OA

cosa=:

- col' b -h cot'c Subsiiiuant cette valeur dans Texpression de P, il vient

p C0I6 H- fxsinA ^i -\-QoVb -f- cot'c I — fACOS^ ^i -f- cot*^ -\- cot^c

A sine yjh^ -f- 4'^^'*' "*~ ^ttt^ v//i^»in'c -f- ^'K^r^ .^ 2îrrsinc yA* -f- ^iz^r"^ — /ifjt ^A^sin^c -h ^iz^r^

Le rapport du travail utile au travail moteur est

Qcol6 I — fxcos^ ^ï -+- cot'^ -h cot'c sin'^

I H- IL -di -f-cot^^ -f- cot'c

•^cos^

L'inclinaison de l'hélice sur Taxe étant donnée, ce rapport est maximum lorsque c est égal à -• Ainsi, toutes

choses égales, la vis à Jilet rectangulaire a Vav^antage sur la vis à filet triangulaire.

Dans le cas de la vis à filet rectangulaire, l'expression précédente du rapport entre le travail utile et le travail

("} Celle formule est duc au professeur Persy. La manière dont nous ''*îOn» obWnue est celle de M. Poucelet {Journal de Crelle, t. Il, p. 293).

IlO MÉCANIQUE RATIONNELLE.

moteur prend la forme simple

' Qcotb I — iicotb

P î -h fxtang^

Son maximum répond à Tangle b quî vérifie la relation tang2 6 = •

Cordes et courroies glissant sur des surfaces, — Comme exemple de calcul relatif au frottement des lames flexibles qui glissent sur des surfaces, nous résoudrons le problème suivant :

Un cylindre tourne, avec une vitesse donnée w, autour d'un axe passant par son centre de gravité. On veut anéantir cette vitesse dans un temps donné f, à Taide d'un frein formé d'une lame flexible qui embrasse sur la circonférence un angle connu 0. Déterminer la traction constante qu'il faut exercer pendant ce temps à l'une des extrémités de la lame, Tautre extrémité étant fixe.

Soient r le rayon du cylindre, MA* son moment d'inertie relatif à Taxe, fx le coefficient de frottement, d un angle au centre, compté sur la lame circulaire en sens contraire de la rotation et à partir de l'extrémité de Tare formé par cette lame, T et T' les tractions ou tensions quî répondent aux angles 0 = 0 et 0 = o.

D'après ce que nous avons vu (t. I, p. i65, prob. 3), l'élément de la lame qui répond à l'angle 9 éprouve la

tension T'e' , et il exerce sur l'élément de surface du cylindre une pression normale égale à -T'e** dO. Ceci nous permet d'écrire l'équation du problème,

On en lire

et, puisque T = T' e'* , on a

4. Résistance du roulement. — Imaginons un cylindre pesant qui roule sur un plan horizontal. Par reffet de la compressibilité des substances en contact, le cylindre et leplan s'impriment l'un dans Tautre. Cela fait naître, du côté où se dirige le cylindre, des réactions inclinées, qui s'opposent au roulement tendant à s'effectuer autour de rextréniité du diamètre vertical. Si les corps en contact ne sont pas parfaitement élastiques, les réactions qui s'exereenten arrière du cylindre ne compensent pas les réactions exercées en avant-, alors il y a résistance au roulement. U n'est pas nécessaire de connaître les directions et les intensités de ces forces pour étudier le mouvement du cylindre. Il suffit pour cela de connaître leur moment résultant par rapport à la génératrice de contact; car cette génératrice reste fixe pendant le mouvement élémentaire de corps, tant que celui-ci roule sans glisser.

D'après les expériences de Coulomb (*), il faut appliquer au cylindre, pour déterminer son roulement, une force dont le moment par rapport à la génératrice de contact est égal au produit du poids du cylindre par un coefficient numérique, qui ne dépend que de la nature des surfaces du cylindre et du plan.

Soient R la pression normale du cylindre contre le plau^ r le rayon du cylindre, et v le coefficient de résis-

{^*) Suvants ^frai^^/i (Académie des Sciences), t. X; 1785.

112 MÉCANIQUE RÂTIONIVELLE.

tance au roulement naissant. Ou pourra faire rouler !< cylindre en appliquant à son axe une force perpendieu

laire et horizontale, égale à — «De même, la résistana

au roulement établi, ou la force nécessaire pour maiuteni luniformité du roulement, a par rapport à la généra txic de contact un moment égal au produit du poids du cylindn par un coefficient numérique qui, pour deux surface données, est moindre que le coefficient de résistance ai roulement naissant. Si le cylindre devait rouler sur ui plan incliné ou sur une surface courbe, le moment de h résistance au roulement serait proportionnel à la pression normale qui s'exerce entre les surfaces en contact.

On voit d'après cela que la résistance au roulement a le même effet qu'un couple dont le moment-est proportionnel à la pression normale des surfaces en contact.

M. Arthur Morin (*) a repris ces expériences dans de! conditions plus favorables^ il a reconnu que les lois de Coulomb sont généralement peu exactes, et qu'il est impossible de donner à ce sujet les lois simples et générales. Néanmoins, dit-il, la résistance horizontale opposée ao mouvement des voitures par les routes pavées ou en empierrement solide est sensiblement proportionnelle à h pression, et inversement proportionnelle au rayon àet roues; elle est indépendante du nombre des roues, à trèspeu près indépendante de la largeur des bandes de roues, et croit avec la vitesse.

Au reste, le frottement de roulement est ordinairement négligeable vis-à-vis du frottement de glissement; el même on en fait entièrement abstraction dans tous lej calculs relatifs aux corps solides et durs qui entrent dam la composition des machines. On n'a guère à le considérei

(") Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. X, XII, XIII et XIV 1840-1843. — Expériences sur le tirage des voitures ; Paris, i84a.

que dans certains phénomènes spéciaux, tels que le roulement des voitures, le transport sur des rouleaux. Nous traiterons ce cas brièvement, en nous plaçant dans les conditions qui, suivant M. Morin, laissent subsister les lois de Coulomb. Supposant la vitesse constante, nous n'aarons pas à tenir compte de son influence sur le frottement, une fois le coefficient de frottement déterminé poor cette vitesse.

Considérons une roue qui roule uniformément sur un plan horizontal en tournant autour de son essieu. Soient :

P la charge de l'essieu, y compris son poids ;

p le poids de la roue ;

r son rayon 5

p celui de l'essieu ;

y le coefficient de résistance au roulement (*) entre la roue et le plan ^

II. le coefficient de frottement de glissement entre l'essieu et le creux du moyeu ]

F la force horizontale qu'il faut appliquer à l'essieu pour maintenir l'uniformité du mouvement.

La force F se compose de deux parties : l'une fait équilibre au frottement de roulement, sa valeur est v^ ^:

l'autre, que nous nommerons f^ fait équilibre au frottement de glissement. Pour obtenir sa valeur, observons qu'en vertu du jeu de l'emboîtement, le frottement ne s'exerce que sur une seule génératrice de l'essieu, et déterminons d'abord cette génératrice.

La réaction du moyeu sur l'essieu est égale et contraire ^ la résultante des autres forces appliquées sur l'essieu, laquelle est égale à v'P'-hF*. D'ailleurs, nous avons

(*) D'après M. Poncelet, sur une chaussée en empierrement à Tétat ordiotire, fi, = 0,08; sur un chemin de fer, /a = 0,00a.