II. a* ÉDIT

gravité. Si le corps était animé d'une vitesse double, triple, etc., il serait capable de remonter à une hauteur quatre fois, neuf fois, etc., égale à la précédente; donc il serait capable de vaincre une résistance quatre fois, neuf fois, etc., égale. De là il suit que la force vive est proportionnelle au carré de la vitesse i^-, elle est d'ailleurs évidemment proportionnelle à la masse m, comme la résistance de la gravité; donc la vraie mesure de la force vive est le produit de la masse par le carré de la vitesse ou mv^.

Les disciples de Descartes répondaient que si le corps possède une vitesse double, il peut à la vérité remonter à une hauteur quadruple *, mais cela dans un temps double. Or produire un eflet quadruple dans un temps double, c'est avoir une puissance double et non une puissance quadruple^ donc la puissance ou la force vive d'un corps en mouvement est simplement proportionnelle à la vitesse, et sa mesure naturelle est le produit de la masse par la vitesse ou my. Et d'ailleurs, ajoutaient-ils, si Ton ne faisait pas entrer la durée de l'cfTort dans l'estimation de la force, il s'ensuivrait qu'un enfant aurait la même force qu'un homme, puisqu'un enfant peut faire en deux jours le travail qu'un homme fait en un seul jour.

Du côté de Leibnitz se rangèrent Jean et Daniel BernouUi, Wolff, S'Gravesande, Camus, Muschenbroeck, Papin, Hermann, etc. Les principaux adversaires furent Maclaurin, Clarke, Stirling, Désaguliers, Robins et Mairan. Malgré leurs définitions opposées, les deux partis arrivaient aux mêmes résultats dans la plupart des problèmes.

Cette discussion dura trente années. Enfin d'Alembert fit voir, dans la préface de sa Dynamique ^ que la dispute portait principalement sur les termes, sans avoir aucun rapport nécessaire avec les principes fondamentaux de la Mécanique. Depuis cette époque on est convenu de nom-

mer quantité rie mouvement d'un corps le produit de sa masse par sa i^itessc, d'appeler /brce viv^e le produit de la masse par le carré de la vitesse, et de conserver au mot force motrice la signification que lui attribue Newton dans les Principes, savoir le produit de la niasse du corps par l'accélération que la force communiquerait au corps s'il était libre. V accélération dont il s'agît ici est la dérivée par rapport au temps de la vitesse estimée dans le sens de la forcc^ on la nomme dMsû force accélératrice. Ces dénominations sont indépendantes de toute théorie sur la nature intime des forces; elles doivent être considérées comme des conventions faites pour simplifier le langage.

Le principe des forces vives consiste dans l'existence d*une intégrale commune à tous les problèmes de Dynamique où les liaisons s'expriment par des équations indépendantes du temps. Si l'on représente par X, Y, Z les forces motrices qui sollicitent la molécule m dans le sens des axes coordonnés, par v la vitesse de cette molécule à l'époque f, par u^ sa vitesse à l'époque fo» et si l'on

convient que le signe sommatoire \| s'étend à toutes les

molécules du système, l'intégrale dont il s'agit peut

s'écrire

2^,„p»2)^<';=2 / 2(Xd:r-+-Yr<r-t-Zf/z).

Dans le cas où la somme ^ (XrforH- Yr/^-h lidz) est

la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées x^ JiZ, etc., considérées comme variables indépendantes, IWroissement de la force vive de tout le système,

68 MÉCAjyiQtJE RATIONNELLE.

est la somme des accroissements de force vive que recevraient les diiTérentes molécules si, étant toujours sollicitées par les forces dont les expressions en fonction des coordonnées sont X, T, Z, etc., on les forçait, par des liaisons convenables, à passer de la première position à la seconde, en suivant un chemin choisi à volonté.

Dans le cas où la somme V (Xdx -j- Ydy -+- Zdz) est

la diiférentielle exacte d*une certaine fonction des coordonnées Xy y^ Zy etc., considérées comme variables assu* jetties à vérifier quelques-unes des équations de liaisons, par exemple L = o, M = o, . . . , R = o, Taccroissement de force vive de tout le système est la somme des accroissements de force vive que recevraient les différentes molécules si, étant toujours sollicitées par les forces X, Y, Z, elles étaient forcées, par des liaisons convenables, de passer par un chemin quelconque de la première position à la seconde, en vérifiant toutefois les conditions L = o, M =: o, . . . , R = o pendant toute la durée du mouvement.

Enfin, lorsque la somme ^ (Xrfj: -f- Xdy -f- Z dz) n'est

point la différentielle exacte d'une fonction des coordonnées o:, y y z, etc., considérées comme des variables assujetties à vérifier les équations de liaisons, l'intégrale

Xrfx-l-Yr/r-hZ^z)

ne peut s'obtenir qu'en substituant à x^y^ z, etc., leurs valeurs en fonction du temps fournies par l'intégration des équations du mouvement ; en sorte que, dans ce cas, le théorème des forces vives n'est d'aucune utilité pour trouver les intégrales du problème.

Quand plusieurs molécules sont liées entre elles de manière à former un système solide, les actions mutuelles

qui naissent de ces liaisons n'entrent pour rien dans Taccroisseraent des forces vives.

La force vive d'un système se décompose toujours en deux parties, dont Tune est la force vive due au mouvement du système relativement à son centre de gravité considéré comme fixe, et l'autre est la force vive qu'au* rait le système s'il était tout entier concentré à son centre de gravité, sans que le mouvement de ce point soit altéré. Quand le système est libre, ou que les liaisons se réduisent a des relations entre les distances mutuelles des molécules, l'équation des forces vives s'applique séparément au mouvement relatif du système autour de son centre de gravité.

Le théorème des forces vives suffit pour déterminer le moavement des systèmes à liaisons complètes. On nomme ainsi les systèmes de molécules où les équations de liaisons sont en nombre égal aux coordonnées moins une. C'est le cas de presque toutes les machines employées dans l'indastrie.

On trouve la première trace du principe des forces vives dans un postulatum dont Huyghens s'est servi pour déterminer le centre d'oscillation [*) ; mais ce fut Jean BernouUi (**) qui le premier soupçonna une loi générale de la nature dans la conservation des forces vives. Daniel Bemoulli (**♦) appliqua les idées de son père au cas de plusieurs corps qui s'attirent avec une intensité fonction

(*) Si pendulum ô pluribus poodcribus coinpositum, atqne è quieta dimistum, partcm quamcumiiuc oscillatÎDnis intégras confeccrit, atqne UNie porro intelligaDtur pondéra ejns singula, relicto communi vinculo, entâtes acquisitassuninm conTcrtero, ac quousqiic possunt ascendero; '^ facto, centrum (rravitatis ox omnibus coniposit:t>, ad camdom altito- <lioeni revcrsum erit, qiiam ante inceptani osrillationcni obtincbat (Ho* '^logium osciilatoriuntf P. IV, prop. 4}-

'**) Opéra, passim.

(*■») Mémoires de i' Académie des Sciences dr Berlin, 17/18, p. 356.

70 MÉCAMQUE RA.TIOIf»ELLE.

quelconque de la dislance. D'Alembert (*) démontra le théorème pour plusieurs cas particuliers à Taide de son principe général de Dynamique *, il no fut point difficile de reconnaître que sa démonstration s'applique à tous les cas où le théorème subsiste^ aussi peut-on regarder le théorème général comme démontré dès cette époque.

1. DéteiTniner le mouvement du pendule formé par Fiff. 53. ^^^ corps invariablement lié avec

un axe cylindrique qui roule sans glisser sur deux portions d'un même plan horizontal.

Considérons la section faite par un plan perpendiculaire à Taxe, mené par le centre de gravité de tout le système; les oscillations seront parallèles à ce plan.

Soient :

c le rayon du cylindre;

a la dislance de Taxe du cylindre au centre de gravité du système ;

m la masse du système ;

h son rayon de giration autour d'une parallèle à l'ax« menée par le centre de gravité.

Prenons Torigine au point où la section du cylindre, dans la position d'équilibre, touche la trace du plan horizontal ; dirigeons l'axe des y dans le sens de la pesanteur, et nommons

x^y les coordonnées du centre de gravité ;

(f l'angle que la droite a fait avec Taxe des y ;

a la valeur initiale de l'angle y correspondante à unt vitesse nulle.

{*) Traité de Djuamique, part. Il, chap. iv.

Le principe des forces vives nous donne l ,d^^ dx' dr-\

X = a sin <p — c ç, y ^=^ a ces © — e\

dx . dm djr do

de ^ ^ dl dt ^ dt '

sobstiloant ces valeurs, et déterminant la constante par les données initiales, il vient

dfb*

(r 4- fl' -f- c^ — 2£/ccoSf ] 'j-^=z2ga (cosy — cosa .

Telle est rëquation qui nous fait connaître la vitesse jugulaire du pendule dans une position quelconque.

Si nous représentons par T la durée d'une oscillation, nous aurons

— cosa)*

t/o (costp

Cette intégrale ne peut s'obtenir sous forme finie ; mais, si nous supposons les oscillations fort petites, il sera facile de calculer sa valeur approchée.

En effet, posons

O oc

sin - -- •];, sin - =^ s ; 2 1 ^

nous aurons approximativement, en négligeant les puissances de tp et de (3 supérieures à la seconde,

2^/4' COSy := I — 24/', COSa=z:| — 2^', dt^ —

l—kl— f ( ^-^ -t- a^ -h c^ — - 2 flg -h 4 gg^PM ^ '^d^

y 2 MÉCANIQUE RATIOUNELLE.

OU, posant, pour abréger,

Dans notre ordre d'approximation, nous pouvons rera-

tégration peut s'effectuer, et il vient

^^ ttA^ ^ 7rp'(4flc4-AM

EuLER, Nova Acta Acad, Petrop.y 1788, p. i45.

2. Un fil fiexihle^ très-mince et sans poids, attaché à un point fixe par son extrémité supérieure, s^ enroule sur la circonférence d^un cercle vertical, lequel Jait corps av^ec un solide dont le centre de gras^ité coïncide av^ec le centre du cercle. Une partie du fil étant déroulée et tendue verticalement, on abandonne le corps à son poids. Déterminer le mouvement qn^il prendra.

Il est clair que la partie rectiligne du fil sera toujours verticale, car toutes les forces qui sollicitent le corps sont verticales.

Soient :

y la longueur de cette partie rectiligne 5

jola valeur initiale de j\

6 l'angle dont le corps a tourne autour de son centre de gravité;

a le rayon du cercle;

m la masse du corps ;

A: son rayon de gi ration autour d'une perpendiculaire au plan du cercle menée par le centre.

Ona

= img(x-jr.);

et d'ailleurs

1 dy

= Xi

, -+-ûf0,

dt ~'

~ a de'

A Taîde de celte dernière relation l'équation des forces vives peut s'écrire

Elle a pour intégrale

r— r« ou aB =

Cet exemple est Tun des Theoremata selecta donnés par Jean Bernoulli pro conservatione viniim viv^arum demonstrandd et experimentis confirmandd.

Comment. Acad, Petrop,^ 1727, p. 200. — Opéra ^ t. III, p. 127.

3. Un pilon ^ maintenu vertical à Vaide d*un collier, ^i pressé ai^ec une force connue contre un plan incliné, surface supérieure d^un corps qui est liire de glisser ions une rainure horizontale. Déterminer le mouvement communiqué à ce corps, en négligeant les frottements.

Prenons Taxe des y dirigé suivant le pilon en sens contraire de la pesanteur, et Taxe des x dirigé en sens contraire du mouvement dans le plan horizontal de la rainure.

Nommons a. Tangle que la trace du plan incliné sur le plan des xj fait avec la verticale ;

/ et x' les distances à Torigine des points où cette trace coupe les axes ;

74 MÉCANIQUE RATEOlfNELLE.

f(j) la force appliquée au pilon ^

m la masse du pilon ;

m' celle du corps 5

Jq la valeur de ^ à Tinstant où le mouvement commence.

Nous avons Eliminant od par la relation ji = j^tanga, il vient

û[^ \jm -t- m' tang* a

\Ar

Si Ton suppose, en particulier, que la force agissant sur le pilon soit la pesanteur seule, alors on a ^

ImsO

m -i- m' taDg' a '

et l'intégration de Féquation du mouvement peut s'effectuer. On trouve

-^ ^ m -h/n' tangua

4. Un poids P c5« suspendu à un anneau D ; dans cet anneau passe une corde qui, d'une part, est attachée à un point fixe A, et qui, d'autre part, après auoir passé sur une poulie de renvoi B, va s'enrouler sur un cylindre homogène horizontal C, mobile autour de ton axe, et soutient enfin un poids P'.

DTHÀMIQUB. 75

On fait abstraction du poitlsy de la raideur et de V épaisseur ile la corde ^ ainsi que des frottements, La

Fig. 54.

poulie de renvoi B est supposée infiniment pe^ tite et à la même hauteur que le point fixe A. La corde ne glisse point sur le cylindre C, nuus elle r entraîne dans son mouf uement. Trouver le mouvement du système ^ en supposant quil ny ait pas de vitesse initiale.

Soient ':

aala distance ÂB;

M la masse du cylindre C ;

r le rayon du cylindre ;

tTangle dont le cylindre a tourné depuis lorigine du mouvement ;

y et/' les distances de Tanneau D et du poids P' à l'horiioDtaleÂB;

j# et jr\ les valeurs initiales de jr et de y.

Nous supposerons qu'à Tinstaot où le mouvement commence, les cordes qui portent les poids sont verticales et Tanneau D est à égale distance de Â et de B. Dans cette hypothèse, chacun des deux poids restera constammeni sur une même verticale, puisque rien ne tend à le dévier ni à droite ni à gauche.

L'équation des forces vives est donc la suivante :

= aP Cr - /.) -r aP' (/ - y,).

jG MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Nous avons d'ailleurs

y -h 2 ^a^ -hjr^ =: const., y — rô z= const.;

d'où

dx' 2^ dy dB I dy'

di ^â^r^Tyi dt^ dt^T dl

Substituanl ces valeurs dans Téquation des forces vives, et posant, pour abréger,

Pu'

P-4-4P' -+-2Mg' il vient

Cette équation ne peut s'intégrer sous forme finie; néanmoins il nous est facile de reconnaître quelle est la nature du mouvement dans les différents cas qui peuvent se présenter.

i^ Observons d'abord que le système reste en équilibre si Ton a

2P' V^tf»+J|'

a" Soit

2P'^ v/^'-hrî

Alors le poids P l'emporte dans l'état initiai, y augmente, et par suite il faut prendre le signe -h dans Téquation (A)

tant que — ne devient point infini.

Or le radical qui divise dy s'annule, non-seulement

pour j=^jj, mais encore pour

Ceci nous conduit à faire successivement deux hypothèses dans le cas que nous examinons.

Si -p7 >i , j^i est plus petit que j^o> -j- ne devient point

infini, et par conséquent — reste toujours positif, c'està-dire que le poids P descend autant que la longueur de la corde le permet. Si la corde avait une longueur indéfinie^ la vitesse du poids croîtrait au delà de toute limite;

car ^converge vers o lorsquey augmente indéfiniment.

Si — <!, ji est plus grand quej^o» et par conséquent

Tanneau arrive en descendant jusqu'à la distance^! pour

laquelle — devient infini. Là sa vitesse est nulle, mais

les poids ne se font point équilibre, le poids P' Temporte. L'anneau s'élève donc jusqu'à la distance ^^ en repassant aux mêmes points avec la même vitesse; puis il redescend, et ainsi de suite. Dans Téquation (A) le signe + répond toujours à la descente, et le signe — à la montée. 3^ Supposons maintenant

Alors le poids P' l'emporte dans Téiat initial, l'anneau D monte jusqu'à la distance ji, laquelle est inférieure à j»; puis il descend jusqu'à la distance y^^ remonte, et

oscille aiiisi tant qu'on ne met pas d'obstacle au mouve ment.

Question proposée au concours ei 'agrégation , année i85i.

Nous engagerons à reprendre le même problème, ei supposant que la poulie de renvoi B ne soit pas située à 1 même hauteur que le point d'attache A. Dans ce cas, Tan neau D décrit une hjperhole éqiiilatèrc dont les asym[^ loles sont l'horizontale et la verticale qui se coupent ai milieu de la ligne AB.

5. Une chaîne pesante, infiniment mince, mais d^& paisseur variable, se meut sur une cycloïde dont VaXi est vertical et la concavité tournée en haut. Démontre, que le point qui est le centre de graxfité de la chaîne lors quelle est tendue en ligne droite, se meut comme uf point pesant isolé.

Prenons l'origine au sommet de la cycloïde et l'a» des j dirigé en sens contraire de la pesanteur. Soient :

G le point considéré, centre de gravité de la chaint tendue en ligne droite;

s l'arc compris entre l'origine et le point G ;

G Tare compris entre le point G et un point quelconque de la chaîne;

dm la masse de l'élément da ;

j: et j^ les coordonnées de cet élément;

a le diamètre du cercle générateur de la cycloïde.

On a, par le principe des forces vives,

— fdm = — iigfjrdm -h const.,

les intégrales qui figurent ici s'étendant à tous les éléments de la chaîne.

àX£

il Cl-:

DYHAMIQUB.

Or, d'après la nature de la cycloïde,

j-+-ex = 2v^, x =

Si Ton substitue celle valeur de j dans l'équaiion précédente, en observant que fa fini = o, et que fa* dm est nue constante, on trouve

— =- -^(consl. — 5»), dO i>.a^ "

ce qui est Téquation du mouvement d'un point pesant isolé sur la cycloïde.

PuiSEUXy Journal de M. Liouifillr, t. VIII, p. 71; i843*

6. Déterminer le moux^ement d'une barre pesante, homogène et d'épaisseur constante, dont les extrémités s appuient sur deux droites fixes situées dans le même plan.

FIg. 55.

S<tteDt a/ la longueur de la barre, m sa masse, d l'angle

qu'elle fait avec rborîzon, a et a' les inclinaisons des droites fixes sur l'horizon.

Prenons Toriginc des coordonnées à l'intersection des deux droites fixes, Taxe des y dirigé en sens contraire de la pesanteur, et «•«présentons par or, y les coordonnées du centre de gra* ▼lié de la barre.

NoQs avons

//»£/0» dx^ dy^\ L^^„..

80 MÉCANIQUE HATIONlfELLE.

Eliminant x et ^ à Taide des valeurs

, facosa sinfa' — ^) "1

L sin(a-f-a') J

Fasinasin (a' — 0)

sin(a -f- a')

sinO

nous obtiendrons une équation qui nous fera connaître 1 vitesse angulaire - correspondante à Tinclinaison 6.

Quand on suppose a = o et a' = -» Téquation dont i

s'agit devient

do et P représentant les valeurs initiales de Tangle 9 et d'

la vitesse angulaire -t-« at

* Dans la même hypothèse, la barre étant dans sa positioi initiale, attachons au point où elle touche Taxe des y ui

pendule d'une longueur égale à ^ /-, plaçons ce pendu!

suivant le prolongement de la barre, puis imprimons au: deux corps une même vitesse angulaire |3. D'après l'équa tien que nous venons d'obtenir, le pendule et la barr resteront parallèles dans leur mouvement, tant que celle ci continuera à se mouvoir appuyée sur les deux droite fixes.

Nous avons vu (t. I, p. 196) que Téquilibr^ de la barn est instable, en sorte que son mouvement ne peut être os cillatoire. De plus., si on suppose cette barre simplemen posée contre les droites, puis abandonnée sans vitesse initiale, on trouve qu'elle se séparera de la droite verticali dès que Tinclinaison 6 aura acquis la valeur déterminé

par Téquation

sin 0 = ^ sm Oa.

DTHAMIQUB. 8l

7. £^11 point pesant A descend sans ^vitesse initiale le long d'une courbe S, en tirant un second point pesant B sur une autre courbe Sf, à Vaide d'un fil qui passe sur une très-petite poulie de renvoi. Déterminer les vitesses des deux points lorsqu'ils ont parcouru des hauteurs verticales données.

Soient m, nif les masses des deux points, (^, u' leurs fitesses respectives lorsqu'ils ont parcouru les hauteurs Terticales j^, ^', Tun en moMant^ Tautre en descendant^ etds^ Js' les éléments des deux courbes.

On trouve

d*^ ___ d/^ mds'^m'ds'^

ijAK Bernoulli, jécia erud,, 1785, p. 210. — Opéra» t. m, p. a56.

8. Une equerre formée de deux tiges minces, homogè" ne$ et partout d'égale épaisseur, peut tourner librement dans un plan ^vertical autour de son sommet qui est fixe»

^* Etant donné V angle que l'une des tiges fait auec Vho-

Mjï rizon quand l'équerre est en équilibre, on demande de

déterminer l'amplitude des oscillations que l'équerre LTrv exécute lorsqu'on l'abandonne à son poids, après auoir

lie- amené la tige considérée dans une position horizontale.

Soient |3 Vinclinaison donnée et 9 Tangle qui mesure l'amplitude des oscillations.

On trouve