MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE

SECTION I

MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE ALTOUR D 'uN AXE FIXE.

Soient 0) la vitesse angulaire, et MA* le moment d'inertie du corps autour de Taxe de rotation. Prenons cet axe pour axe des z, et nommons X, Y les forces motrices extérieures qui sollicitent la molécule (x, y) suivant les axes des x et des y. Nous aurons

le signe \] indiquant une somme étendue à toutes les

molécules du corps considéré.

Les pressions sur Taxe se calculent en exprimant que les forces motrices extérieures, transportées sur Taxe, et les forces centrifuges nées de la rotation, sont équilibrées par les réactions de Taxe, égales et contraires aux pressions.

Une des applications les plus importantes de cette théorie consiste à déterminer le mouvement d'un corps pesant autour d'un axe horizon ta). Soient h la distance du centre de gravité à Taxe de rotation, et C un point situé avec le centre de gravité sur une même perpendiculaire à l'axe, à une distance / de cet axe, donnée par la formule

DYNAMIQUE. l35

Le mouvement du point C ne serait pas altéré si toute la masse du corps était réunie en ce point. On le nomme^ pour cette raison, centre d^ oscillation du corps relative* ment à Taxe considéré. La longueur / est celle du pendule simple qui oscille dans le même temps que le pendule composé formé par le corps dont il s'agit.

Le P. Mersenne proposa, en 1646, àe déterminer la dorée des oscillations d'un corps pesant autour d'un axe horizontal, ce qui revient à déterminer le centre d'oscillation. Tous les géomètres qui abordèrent la solution, Descartes (*), Roberval (»), Wallis (»), Fabri (*) et le P. Mersenne (') lui-même supposèrent tacitement que le centre d'oscillation coïncide avec le centre de percussion. Cette proposition est exacte; mais il est étonnant quUls Taient admise sans la démontrer. Elle leur permit de trouver le centre d^oscillation dans un certain nombre de figures. Descartes détermina celui des figures planes oscillant dans leur plan, et se trompa pour les autres cas; Robervat trouva celui de certaines figures planes n'oscillant pas dans leur plan ; enfin Huygliens résolut le cas général. Cène fut pourtant qu'après plusieurs essais infructueux qu'il parvint à la solution tant désirée. Elle fut publiée dans la quatrième partie de son Ilorologium oscillât o- '^m, 1673. Cette solution se fonde sur deux postulata : le centre de gravité d'un système de corps pesants ne peut remonter de lui-même à une hauteur plus grande que celle d'où il est tombé, de quelque manière que se modifie la disposition mutuelle des corps. Un pendule composé

{^) Lettres de Descaries.

{*) ^echanica, sis'e Dentotu.

{*)Tract. df molUy Àppend. //hjsico-malh. de centre percussionis.

( * ) Mtnenii Rejlexiones phjrsico-ma th ema t icœ, cap xi et x 1 1 .

l36 MÉCANIQUE RÀTlONIfELLE.

remonte toujours à la hauteur d'où il est descendu librement.

Quelques années après la publication de V HorologiiWi oscillatorium^ Tabbé Gatelan [*) fit observer que lei postulata de Huyghens ne peuvent être pris pour des axiomes. Ce fut Toccasion de nouvelles recherches de la part de THôpital^ Jacques Bernoulli et autres géomètres. Ces travaux amenèrent la solution simple, bien connue aujourd'hui.

1. Pendule de Graham, — Un pendule qui porte à son extrémité un cylindre creux, contenant du mercure, et dirigé suivant le prolongement de la tigCy oscille dans un plan vertical. Étant donnés le poids p du pendule^ les distances h et l du point de suspeïision au centre dt graifilé et au centre d^ oscillation, et le rajon intérieui du cjlindre r, déterminer le poids pf du mercure quù jaut verser dans le cjlindre pour que le pendule battt exactement la seconde.

Soient h le rayon de giration du pendule donné autoui d'une parallèle à Taxe de suspension, passant au centre de gravité; h' le rayon de giration du mercure additionnel autour d'une parallèle à l'axe, passant au centre de gravité de cette masse ; h la distance du point de suspension au centre de gravité du mercure additionnel \ L la longueur du pendule simple qui bat la seconde (à Paris, L = o",993 9ooi7).

La formule (B), jointe à la relation qui existe entre les rayons de giration autour de deux axes dont l'un passe au centre de gravité, nous donne l'équation

w -^ -^,[{h-EiY^ k^]-^- -^,[[E--h^y-^k'^

Ln:

(*) Journal des Savants, 1682 et 1684.

DYNAMIQUE. liy

OÙ Ton a fait

il fient, en réduisant,

" ph^p'li' '

cl, si Ton remplace h? -4- /r' par sa valeur /A, (i) ,;A(/-L)=,i'[A'(L~A')~^'«].

Nommons p la densité du mercure, et u la distance du point de suspension à la surface supérieure du mercure que contient le pendule dans son premier état.

Nous aurons

p* r= 2îrpr' (il — A'), Cl (page 64)

Ces deux relations nous permettent d'éliminer h' et V de la dernière équation*, alors nous obtenons, pour déterminer p', Téquation du troisième degré

- j ir'pV* [4 « (L — a) — r^\p' H- Stt V"* /?A (/— L) r=: o.

Dans le cas où le pendule donné battrait «î peu près la seconde, on pourrait considérer le mercure ajouté comme formant une lame circulaire sans épaisseur, et Ton aurait ^Dsiblement

d'où (i)

l38 MÉCAMIQUE RATIONNELLE.

La capillarité et les oscillations du mercure sont de£ causes perturbatrices que nous avons négligées; mais nos calculs seront tout à fait exacts, si nous remplaçons le mercure par de petits disques solides enfilés sur un axe commun.

On sait que le pendule à mercure peut être disposé de manière que les variations de la température n'aient pas d'influence sensible sur la durée des oscillations. On le regarde comme le meilleur des pendules compensateurs.

2. On suppose un pendule formé d'une sphère pesante et homogène, dont le rayon est r et la masse m, fixée par son centre à r extrémité d'une tige sans poids, dont la longueur est a. On demande à quel point de la tige il faut fixer le centre d'une nouv^elle sphère homogène, dont le rayon et la masse sont r' et m!, pour diminuer le plus possible la durée des oscillations.

Soient a' la distance du point de suspension au centre de la sphère additionnelle, h la distance du même point au centre de gravité des deux sphères, k le rayon de gi ration du système autour d'une perpendiculaire à la tige, menée par le centre de gravité, et / la longueur du pendule synchrone.

On trouve aisément

ma -+- m'a'

ma^ -^ m' a^ -^ ^ (mr^ -h m' r'^) h^ -\- A* 5

ma -\- m a

Posant -r-, = o, et tirant de cette équation la valeur de da

DYNAMIQUE. lig

a\ il vient

— ma -4-

I /w {/w -h m') fl' -h ^ /w' {mr^ -h m'r'»)

On voit par là que, lorsqu'on fait glisser un curseur SOT la tige d'un pendule en Télevant de plus en plus, on finit par atteindre une hauteur telle, qu'en élevant encore le curseur on produit le même eOetTiue si on l'abaissait, c*est-à-dire qu'on augmente la durée des oscillations.

Si la lentille et le curseur peuvent être assimilés à deux points matériels de masse m, m\ portés par une tige sans poids, de longueur a, la distance a' du curseur au point de suspension, pour laquelle se produit le phénomène dont nous parlons, satisfait à l'équation

ma I m

ma V m

ma y

EuLER, Theoria motus corporum soUdorum, c. VII, prob. 48.

3. Considérons une tige pesante, homogène et partout d^égale épaisseur, qui oscille dans un plan vertical autour de son extrémité. Si cette tige était flexible, elle se courberait. Nous la supposons rigide, et nous voulons troux^r le point oit la force qui tend à la courber exerce le plus grand effort.

Soient a la longueur de la tige, m sa masse, d l'angle <pi'elle fait avec la direction de la pesanteur, b la distance Jo point cherché B à l'extrémilé fixe, r la dislance entre 'a même extrémité et l'un quelconque des éléments de la ^e qui sont situés au-dessous du point B.

La force motrice gagnée en vertu des liaisons par l'élément rfr, estimée dans le sens du mouvement, est égale

^^ produit de la masse —m pac la différence entre la a

MÉCANIQUE BATIONMELLE.

force accélératrice effective — r—— et la force accélérait/»

trice appliquée gs\nô, La somme des moments autour du point B des forces gagnées par tous les éléments rfr mesure Teffort qui tend à courber la tige au point B. Cet effort a donc pour expression .

Or on a, dans le mouvement de la tige, dH 3g ^

di'

sinO.

Par conséquent Teffort dont il s*agit est

Le maximum a lieu quand fc= «•

Ainsi, le point cherché est symétrique du centre d'oscillation par rapport au centre de gravité.

Le moment de la force qui tend à courber la tige en ce point a pour valeur

/wg'sinO

4. Ax^ec quelle vitesse une voiture peut-^lle tourner Fig. 63. sur un plan incliné,

sans qu'elle cesse de s^ appuyer sur ses quatre roues?

Supposons que la ligne de plus grande pente sur le plan soit parallèle a Tessicude derrière, et considérons le système en projection droite sur le plan incliné.

Eï (} S

DYNAMIQUE. l4i

B, B' les points d^appui des roues de derrière sur le plan;

A, A' ceux des roues de devant;

Af, A', les positions qu'auraient ces derniers points si la voiture ne tournait pas:

flt Tangle des deux essieux \

i Tangle AiBA;

aa la distance AA' ou BB' ;

l la distance des deux essieux, lorsqu'ils sont parallèles;

< Tinclinaison du plan sur Thorizon;

P le poids de la voiture ;

G la projection de son centre de gravité, située à égale dislance des droites BA,, B'A',;

&la distance du plan au centre de gravité;

h la distance du centre de gravité au plan vertical qui contient l'essieu de derrière ;

-la traction, que nous supposerons exercée dans une

direction parallèle au plan et perpendiculaire à Tessieu de devant;

h' la distance du plan au point d'application de la traclion;

V la vitesse du milieu D de Tessieu de derrière.

Pour que la voiture reste appuyée sur ses quatre roues, il faut que le poids et la traction aient autour de AB un i&oment supérieur à celui des forces centrifuges. Formons cette inégalité.

Le moment du poids est égal au produit du poids par le cosinus de Tangle que la droite BA fait avec Thorizon, et par la distance du centre de gravité au plan vertical qui contient la même droite BA. Nous trouvons d'abord,

l4a MÉCANIQUE RATIONNELLE.

pour expression de ce moment,

P[(a cosi — h sin/) cost — b cos/ sini J.

D'ailleurs la projection de AB sur A', Ai est égale, d'une part, à a (i — cosa), d'autre part k [l+a sin a) tange, ce qui nous donne

sin s cos« I

a (i — cosa) /-hasina . . x, . /t . • i,iT

^ ^ [o»(i— C0Sa)*-l- (/-hflsma)']*

Le moment de la traction est

-/i'sinfa — f).

Il reste à trouver le moment des forces centrifuges. Nous admettons que les roues ne glissent point. Il en résulte que leurs points de contact sur le plan tournent, dans l'instant considéré, autour de rinterscclion O des droites AA', B6'. Par suite, les milieux des essieux et la voiture tout entière tournent autour d'une perpendiculaire au plan menée par le point O, avec une vitesse angulaire égale à

-=■ ou 7 tanga.