II. 3« ÉDIT

Il4 ' MÉCANIQUE RATIONNELLE.

VU (t. I, p. 70) que, toutes les fois qu'il y a frottemen entre deux surfaces, la réaction totale n^ est point dirigée suivant la normale commune aux surfaces en contact mais fait avec elle un angle dont la tangente est égale ai coefficient de frottement. Il en résulte que, dans notre cas la direction de la force^P*-f-F' fait avec le rayon d l'essieu mené vers la génératrice de contact un angl cp == arc tangfA. Cela exige que la résultante P des poid qui pèsent sur Tessieu passe un peu en arrière de son axe La charge d'une brouetté ou d'une voiture et l'effort tci tical du moteur se combinent pour vérifier cette condi tîon.

D'après cela, la pression normale entre l'essieu et h boite est

V'P' + F'cos© = ' • i/P»-hF% et la force de frottement

Ce frottement et la force f doivent avoir des moment virtuels égaux ; donc

i/== P ' VP' -♦- P'

Delà suit l'équation

Posant

on en tire

p vr(P-H/>) -t-ft'p \/{r'—n'Yyp^:V(P'^^^ ' (*"P'

DYVÀMIQUE. Il5

Le produit de cette expression par Tespace horizontal parcouru donne le travail nécessaire au transport de la charge P, travail qui est employé tout entier à vaincre les frottements.

Supposons maintenant que la force F soit inclinée à Thorizon d^un angle a, et tende à soulever la roue.

Dans ce cas, la pression sur le plan horizontal est

P -hp — Fsina,

etlarésuluntedes forces appliquées sur Tessieu, outre le frottement, est égale à

v/P'-f-F»— 2PFsina.

Par suite, ou a

-, V ( P -+- o — F sin a ) , p /— =; ^^ . —

Fcosa=i ^ -hu'î- v/P*4-P— 2PFsina.

On pourra tirer de cette équation la valeiir de F cosa ^ fonction de a, et l'angle a qui rendra cette valeur un minimum sera Tinclinaison la plus favorable au tirage.

Si le plan est incliné à Thorizon d'un angle a, et si la force F est parallèle au plan, la pression normale sur le plan est

(P H-/?)cosa,

et la résultante des forces appliquées sur l'essieu, outre le frottement^ est égale à

V^P2-4-F'— 2PFsina.

w suite, on a l'équation

d'où Ton peut tirer la valeur de F. Alors, si Ton nomme f^t le coeflicient du frottement de glissement entre la roue

Il6 MÉCANIQIJE RATIONNELLE.

et le plan, la condition pour que la roue tourne sans glisser sera exprimée par Tinëgalité

F<;fx, (P -4-/?)cosa.

Cette condition pourra se trouver satisfaite, même lorsque Tinclinaison du plan sera nulle.

On trouvera facilement que pour faire, as^ancerun ma-drier sur un plan horizontal, en le faisant rouler sur des rouleaux en nombre quelconque y il faut lui appliquer dans le sens du mouv^ement une force horizontale, égale à

vP-l-v^(P-hF) 2r

P est le poids du madrier, P est la somme des poids des rouleaux, v et v' sont les coefficients de résistance au roulement des rouleaux contre le madrier et sur le plan, r est le rayon des rouleaux.

5. Raideur des cordes, — Lorsqu'un poids Q est soulevé d'un mouvement uniforme à l'aide d'une corde qui

Fig. 6i.

passe sur une poulie de renvoi, on observe que le travail de la puissance P, diminué du travail consommé par le frottement de la poulie sur son axe, est supérieur en valeur numérique au travail de la pesanteur sur le poids Q. La puissance a donc à surmonter une résistance autre que celles du poids et du frottement. U est aisé de découvrir la nature de cette résistance nouvelle. La corde qui porte le poids Q doit se ployer en arrivant sur la poulie *, comme elle n'est pas parfaitement flexible, il y a du travail dépensé à vaincre son ressort; et, comme elle n'est pas parfaitement élastique, ce tra-

vail dépensé n'est pas entièrement rendu lorsque la courbe quitte la poulie du côté de la puissance. On observe, en effet, que le bras de levier de la résistance est toujours un peu supérieur à celui de la puissance, bien (jue les points d'application des deux forces, pris sur les cordons rectilignes, aient constamment la même vitesse.

Diaprés les expériences de Coulomb (*), la partie de l'excès du travail moteur sur le travail résistant qui est due à la raideur de la corde, pour un chemin parcouru égal i Tunité, peut se représenter, quelle que soit la vitesse, par une expression de la forme

''étant le rayon de la poulie augmenté du rayon de la corde, et a, b désignant deux constantes qui dépendent de la nature de la corde, de sa grosseur, de son état de 'éiusté. Toutes choses égales , a est à peu près proportionnel à la quatrième puissance du diamètre de la corde, et J proportionnel à la seconde puissance.

Cherchons la relation qui lie entre elles les forces P et Q dans le mouvement uniforme de la poulie.

Soient p le rayon de Taxe ou celui de Tœil de la poulie, suivant que Taxe lient à la poulie ou bien à la chape, et/la force de frottement qui s'exerce sur l'axe.

Ecrivons que la somme algébrique des quantités de travail est nulle. En observant que 2 7rr est le chemin parcouru par les points d'application de la puissance et de la résistance dans un tour de la poulie^ nous trouvons

{*) Savants étrangers (Acadcmio des Sciences), t. \ ; 178').

Il8 MÉCAJVIQUE RATIONNELLE.

II nous reste à exprimery en fonclion de P et de Q.

On a vu au problème précédent, dans un cas tout à fait semblable, que, si Ton représente par fjt le coefficient de frottement, la force du frottement est égale au produit

de —-- — par la réaction totale (jui s'exerce entre les sur-

v/iH-ft»

facesencontact, laquelle esticiyP' -h Q'-i-2PQcos(PQ), quand on néglige le poids de la poulie. Substituant cette valeur dans Téquation précédente, il vient

^ ^ a-hbO a p / 7\~

Dans le cas où les forces P et Q sont parallèles, on a

valeur qui est de la forme

P z^ A 4- BQ.

Adoptant cette dernière formule, on trouvera facilement que, pour soulever le poids Q d'un mouvement uniforme «1 l'aide de mou/les formées de n jioulies égales, il faut appliquer au dernier cordon une force P dont la valeur est

yB"— I B — 1/ B«— I ^*

Si l'on observe que le coefficient B est sensiblement supérieur à l'unité, on voit par les dernières formules que

DYIKAMIQL'E. I I9

le rapport - diiiiiiiue quand le poids Q augmente. Il en

est de même du rapport entre le travail moteur et le travail utile.

Les systèmes de poulies sont donc plus avantageusement employés à soulever de grandes charges qu'à élever de petits poids.