PRINCIPE DU MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ

Le principe du mouvement du centre de gravité peut s'énoncer ainsi : Dans tout système de points libres, ou dont les liaisons s* expriment par des relations entre les distances mutuelles seules, le mouvement du centre de gravité est celui qui aurait lieu si tous les points étaient réunis au centre de gravité j et qu ils fussent sol^ licites par les mêmes forces accélératrices qui les soUicitent réellement.

Newton (*) découvrît le théorèmç pour les systèmes où les forces se réduisent à des actions mutuelles-, plus tard d'Alembert (**) Té lendit au cas où les forces sont constantes en grandeur et en direction, et à quelques autres cas particuliers •, enfin Lagrange (***) démontra le principe dans toute sa généralité.

1 . Dans un corps ABC A', qui peut glisser sur un plan horizontal et parfaitement uni OCBX, est pratiqué un canal très-étroit ALA', situé dans un plan vertical qui

(* ) Principia, Axiomata sive leges motûs, cor. ^. (**) Traité de Drnami(jue, part. II, chap. ii. (*** ) Mécaniijue analytique, part. Il, sect. 3, § i.

DYlfiJfIQUE. lai

contient le centre de gravité du corps. Déterminer la courbe que doit affecter ce canal ^ pour quun point pesant P, qui y serait déposé, exécute des oscillations tautochrones , On négligera les frottements.

Nous pouvons supposer tout le système condensé sur le plan du canal.

Soient M la masse du corps, m celle du mobile P, X la

distance d'un point D de la base du corps à un point fixe O pris sur le plan horizontal, X la distance du mobile à la verticale du point D, et y la hauteur du

Fig. 62.

OC D B X mobile au-dessus du

plan.

Le principe du mouvement du centre de gravité s'applique au système formé par le corps et le point pesant, pourvu que l'on considère le corps comme sollicité, nonseulement par la pesanteur, mais encore par la réaction du plan fixe horizontal. En effet, le système ne sera plus assujetti qu'à une seule liaison, consistant en ce que le point mobile doit rester dans le canal; et cette liaison est une relation entre les distances mutuelles*, car, si Ion nomme r, r' les distances d'un point quelconque à deux points déterminés, pris sur le corps, la rourbe formée par le canal pourra se représenter par une équation de la lornie

en sorte que la liaison qui existe entre le corps et le point mobile sera représentée par la môme équation, où les distances /*, r' seront relatives au point mobile. Au reste, pour s'assurer que le principe du mouvement

du centre de gravité est applicable dans le sens indiqi il suffit d'observer que rcnsemble du point et du coi peut se mouvoir comme un corps solide, tout en sat faisant aux liaisons.

Ceci posé, la distance du centre de gravité du systè à la verticale du point O est

/ii(Xh-x)h-MX m-4- M

Puisque les forces horizontales sont nulles, cette distai doit rester constante; on a donc

rf(X + x) rfX

Le principe des forces vives donne encore l'équation

yo étant la valeur initiale de j^.

On tire de la première équation

. fiX m dx

^ ^ 'dt~~ w -+- mST*

Substituant cette valeur dans la seconde équation, il vi« M dx^ dr^

d'où

r/ M dx^ \ '

Si la courbe du canal était donnée, la dernière form

ferait connaitre le mouvement da point, et l'équation (A) celui du corps (*). Mais ici le problème est différent.

Supposons que l'extrémité des arcs qui doivent être parcourus pendant le même temps ait une ordonnée nulle. H nous faut trouver la relation entre x et y qui rend indépendante de^o l'intégrale

M dx^ M -t- m djr^

Xf^ — J

dy.

Cette relation doit être telle, que la quantité comprise sous le signe f soit de degré o en j^o» Yt ^J\ d'ailleurs die doit être indépendante de j^o- Nous satisferons a ces conditions en posant

M dx' . 2 a

fl est une constante.

Cette relation peut s'écrire

dx /M -f-my /la—y^y dp-\ M ) \ X ) '

en l'intégrant, on aura Téquatiou de la courbe que doit former le canal.

Quand on suppose que la courbe passe à Torigine, il vient

X r= ( - — 1 ( V 2 flj — j' 4- fl are ces 1 •

On reconnaît une cycloïde allongée ^ qui se construit

(*)Par exemple, si le canal est rectiligne, on trouvera que le point P**«nl décrit dans l'espace une ligne droite d'un mouvement uniforraéincni accéléré. (Jean BEn.Noi'LLi, Co//iwt*/i/. Acad. Peiiup., i73'), p. ii. - Opfra^ t. III, p. 363. )

en dilatant les ordonnées dVne cycloïde perpendiculaires à Taxe, dans le rapport de v^M -t- m à v^M. La durée d'une demi-oscillation est

Quand cette durée est donnée, on en conclut la valeur de la constante

Glaiaaut, Mém. de rjcad. des Se, de Paris ^ >74^> P« 4'*

2. Déterminer le mouvfement de deux points matériels qui s attirent proportionnellement à la masse et en raison inv^erse du carré de la distance.

Soient m, m! les masses;

r, r' les distances au centre de gravité commun; p la distance mutuelle ;

IL Tattraction de Tunité de masse sur Funité de masse à Tunité de distance.

Le centre de gravité commun aura le mouvement rectiligne et uniforme que produirait une quantité de mouvement initiale, égale à la résultante des quantités de mouvement initiales des deux mobiles, en supposant au centre de gravité une masse égale à la somme des masses des deux points. Le mouvement de ces deux points autour du centre de gravité sera celui qui résulterait des positions et vitesses initiales relatives au centre de gravité, et aussi de forces accélératrices dirigées vers ce centre, égales à

— p pour le point m, et a —^ pour le point m .

Or, d'après les relations

les valeurs de ces forces accélératrices peuvent s'écrire

d'où Ton voit que le mouvement relatif au centre de graYilê n'est autre que le mouvement bien connu d'un point matériel autour d'un centre fixe qui l'attire.

Den résulte, en particulier, que les deux orbites décrites autour du centre de gravité, considéré comme fixe, sont des courbes planes, bien qu'elles ne soient pas nécessairement situées dans un même plan. En outre, la relation — = — montre que ces deux courbes sont sem-

Uables et semblablcment placées, le centre de gravité étant centre de similitude inverse.

On aura le mouvement absolu en ajoutant les coordonnées du centre de gravité à celles du mouvement re- "lif. Les courbes que Ton obtiendra de la sorte seront généralement transcendantes.

SECTION II