiculaire abaissée du sommettur la base, la btse étant 2&,
Pour la surface d^un triangle ABC autour d'un^axe perpendiculaire passant au sommet A, les côtés opposés aux sommets^, B, C étant respectivement a, b^ c.
Pour la surface d^un triangle autour d^un axe per-pendiculaire passant au centre de graî^ité, ^
A^ = '^{a'-hb'-^c'). ^■
Pour la surface d^une ellipse autour d'un axe perpendiculaire passant au centre^ ^a^^b ét^nt les axes de la courbe,
Pour la surface d'un parallélogramme autour d'un oxe perpendiculaire passant au centre, 2a^ 2 b étant les côtés.
Pour la surface d'un polygone régulier autour d'un <vce passant au centre de gravité, n étant le nombre des côtés et c la longueur de chacun d'eux,
