P— T M ' PM^ — FM
Cette valeur de la tension nous montre que, pour deux accroissemenu égaux attribués séparément à P et à P', les variations correspondantes de la tension sont entre elles dans le rapport inverse des quantités M et M'. Donc, pour éviter que la tension varie brusquement ou change de signe, auxquels cas il y aurait choc entre les dents de l'engrenage, il convient de faire correspondre le plus grand moment d'inertie à l'arbre dont la force appliquée éprouve les variations les plus subites et les plus considérables.
3. Travail résistant tles frottements. — F^tudions le travail développé par les frottements dans quelques ma« chines les plus simples. Il s'agit ici du frottement dynamique tel qu'on Ta déGni (t, I, p. 69).
Pour estimer le travail du frottement, on peut considérer la force de frottement comme celle d'un ressort, qui soppose à Técartement des molécules en contact, suivant la tangente commune aux deux surfaces dont elles font partie, tant que la distance de ces molécules est inappréciable, ou tant que d'autres molécules infiniment voisines ne sont pas venues se toucher et jouer le rôle des premières. D'après cela , le travail dû au frottement de deux surfaces qui glissent Vune sur V autre a pour mesure r intensité de la force de frottement intégrée par rapport à Vaiv de glissement.
loo mécanique: rationnelle.
Engrenages plans, — Considérons d'abord le frotleraent développé dans le mouvement d'un engrenage cylindrique. Kous pouvons supposer les roues réduites a leurs bases*, et nous avons vu (t. I, p. 238 et suiv.) que le mouvement relatif des deux profils s'obtient en supposant fixe l'une des circonférences primitives, et faisant rouler l'autre circonférence primitive sur le contour de la première. Dans ce mouvement fictif, tout point de la figure mobile décrit à chaque instant un petit arc de cercle autour du point de contact des circonférences primitives. Observons en passant que l'angle sous-tendu par cet arc élémentaire est la somme des deux angles infiniment petits dont les circonférences primitives ont tourné dans le mouvement réel. De plus, les éléments en contact dans les deux profils sont à chaque instant perpendiculaires sur la droite qui les joint au point de contact des circonférences primitives. Ainsi, nous voyons déjà que pour des rotations égales et infiniment petites d'une circonférence primitive. Tare de glissement élémentaire est proportionnel à la distance du contact des dents au contact des circonférences primitives*, en sorte que, si la pression normale est constante, le travail élémentaire du frottement est lui-même proportionnel à cette distance.
Venons au détail du calcul .
Soient /', r' les rayons des deux circonférences primitives O, O'^
Q la résistance, supposée constante, qui agit tangentiellement à la roue conduite O', et s'oppose à son mouvement -,
P la pression normale qui s'exerce entre les dents en contact^
fL le coefficient de frottement;
X la distance variable du point de contact A des cir-
DYMikMIQUE. lOl
coDférences primîiives, au point de contact M des dents ^'*' ^^' correspondantes;
s Tare décrit par un point des circonférences primitives, depuis l'instant où les deux dcnls considérées ont commencé à se conduire;
S la valeur finale de l'arc s lorsque les deux dents se séparent.
D'après c<^ que nous avons dit, Tare élémentaire de glissement d'une dent sur Tautre est
(ds ds\
Par suite, le travail du frottement pendant toute la durée du contact a pour expression
11 reste à exprimer Px en fonction de s.
Le mouvement des roues étant supposé uniforme, les forces Q, P et la force de frottement se font équilibre autour de l'axe O'. Si donc on mène par le point de Contact des dents la tangente commune MB, et par le centre O' une perpendiculaire O'B sur cette tangente, on aura
V) Q/zr:P(BM -hf*BÔ^),
'* distance BO' pouvant être positive ou négative. Or, quand on connaîtra le profil des dents, on pourra exprimer BM, BO', X et, par suite, P.r en fonction de s.
Supposons que le profil des dents de la roue O' soit une ^icycloïde engendrée par un point M d'une circonférence
(y roulant intérieurement sur la circonférence 0'. On sait (t, I, p. 242) que, si l'on fait rouler simultanément les circonférences O', O'' sur la circonférence O, supposée fixe, de manière que les trois circonférences se touchent constamment en un même point, le point décrivant M est à chaque instant le point de contact des dents correspondantes. Soient a le diamètre de la circonférence O'', et a l'angle que la droite AM fait avec la tangente commune aux circonférences.
On a
r = fl sin a, BM = r' ces a, BO' = ( r' — a ) sîn a^
et, si Ton suppose que les dents commencent à se conduire lorsqu'elles se touchent au point de contact des circonférences prmiitives, on a
D'après ces valeurs, l'équation (V) devient
Qr' z= P r'cos- -+- p [r' — a) sin - h
et le travail développé par le frottement des deux dents a pour valeur
iS
,Q»(UI) r
ces h fx
sm a
(Is.
L'inlégrale qui figure ici peut s'obtenir sous forme
finie, en prenant pour variable la quantité lang
Si l'on fait a = /', on a Vengrc/iage à flanc (t. I, p. 241 ). le terme dépendant du frottement disparait sous
DTIfAMIQUB. lo3
le signe y*; en sorte que le travail a pour valeur
Si ron fait « = 00 , on a un engrenage dont les dents ont pour proGls des développantes des circonférences primitives. Lorsque les dents sont petites, cet engrenage peut se confondre avec V engrenage à rici^elo/jpantes de cercle, tel qu'il a été déGni (t. I, p. 243). Pour ce système, le travail du frottement est
Dans les autres cas, Texpression finie et rigoureuse du travail est moins simple. Mais, comme les dents sont toujours très-petites, S est un petit arc, et, par suite, on peut, sans erreur considérable, négliger sous le signe f
les puissances de - supérieures à la première. La valeur
approchée du travail devient alors
Nommant n le nombre des dents de la roue O, n' le nombre des dents de la roue O', on a
ce qui permet d'écrire la valeur précédente sous la forme
TTfAQ
Telle est la formule communément employée. Elle exprime que la force du frottement peut être remplacée par une
force égale à i^fiQ ( — •" t)^ T^^ serait appliquée sur un
point de la circonférence O^, dans la direction de la tangente, et en sens contraire du mouvement. Mais le travail obtenu de cette manière est un peu trop faible.
M. Combes a étendu cette analyse aux engrenages coniques et à la vis sans fin [Journal de Liouv^ille^ t. H, p. 109; i837(*)].
Coin, — jSupposons qu'il s'agisse d'un coin BAB', dont p. 5 toutes les molécules sont ani-
mées d'une vitesse uniforme, parallèle à la pression qu'on exerce perpendiculairement sur la tête.
Nommons P cette pression, a l'angle du tranchant, j3 et jS' les inclinaisons des faces latérales sur la tête, R et R' les réactions normales exercées contre ces faces, fxet (i^ les coefficienls de frottement relatifs aux mêmes faces. Nous négligerons le poids du coin vis-à-vis des autres forces, ou bien nous le comprendrons dans la puissance P, si celle-ci est verticale et dirigée sur lé centre de gravité du coin.
Pui;que le mouvement est uniforme, les forces extë-
(*) Voir encore un Mémoire de M. Resal, Journal de VÉcoie Polytech" niquCf XXXIII^ Cahier.
DYNAMIQUE. Io5
rieures se font ëqui libre-, leurs projections parallèles à la tète ont une somme nulle, ainsi que leurs projections perpendiculaires. On a donc
Rsinp — R'iin^' — fiR cosp -+- ^'R'cosp' = o, P— R cosp — R' cosp' — ^R sin P — fx'R' sinp' == o,
et par conséquent
p p (' — f^f*') sina -^ (fi -4- f*^) cosa * — *• : — TTt ; x; •
sinp' — fA'cosp'
Soit /le chemin décrit par le coin dans le sens de la force P. Le travail moteur sera P/, et le travail utile, qui est celui des réactions normales R et R', aura pour valeur
ni « «/. «f ^ ,sina — (pL -h /)cosBcos6'
R/cosB -f- R'/cosS' = R/ ^\: — ^ j, *- •
*^ ^ sinp' — fA'cosp'
Le rapport du travail utile au travail moteur,
sin a — (fA -+- f*' ) ces p cos p' (i — pipL'')sina -h (^ -h p'jcosa
^t maximum, pour un tranchant donné, lorsque
cos p cos p' z= o,
cesi-à-dire lorsque l'un des angles à la tête est droit.
Admettons que (3' soit un angle droit. Le rapport des iTâvaux devient
^langa . i
(i — fAfx'JUnga-f-(fA-f-fA') I — u^' -+- (p H- fi') tangp'
Cl cette fraction croît à mesure que j3 diminue ou que * augmente. Ainsi, quand on fait abstraction de V élasticité des corps y la forme la plus avantageuse que Von puisse donner au coin est celle d\in prisme rectangle à
Io6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
la base et tiis-obtus au sommet. Néanmoins, dans h réalité, plus le tranchant est obtus, plus il y a de forc( consommée dans l'écrasement du corps qu'il s'agit de fen dre. Cette considération fait voir qu'il est dans chaque cas une limite que Tangle a ne saurait dépasser sans qui l'effet utile en soit diminué.
Lorsque la section du coin est un triangle isocèle, et qui les coefficients de frottement relatifs aux deux faces son égaux, le rapport du travail moteur au travail utile s réduit à la fraction
i-+-fxtangp
On voit qu'il y a encore de l'avantage à augmenter Tangl du tranchant.
Vis h filet triangulaire, — On suppose une vis don
le filet est engendré par u:
triangle qui se meut lou autour d'un noyau cylin drique, en restant dans 1 plan de l'axe, et de tell sorte que chaque point de crive une hélice.
L'axe de la vis est verti
cal, et porte un poids Q
une force horizontale I
tangente au cylindre qi
^ forme le noyau, fait monti
le poids Q, en faisant tourner la vis d'un mouvemei
uniforme dans un écrou fixe. 11 s'agit d'évaluer le trava
moteur consommé par les frottements.
Nous considérerons la saillie du filet comme infinimei petite^ ou plutôt nous supposerons que la charge soit di tribuée uniformément sur les éléments de la surface i
filet qui se trouvent compris entre deux hélices infiniment voisines, choisies de manière que le travail ne soit point changé. Alors cette suite d'éléments formera à elle seule l'une des faces à! u.u Jilet moyen, infiniment mince, que nous substituerons au filet réel. Si la saillie du filet est peu considérable relativement au rayon du cylindre, nous ne commettrons pas d'erreur sensible en prenant le rajou du filet moyen égal à la demi somme des rayons extrêmes du filet réel.
Soient DE Taxe de la vis, AF le filet, AB la tangente àThélice au point A, AC une génératrice de la surface kélicoïde et AO une verticale. Le plan BAC est tangent à la surface hélicoïde. Nous prendrons le plan vertical AOC pour plan des xz^ un second plan vertical AOB, perpendiculaire au premier, pour plan des ocy^ et un plan horilontal pour plan des jz'^ les axes seront placés comme l'indique la figure.
Nommons :
« Tangle que la normale ON abaissée de l'origine sur le plan tangent BAC fait avec Taxe des x;
6 et c les angles que la tangente AB et la génératrice AC forment avec la verticale-,
r le rayon du filet moyen, qui est aussi le bras de levier de la puissance P;
h le pas du filet 5
jui le coefficient de frottement entre le filet et Técrou \
R la réaction normale exercée par Técrou sur le filet;
dK l'élément de cette réaction correspondant à Télé- Qieni de surface du filet.
Nous confondrons dans le poids Q le poids de la vis avec celui de la charge étrangère.
Puisque le mouvement est uniforme, les forces appliquées sur la vis se font équilibre. Ecrivant que leurs coni-
io8 utckmqvE ràtionnellb.
posantes verticales se détruisent, ou obtient Téquatioa
Q= I cosddK — ^ / cos^ rfR= R (cosa — itcosb).
On aura une seconde équation 'en exprimant que les moments des forces autour de Taxe font une somme nulle; mais, comme celte équation ne peut s'obtenir sans quelque peine, il sera préférable de lui substituer celle qui résulte du principe des vitesses virtuelles, appliqué au mouvement naturel de la vis pendant un tour entier.
Si Ton observe que la longueur d'une spire est 7
ou -r—Tf on obtient Téquation
sin6
fiR > cos6 .
Les équations précédentes donnent, par l'élimination deR,
P^Qcot^-^^-— — f^^ J-:
smo (cosa — fACOso)
d'où l'on voit que le frottement a pour effet d'augmenter la force P de la quantité
sin^ (cosa — pLCOS^j
Cet accroissement devient infini lorsque 7 = a ; alors
^ cosb '
le mouvement uniforme est impossible, quelle que soit la
force motrice.
Pour achever la discussion il convient d'exprimer cosa
en fonction des angles 6 et c qui, avec le rayon r, suffi*
sent à déterminer la vis. Cet angle est celui de la normale
au plan ABC avec Taxe des x. Or le plan ABC a pour équation
ÔÂ ÔB ÔC "" '
ou
taog6 tangc par conséquent,
