Discussion de V équation des forces vivres

(A) ^m.^^^m.l^^i'ï^-lr).

Les forces vives qui entrent au premier membre de cette équation sont la force vive de chaque molécule de ta machine dans son mouvement naturel, celle des mêmes molécules dans le mouvement vibratoire qui accompagne presque toujours le premier mouvement, celle des supports et du sol environnant, enfin celle de l'air ambiant. Le travail résistant T^ qui figure au second membre se compose du travail utile que la machine a pour but de produire, et du travail nuisible^ nommé aussi travail des résisténtces passii^es. Ce dernier renferme le travail produit par le frottement des pièces Time contre l'a«tre o» contre les supports, le travail dépensé dans ks vibratiisBS

(*) Mémoires <fe V Académie des Sciences de Paris, 1704, p. 3a3. (»*) Théorie des Fomitions analrii^aes^ P. III, c^vii; 1797. (***) Annales de Chimie, 1818, t. VIII, p. 287.

(****) Notes ajoutées dans la nouvelle édition- de VÂrchitecture fy^ drmuli^meé'e Bélidor, t. I; iSrp.

DTJfAMIQUE. 85

qoî soni commuDiquëes aux diverses pièces de la machine, letrafail dépensé dans les mouvements qui sonicommuaiqués auxadupports el au sol environnant, enfin le travail <{ui naît de la résisUnce de Tair ambiant. Le travail des frottements peut se calculer. Celui des vibrations de la machine ne peut se mesurer dans Tétat actuel de la icience, mais on démontre qu'il est égal a la forœ vive produite par les mêmes vibrations; on peut donc faire abstraction de ce travail «t de cette force vive dans Té* (|iiation générale. Le travail qui nait des mouvements communiqués aux supports el au sol environnantest parfois considérable^ on n'a pas pu jusqu'ici le soumettre au cakttl. Enfin le travail consommé par Tair ambiant est en général une très-petite fraction du travail résistant total; oa penft la négliger.

Quand on considère le mouvement depuis son origine jusqu'à son extinction ou, plus généralement, entre deux iasunls où les vitesses sont les mêmes, le premier membre de l'équation (A) est nul. Il en résulte que le travail mo-teuTy dans ce cas^ est égal au travail résistant. Ainsi l'effet de la machine, pendant toute la durée du mouvement, a été de transmettre le travail des forces mouvantes aux forces résistantes, sans aucune déperdition. Ceci constitue le principe nommé par Coriolis principe de la transmission du travail,

n importe de diminuer autant que possible le travail des résistances passives, afin qu'une plus grande portion du travail résistant se traduise en effet utile. Par conséqnent, dans l'établissement d^une machine, on aura soin d'éviter les frottements qui ne sont point nécessaires, d'adoucir ceux qu'on ne peut éviter; on prendra toutes les précautions convenables pour qu'il ne soit pas oommaniqué de vibrations considérables aux supports et au m1 environnant. Il faudra éviter les chocs avec plus de

soin encore ] car, outre qu^un choc fait naître des vibrations intenses dans les pièces de la machine et dans leurs supports, il produit des déformations qui, sans être considérables, peuvent néanmoins aksorbernne grande quantité de travail à cause de la résistanqe considérable des forces moléculaires. Les meilleures machines se meuvent sans bruit, sans ébranlement, et pour ainsi dire sans laisser soupçonner l'effort qu elles produisent.

Les maxima et les minima de la force vive ne peuvent se présenter que dans les positions de la machine où la force motrice fait équilibre à la force résistante. On le reconnaît, en observant que les travaux élémentaires, qui représentent la différentielle delà force vive, sont précisément les moments virtuels dont la somme est nulle lorsqu'il y a équilibre. En outre, pour que l'équilibre ait lieu, il suffit que les travaux élémentaires des différentes forces aient une somme nulle dans les deux mouvements contraires dont la machine est susceptible de part et d'autre de la position considérée. Les différents cas sont compris dans le théorème suivant :

Quand la force motrice fait équilibre à la force résis^ tante, il y a maximum ou minimum de force viue, ou bien il n^y a ni maximum ni minimum^ suivant que la somme algébrique du trai/ail élémentaire moteur et du travail élémentaire résistant passe en s^ annulant du positif au négatif ou du négatif au positif, ou bien ne change pas de signe.

Dans le premier cas, la position correspondante de la machine est une position d'équilibre stable^ car, si Ton écarte un peu la machine de cette position dans le sens du mouvement^ la force résistante, qui alors est su{>érieure à la force motrice, tend à ramener la machine dans la position première ; et si Técart est produit en sens con-

DT9UCIQUB. 87

traire du mouvement, la force motrice, qui alors est la pla4|[ran4e, tend k ramener encore la machine dans la première position. On verra de même que, dans le second cas, la position de la machine pour laquelle les forces lont égales est une position à^ équilibre instable; car, qiiel que soit le sens du petit déplacement produit, celle des deux forces qui est la plus considérable tend à éloigner la machine de la position première. Dans le troisième cas, réquilibre n'est ni stable ni instable, ou plutôt il est stable relativement à un écart produit dans un sens, et instable relativement à un écart produit dans Fautre sens; car, quel que soit le sens dif déplacement, la force qui est la plus grande agit dans la même direcwn. L'existence de ce dernier cas d^équi libre est cause que les positions d'équilibre stable et d'é(|uilibre instable ne se Recèdent pas toujours alternativement. Enfin, si les forces se font équilibre^ur une série de positions consécutives de part et d'autre de la positicAi considérée^ celle-ci est une position à' équilibre indifférent,

2. Moui^ement uniforme, volants et régulateurs. — Lorsqu'une machine commence à se mouvoir, le tra« ▼ail moteur élémentaire l'emporte d'abord sur le travail résistant : alors la force vive et la vitesse augmentent. Le t^vail résistant élémentaire devient bientôt égal au tra- ▼ail moteur \ a cet instant, la force vive est un maximum. K le travail moteur et le travail résistant continuent de ▼arier d'une manière inégale, la vitesse subît des variations correspondantes. Cependant on a de l'intérêt k maintenir l'uniformité du mouvement, non qu'elle soit nécessaire à une bonne transmission du travail, mais parce que le travail produit est de meilleure qualité au point de vue industriel : il a plus de régularité. En outre, si les vitesses étaient sujettes k des variations rapides, ces

88 MÉCANIQUE mifSOllIlBLLE.

changements brusques «e pQurraient guère s'effectuer sans produire des ébranlements dans les supports. |1 es|^on€ important de chercher comment on pourra favori^r l'uniformité du mouvement.

Dans la plupart des machines l^ vitesses desdiffiérentes parties ont des rapports constants, abstraction faite dis vibrations. Soient v la vitesse d'une molécule de la machine choisie à volonté, a^ celle de Tune quelconque des autres molécules. L'équation des forces vives prendra la forme

Or, la différence T^,, — T^ étant donnée, plus ^ ma* sak

coasidérabie, moins la différence des vite^es ^ — f^^ sera grande; on diminuera donc les inégalités de la vifïesse, si Ton ajoute à la machine de nouvelles pièces dont le poids et la vitCMBse relative soient considérables.

Ces pièces additionnelles portent le nom de volants. Pour qu'elles n'augmentent pas les variations du travail moteur et du travail résistant, on fait en sorte q«e leur centre de gravité reste immobile ; car alors le travail de la pesanteur sur ces pièces est constamment nul; leur seul inconvénient est d' accroître un peu la somme dès frottements. Lies volants sont ordinairement âe grandes roues concentriques à Tarbre principal de la machine*

U arrive assez souvent que la force motrice et la force résistante peuvent être réglées de manière qu'elles reprennent toujours les mêmes valeurs, lorsque Tgrbre de la machine a tourné d'un angle déterminé; dans ce cas, le mouvement finira par être périodique, l'amplitude de la période sera Tangle dont il s'agit. Nous pourrons déterminer le moment d'inertie du volant qu'il faut adapter a l'adore pour que la difiërence entre la plus grande et la

lis,

nu df

pluspetîie des valeurs de la vitesse soit réduite, dans cha* que période, à une fraction donnée de la vitesse moyenne. Ud exemple simple indiquera la marche à suivre. Kous supposons un arbre horizontal OA, muni d'une manivelle ON, qui est articulée k une bielle verticale NM. La force résistante est un poids Q suspendu à l'extrémité d'une chaine qui s'enroule sur l'arbre.

La force motrice est une force constante P, qui pendant une demi-révolution tire la bielle dans le sens de la pesanteur, et pendant l'autre demi-révolution la pouMe en sens contraire, dç manière à favoriser toujours le moaTement de rotation sans écarter la bielle de la verticale. Nous négligeons le poids de la chaine et celui de la Uelle, et nous admettons que le mouvement soit devenu périodique.

Puisque le mouvement est périodique, le travail de la force motrice pendant un tour entier est égal au travail delà force résistante. Si donc on nomme r et R les rayons de l'arbre et de la manivelle, on aura

4R.P=3itrr.Q,

Quand la vitesse est un maiLimum ou un minimum, la force motrice fait équilibre à la force résistante. Ainsi, en désignant par a l'angle que la manivelle fait avec la verticale OB à l'instant du manumum ou du minimum de ▼itesse, on a la relation

±:PRsina = Qr;

90 itÉGANlQUE RATIONNELLE.

d'où Ton lire, eu égard à Téquation précédente^

a = dt arc sin - •

Soient BON = — BOM' = «i le plus petit des angles

dont le sinus est -» et BOM = — BON' == tt — a^ . La vî-

tesse a évidemment la même valeur minimum en N et N', et la même valeur maximum en M et M'*, car, en vertu de la symétrie, le n&ouvement est le même aux deux extrémités d'un même diamètre.

Soient 6t)| la vitesse angulaire maximum, ot>o la vitesse

angulaire minimum, et ^rnp* le moment d'inertie de

l'arbre, de la manivellq^t du volant inconnu autour du même axe O.

D'après ce qui précède, Téquation ':des forces vives, étendue à l'arc décrit NM, devient

(wj — wj) 2* wfp' = "2[2PR cosa, — Qr(ir — 2a,)],

(l) (wj — wj) ^^ntp^ r=r 2Qr[7r(cosa,- — i) -f 2a,].

Soient encore il le quotient de ar par la durée d'une révolution de l'arbre, c'est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, quantité qui est supposée connue. Il s'agit de

déterminer le moment d'inertie ^rnp* par la condition

que le rapport -^ se réduise à une fraction donnée pi,

sans que la vitesse SI éprouve aucun changement.

La vitesse moyenne fl difl%rera peu de la demi-somme des vitesses extrêmes, lorsque le problème sera résolu, et que la quantité jx sera une petite fraction. Si donc on

DYHAMIQUE. 91

pose

6 sera une petite quantité, et Ton aura

»î — »J r= 2(«, — «a)Q(l — f) = 2fAn^(l — «), {2] Vwp^: --^[7r(cosa, — i)-h 2a,](i -+- s -t- c » -{-...).

Pour une première approximation, on peut négliger e^ alors il vient

Cette équation fait connaître d'une manière approchée le moment d'inertie du volant, lorsque celui de Tarbre et delà manivelle sont donnés. Admettant cette valeur, on tirera de Téquation générale des forces vives la valeur de I9 vitesse angulaire co correspondante à un angle quelconque 6, exprimée en fonction de cet angle et de la vitesse tooî on calculera cette vitesse coo à l'aide de la rela-

tion / 0)^/0 = 2irn, puison aura Gi>i par l'équation (1),

Jo et enfin e par la relation

ail

Ceci fait, on prendra pour nouvelle valeur du moment d'inertie la valeur déjà trouvée augmentée de

^[7r(coSa.-i)-h2a.]f.

Cette nouvelle valeur sera plus exacte que la première; on pourra s'en servir pour calculer une nouvelle valeur de 6, que l'on substituera dans la formule (2) en négligeant

pa MÉCANIQUE mATIOaifELLE.

seulement le cube de £. De cette manière on poussera Tapproximation aussi loin qu'on le jugera convenable.

Ordinairement on prend le nombre [i égal à -r-» et

Ton se borne à la première approximation.

Pour réduire les formules en nombres rapportés aux unités communément admises dans ce genre de questions, on exprimera Q en kilogrammes, r en mètres, et Ton rapportera les vitesses à la seconde prise pour unité de temps. Alors, si Ton nomme n le nombre de tours que

1» ■■ » • 9.nn ,

1 arbre exécute en une minute, -77-— sera la vitesse angulaire moyenne îl, ^ — -^intrQ sera le nombre de chevaux qui mesure la force de la machine ; représentant ce nombre par la lettre c^ on aura, à la première approximation,

Comme la forme du volant n'est point déterminée, on profitera de cette indétermination pour diminuer son poids et alléger d'autant les frottements sur Taxe. Il suffira d'éloigner les parties les plus massives de l'axe de rotation. Néanmoins on ne pourra pas augmenter indéfiniment le rayon de la couronne qui forme ordinairement la partie principale du volant^ car les forces centrifuges, qui croissent comme le rayon, finiraient par être assez puissantes pour rompre la pièce.

Cet exemple est plus général qu'il ne paraît au premier abord; car il comprend toutes les machines qui peuvent se réduire à une série de pièces tournant autour d'axes fixes, et liées à l'arbre principal de manière que la vitesse angulaire de chaque pièce reste dans un rapport constant avec celle de l'arbre. La force résistante peut d'ailleurs

BTXAlflQUB. 93

être appliquée à Pun quelconque de ces corps, ou répartie lor plusieurs d'entre eux, pourvu que la force appliquée i cbaque corps ait toujours le même moment relatif à Paxe de roiation correspondant.

En effet, soient I le moment d'inertie d'un corps autour de son axe de rotation, i le rapport constant de sa vitesse angulaire à la vftesse angulaire (ù de Farbre principal, fxQ/r' le moment de la force résistante qui lui est appliquée, pris relativement à Taxe de ce même corps. Sans éanger la sonnne des forces vives, on peut substituer i ce corps une masse distribuée symétriquement sur Parbre pnncipal et à une distance de Taxe telle, que le moment (t'iuertic de cette masse autour de Taxe soit Ii'. Sans cbangerle travail résistant, on peut remplacer la force Q' par

une forceQ^ — aputée au poids Q qui agit directement sur

Vaibre principal à la distance r. Alors on sera ramené au cas nraple qui vient d'être traité» Les formules resteront

les mêmes, inaLis^^m p* représentera le moment d'inertie

du volant et de Parbre fictif qui remplace tous les corps, et Q représentera le poids fictif qui remplace foutes les (iffces résistantes. Cette méthode analytiqtie et rigoureuse cûiidnit le plus souvent à des calculs pénibles et difficiles. GW pourquoi les ingénieurs préfèrent employer des pmcédés approsiniatîfs, dont Pexactitude est suffisante pour la pratique.

Supposons d'abord que la vitesse de cha({ue molécule delà machine soit dans un rapporteonstant avec la vitesse sagdkire de l'arbre principal, dont on veut égaKser le OMmveiBenty ou du moins admettons que les pièces qui ne MtisfoDt point à cette condition aient une force vive constauneftl négligeable vis-à-vis de la force vive possédée' au même instant par Pensanble des autres pièces. Ceci

94 MÉCANIQUE lULTIONNELLE.

revient à supposer que la somme des forces vives peut, sans erreur sensible, se représenter par une expression

de la forme co*^''<p') ^ désignant la vitesse angulaire de

F arbre, et^!''*^' ^^^ somme constante formée d'une partie connue, plus le moment d'inertie du volant.

Nous remplacerons les forces motrices par une force unique appliquée directement à larbre, perpendiculaire k l'axe, et ayant à chaque instant même travail élémentaire que les forces motrices réellement appliquées. Ceci est évidemment possible et même facile. Nous ferons une substitution semblable pour les forces résistantes. Ce sont ces deux forces fictives que nous considérerons dorénavant.

Imaginons que Ton ait construit une courbe S„ qui ait pour ordonnée le moment de la force motrice relatif à Faxe^ et pour abscisse la longueur de Tare qui, dans le cercle de rayon égal à l'unité, mesure l'angle dont l'arbre a tourné. L'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et deux ordonnées infiniment voisines, correspondantes aux angles deiO-i-dOj mesurera le travail élémentaire de la force motrice pour la position déterminée par l'angle 6. Car toute force appliquée sur l'arbre et perpendiculaire k l'axe peut être considérée comme appliquée k l'extrémité du rayon qui lui est perpendiculaire.

Supposons que l'on ait construit de même une seconde courbe S^, rapportée aux mêmes axes coordonnés, et relative à la force résistante.

Les aires de ces deux courbes, comprises entre deux ordonnées AC, BD distantes de 27r, mesurent l'une le travail moteur, l'autre le travail résistant développé pendant un tour entier. Ces deux aires doivent être ^ales pour que le mouvement soit périodique avec une amplitude de

DYNAMIQUE. pS

période égale à stt (^). Si cette ^alité n'a pas lieu, on

modifiera la force motrice, le plus souvent disponible,

de manière à établir sensiblement l'égalité des deux aires.

Ceci fait, les intersections des deux courbes doivent se

trouver en nombre pair ^ entre les deux ordonnées

^lÀ*»

AC, BD. Chacune des aires comprises entre les deux courbes, et limi*tées à deux intersections consécutives, mesure la ~F moitié de la quantité • dont croit ou décroit la

force vive pendant que l'arbre tourne de l'angle mesuré par la différence des abscisses correspondantes aux deux intersections extrêmes. Parmi ces aires, celles dont le contoor supérieur est formé par la courbe S^ répondent ^ un accroissement de force vive, les autres répondent a uie diminution de force vive. Prenons un nombre impair de ces aires consécutives, en commençant par Tune de celles qui répondent à un accroissement de force vive^ ajoutons celles qui répondent i un accroissement, et retranchons celles qui répondent à une diminution. Soit E| — Ef-hE* la plus grande différence que nous puissions former de cette manière. La première intersection Ii répondra à la plus petite vitesse angulaire coo, la dernière intersection I4 répondra à la plus grande vitesse angu- 1^ cd|, et nous aurons Péquation

La solution s'achève comme dans le cas simple traité

(*)Si l'amplitude de U période était un autre angle ^, on prendrait la ^Unee de» ordonnées extrêmes AC, BD égale à Tare /9.

précédemment. Si Ton conserve la même notation, et que, de plus, on nomme h le rapport de l'aire Et — E» -H E4 i Taire qui mesure le travail résistant développé pendait un tour entier, on aura» pour déterminer le moment d'inertie du volant, en se bornant à la première approximation,

Les courbes S^» Sr peuvent se tracer assez facilement à l'aide du frein de Pronj ou du dynamomètre à ressorts de M. Poncelet. Un crayon, fixé à T appareil dyna||pLométrique, trace la courbe sur un papifcr que la machine elle-même met en mourement.

Considérons encore une machine à vapeur de fP'att, Le piston communique le mouvement à l'arbre par l'intermédiaire du balancier, de la bielle et de la manivelle. L'arbre fait mouvoir des pièces dont les vitesses sont avec la sienne dans des rapports constants.

Pour le calcul de la force vive, on peut, sans erreur trop grande, considérer les masses du piston i vapeur, de la bielle et des pistons des pompes qui sont mises en mouvement par le balancier, comme concentrées aux: points d'articulation de ces corps sur le balancier. De plus, la force vive moyenne du balancier étant ordinairement inférieure à la centième partie de celle du volant et de l'arbre fictif, qui remplace toutes les autres pièces de la machine, il est permis de remplacer la valeur exacter dcr la force vive du balancier par une valeur approchée, d^un calcul plus commode. Or, si l'on nomme co la vitesse angulaire de l'arbre, co' celle du balancier, R' la demi-longueur du balancier, et /la longueur variable d'unje parallèle au balancier menée par le centre de l'arbre jusqu'à la rencontre de la bielle, on a constamment la relation (t. I, p. 23o)

M m: •'— fli .

Ainsi, la force vive du balancier est rigoureusement le produit du moment d'inertie de ce corps autour de son

axe parle facteur ^ «'• H nous est permis de remplacer

ce dernier facteur par la quantité peu différente — iV, Q désignant la moyenne arithmétique entre la plus grande et la plus petite valeur de «, c'est-à-dire -^ ^•

Ceci posé, soient :

y wp* le moment d'inertie de l'arbre fictif et du volant^

0). la vitesse angulaire que possèdent ces deux pièces ({uandla manivelle est au point moit^ c'est-à-dire quand le prolongement de la bielle rencontre Taxe de rotation ;

I le produit de ^ par le moment d'inertie du balancier

autour de son axe propre ;

T. le travail de la vapeur diminué du travail des résistances qui agissent sur le balancier, savoir le frottement du piston, et Teffort de la pompe alimentaire, de la pompe à air et de la pompe à eau, ce travail étant compté à partir de la position de la machine qui correspond au point mort;

T^ le travail de la résistance appliquée sur l'arbre, compté depuis la même position.

L'équation des forces vives, pour une position quelconque, sera sensiblement

-a>î)2'"p'=--I^'-HT„-T,.

On construira, dans une épure à grande échelle, les valeurs de I/*, T^, T^ correspondantes à des arcs décrits qui croissent en progression arithmétique et comprennent un