QU

Telle est l'équation de la trajectoire du point m. On obtiendrait de la même manière les équations des deux autres trajectoires.

Les formules (2) montrent que les mobiles ne peuvent, jamais atteindre l'anneau, à moins que leurs vitesses initiales niaient été dirigées vers ce point; dans ce cas leur mouvement serait constamment rectiligne.

Admettons que ce cas se présente pour les mobiles m', m".

Alors C, C" seront nulles, et l'équation (5) pourra s'intégrer sous forme finie. On trouvera l'intégrale

. = C y/^ sec ( y/I^^^ ô + const.) .

On traiterait sans plus de difficultés le cas où les

poinu matériels réunis par des fils au point m seraient en nombre quelconque.

RiccATi, Comment, Bonon., t. V, part. I, p. i5o; 1767.

2. Appliquer les principes des forces vivres, du mouvemenl du centre de gratuité et des aires au mouv^ement du soleil et des planètes considérés comme des points matériels.

On considère ici Tensemble d'une planète et de ses satellites comme ne formant qu'une seule masse, située au centre de gravité du système.

Soient : M, m, m\ etc. , les produits des masses du soleil et des planètes par la constante qui mesure l'attraction de l'unité de masse sur l'unité de masse à l'unilé de distance ;

X, Y, Z les coordonnées du soleil par rapport à des nés rectangulaires et fixes dans l'espace;

5î ^> Çî ÇS ^'9 Ç' j etc., les coordonnées des planètes w, ro', etc.;

r,/, etc., les distances du soleil aux planètes m, m\ etc.;

pi^i la distance de la planète m^'^ à la planète m^^K

Les équations du mouvement sont les suivantes :

rf»X w(Ç —

«f|Y in(ij —

rfM M(X-

<fc» — r'

dt* ~~ r»

rf'i;M(z-

PJ,.

Pi.,

PÎ.,

*' ^' ?:• pj..

n. a* teiT.

l3o MÉCANIQUE RATIOf^NELLE.

Le principe des forces vives donne Tintégrale

(*• — d? — -^2ir — W' — )

OÙ h représente une constante, et V "^ signe somma-

toire qui s'étend à toutes les combinaisons des différentes planètes.

Le principe du mouvement du centre de gravité donne les intégrales

MX -+- \m Ç = fl^ -h a,

(2) luY -^^mnz=bt'^p,

f MZH-y/wÇ= et -{- 7,

a^b.c^a^i^yy étant des constantes.

Enfin le principe des aires donne trois intégrales, dont Tune rentre dans les deux autres :

r" — dt — -^2^ — dT-j^'^

(^^ P dt "^Zr dt ) = f^

P — dt — -^2r— 5r-j=^'

e, f^ g désignant des constantes.

Ces intégrales rigoureuses du mouvement absolu des corps célestes sont les seules que l'on ait pu trouver jusqu'ici.

On a bien plus souvent à considérer le mouvement re-

DYNAMIQUE. l3l

latif des planètes autour du soleil que leur mouvement absolu dans Tespace. Il sera donc utile de chercher ce que deviennent les intégrales précédentes, quand on regarde le soleil comme fixe, et qu'on transporte en ce point Torigine des coordonnées.

Soient :

X, y^ z les coordonnées de la planète m pour la nouvelle origine^ j/, y', z* celles de la planète w', et ainsi de suite.

Noos aurons

Ç— ZH-z, Ç'=Z 4-2',....

Substituant ces valeurs de \y ri, ^, ^'v dans les formules (i), (a) et (3), les nouvelles formules (a) nous donneront des valeurs de X, Y, Z qui, substituées dans les nouvelles formules (i) et (3), nous fourniront les quatre int^rales du mouvement relatif seules connues, savoir :

On pourra, par de simples transformations, mettre ces intégrales sous la forme donnée dans la Mécanique cé^

l32 HéCÀHIQUB RATIOAHELLE.

lesie(liY. II, ch. ii, $9) :

3. Deux points matériels, de masses m, m\ 50wf réunis par une tige rigide et sans masse^ mobile dans un plan horizontal autour de l'un de ses points gui est

fixe-^ la molécule m peut glisser librement le long de la tige, tandis que la molécule m' est fixée sur cette droite. Etant donné le mouv^ement initial du point m, déterminer sa trajectoire.

Si Ton nomme a la distance du point m' au point fixe, r et d les coordonnées polaires du point m relativement au même point lixe pris pour origine, et A une constante qu'on détermine aisément par les circonstances initiales, on trouve Téquation

m — = A(/îir»H- /w'fl»)>— (wr'H- m'a*).

Clairaut, Mém. de l'Àcad, des Se. de Pan's, 1742, p. a-i.

4. Deux points matériels égaux sont fixés aux extrémités d' une tige rigide et sans masse, mobile en tout sens autour d^un point fixe situé en son milieu. Déterminer le mouuement de la tige.

Soient (f l'inclinaison de la tige sur la verlicale, 0 Tangle qu'elle fait avec un plan vertical fixe, ^ la valeur ini-

DYNAMIQUE. l33

lialede Tangle cp, co ei u les valeurs initiales de ^- el de

J-» cet c' des constantes que l'on détermine par les données initiales, et c"* = co* -f- '«»' sin*(3. On trouve les équations '

l34 MÉCAlflQUB RATIONNELLE.