PRINCIPE DES AIRES
Considérons un système de points matériels, dont les liaisons se réduisent à des relations entre les distances mutuelles seulement. D^une origine fixe menons des rayons vecteurs aux différents points du système ^ et faisons la somme des produits que l'on obtient en multipliant la masse de chaque point par la projection droite sur un plan fixe de l'aire décrite dans l'espace par son rayon vecteur à partir d'une époque détermi^ née, qui est la même pour tous les points. Si les moments des Jorces motrices autour de la droite qui projette
ia6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
V origine font une somme nulle^ la somme des produi dont il s'agit croîtra proportionnellement au temps.
Tel est Je principe des aires.
Outre les liaisons ci-dessus mentionnées, Tun d( points peut être assujetti à rester fixe; mais, dans ce ca Torigine doit être prise au point fixe.
Le principe des aires est une généralisation du tbé( rème de Newton (*) sur les aires que décrit le rayon ve( teur d'un point matériel sollicité par une force centrale Il fut découvert presque en même temps par Euler (**) Daniel Bernoulli (***) et d'Arcy (♦*♦*), à roccasion di mouvement de plusieurs points matériels renfermés dan un tube de forme donnée, mobile autour d'un poin fixe.
1 . Un point matériel, de masse m, est lié à Vextre mité de deux fils inextensibles et sans masse, qui tra \fersent un petit anneau fixe O, et tiennent à leurs se condes extrémités deux autres points matériels^ d masses mf, m". Tout le système est situé sur un plan hon zontal et parfaitement uni. Déterminer le mouv^emen des points et la tension des fils ^ en négligeant le frotte ment sur Vanneau, et supposant que les fils resten constamment tendus.
Soient Om = r, Om' = z-', Om" = r"-, 6, 6', B" les angles que forment les rayons sur un ax fixe, situé dans le plan horizontal \
T' et T'^ les tensions des fils mOm' et mOmP 5 /' et V^ les longueurs de ces fils.
(*) Principia, lib. I, prop. i.
( *• ) Opuscula, Demotu corporum tuhismohiUhusinclusorum,seci. î; 1745. (***) Mémoires de VÀcadémie des Sciences de Berlin, 1745, p. 54. (****) Mémoires de VAcad. des Sciences de Parti, 1747, p. 348.
Paisque toutes les forces sont dirigées vers le centre O, on peut appliquer les formules des forces centrales à chacun des trois points. De là les équations
d^r rfô» T'-hT"
l dn dt^ • m
'*' ' -dF = ' ^ "IP'
d^ ^, dr^ y
df" ^'^ 'dp /w" '
Le principe des aires s'applique à chaque point considéré isolément. Il en résulte qu'en représentant par C, C',C^les quantités constantes qui mesurent le double des aires décrites dans Tunité de temps par les rayons '') r\ r", on a les trois équations
dB dB' dB"
Enfin les relations
(3) r-f-r'rz:/', r -^ r" = l"
(lonnent
,M dr dr' dr dr"
dt dt ^ dt dt
Pour avoir les valeurs des tensions, il suflSt d'ajouter successivement la première des équations (i) avec chacune des deux autres, en éliminant les dérivées par les «[uaiions (a) et (5). Il vient ainsi
m Ht r* r *
ia8 MÉCANIQUE RÀTIONITELLE.
d'où Ton lire aisément
(m H- m' -h w" — = — i- H- "^^ TT^ 1^ J
Cherchons maintenant les trajectoires.
D'après le principe des forces vives, on a
\dt^ dt^l \dO dt^ )
^"^ [-dF^' 'dF)='''''''' = ^'
Si Ton élimine r', r", 0', 9^' et dt à l'aide des relations (2), (3) et (4)> il vient
