OD
Prenons le point O pour origine des coordonnées, la r perpendiculaire au plan pour axe des z, et une perpendiculaire à 6A pour axe des x.
Le moment des forces centrifuges sera représenté par Tintégrale
ai t
^^tn„g«ajz
étendue à toutes les molécules de la voiture.
Pour évaluer cette intégrale, il est commode de transporter l'origine au centre de gravité, puis de faire tourner
les aies parallèles au plan de manière que le nouvel axe des X soit perpendiculaire à la droite BA|. Nommant x\ y, 2' les nouvelles coordonnées, nous aurons
x:= Ix' -\ ) cosf -+■ ( r'-h 6)sinf,
\ tanga/ ""^ ^
et le moment des forces centrifuges deviendra
-Vteng'a PA (-^ÎÎÎ^H-6siin| -h cosf ix^z'dV gn ^ l \tanga / J
-f- sine I yt'dP .
Ces valeurs nous permettent d'écrire immédiatement la condition cherchée. Mais auparavant faisons quelques simplifications.
La traction est une petite fraction du poids total, — en-
Wron, et l'angle s est peu considérable ^ il en résulte que nous pourrons substituer sin a à sin (a — e), dans le moment de la traction.
Le plan des y' z' partage la voiture en deux parties sensiblement symétriques; nous pourrons donc supposer
nulle Pintégale Çx'z'df.
Le plan des x' z' divise la voiture en deux parties qui Qesont pas très-différentes^ en outre sin e est une assez petite fraction; par conséquent, dans le moment des forces centrifuges, nous pouri*ons encore négliger le terme
$ini jjr'z'dP vis-à-vis du premier. Tout ceci n'intro-
dnira dans le résultat que des erreurs insignifiantes pour ce genre de questions.
Lm^alitécpie doivent vérifier la vitesse, Finclinaison
l44 MÉCANIQUE BATIOMNELLE.
du plan et l'angle de déviation devient alors
/ . f • .X f . • > « sin a
[acosi — hsini) cosc — b cosi smc -+- h'
> — tanga(/cosf -f- ^tangasinc), S*-
où sine et cose ont les valeurs données plus haut.
Le rapport - exprime la tangente de rinclinaison dii^
plan sur lequel la voiture en repos commencerait â verser. Les règlements de la police française exigent que, dans
les grandes messageries^ ce rapport soit égal à ^*
Si Ton adopte les nombres suivants,
qui, d'après Coriolis, conviennent aux grandes messageries de France, et si Ton suppose a = 3o degrés, la vitesse f^, pour laquelle la voiture tendrait à sHncliner sur un plan horizontal, est de la''**,^ à l'heure. Toutefois on doit observer que les vitesses obtenues par ces formules sont un peu trop grandes pour des voitures suspendues.
Co&iOLis, Journal de l'École Polyt.^ XXIV» Cahier» p. i55; i835.
5. Une plaque mince et pesante, qui a la forme d*un triangle rectangle isocèle ^ est suspendue par le sommet de r angle droit j et porte sur le prolongement de Vun des côtés égaux un axe très-court, qui s'engage dans un anneau horizontal fixé verticalement au-dessous du point de suspension. Déterminer la vitesse avec laquelle la plaque doit tourner autour de V axe fixe pour que Vanneau n'éprouve aucune pression.
DYNAMIQUE. l45
Si Ton nomme a le côté de Tangle droit et cd la vitesse angulaire, on trouve
6. Une tige mince et homogène^ mobile autour d'un axe horizontal qui s'engage dans son extrémité, est d'abord amenée dans une position horizontale^ puis abandonnée à son poids. Démontrer que l 'angle 0 décrit par la tige, et l'angle y compris entre la tige et la droite suivant laquelle est dirigée la pression qu éprouve Vaxe^ vérifient constamment la relation
tang 0 tang ^ -
lO
Kg. 64.
7. Le métmnome de Maelzel est un pendule verti" caly dont la tige AOB porte une lentille L à son extrémité inférieure A, et un curseur C sur sa branche supérieure OB.
Trouver le point de la tige où il faut amener le curseur pour que le pendule batte y par minute , un nombre donné d'oscillations.
Soient n le nombre donné, O Taxe de
snspension, OA = a, OB= J, OC = x,
P le poids de la lentille, P' celui de la tige,
p cdtti du curseur. On suppose la lentille formée de deux
lentilles plan-convcxesjégales, et l'on nomme son rayon r.
Mm axe au.
Si Ton pose
4or«-4-i5r»ii'-4-tf*
A»=iï*-I- 2ar-+-
a^^ab-h b^
io(3r»-4-a») 36001"
n, a«ÉDIT.
lO
l46 MÉGANIQUE UATIONHELLE.
OEi a, pour déterminer x, l'équation du second degré
8. Un chemin de fer décrit une courbe horizontale, dont le rayon, compté du milieu de la voie y e^f R ; quelle éléi^ation faut-il donner au rail extérieur au-dessus di rail intérieur pour que le wagon s'appuie également sut les deux radis ?
On peut négliger Tefiet de la traction; car cette forci est une petite fraction du poids, surtout pour le derniej wagon, qui est le plus exposé à verser.
Soient a a la largeur de la voie, v la vitesse sur L milieu de la voie et u la différence de niveau des deu! rails.
Si Ton suppose que la masse du wagon soit distribué* symétriquement de part et d'autre de la section longitu dinale et de la section transversale qui partagent la lar geur et la longueur en deux parties égales, on trouve
9. Trvui^er, dans un corps' pesant, le lieu des axes di suspension, autour desquels le corps oscillerait dans h même temps quun pendule simple de longueur donnée l et qui sont à une distance connue h du centre de gravité
Prenons pour axes des jr, des y et des z les axes prin cipaux d'inertie du corps relatifs à son centre de gravité nommons A, 6, G les moments d^inertie relatifs à ce axes, M la masse du corps, et posons
Le lieu cherché est celui que trace dans le corps 1
en?
surface d*nn cylindre droit, de rayon /i, dont Taxe décrit le cône du second dc^rë représenté par Téquation
(N — A) o:^ -4- (N— B) j» -h (N — C) «» ~ 0. BiOT, /ourn. de l'École Polyt.y XIII* Cahier, p. 242.
10. Trouver y dans un corps pesant y le lieu des axes de suspension autour desquels le corps oscillerait dans un temps donnée et qui passent par un point connu.
Conservons la notation du problème précédent, et nommons x', y\ z' les coordonnées du point commun à tous les axes.
Le lieu cherché est la surface représentée par Téquation
/[(x- x'Y + [y -y? ^ (z-3')'] ' - {[xz - z'x)^^ i/z - zyyY
K(jn — x'Y -f- B( j - y' )' -f- C(2— 2')»
le BiOT, ihid,
SECTION 11
XOQVBMEIfT D UN CORPS SOLIDE AnOVR D DN AXE QUI SE MELT PARALLÈLEMENT A LUI-MEME.
Le problème général du mouvement d'un corps solide autour d'un axe qui se meut parallèlement à lui-même se résout en déterminant d'abord le mouvement de transla- ^ tion du centre de gravité, puis la rotation du corps autour
^, dune parallèle à Taxe mobile, menée par le centre de
gravité et considérée comme fixe.
1. Déterminer le mouvement que prend une tige pefante^ lorsquon V abandonne à son poids y sans vitesse initiale, après avoir placé une des extrémités sur un plan Il I incliné parfaitement uni. On suppose la tige située dans
Fig. 65.
l48 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
un plan vertical perpendiculaire à la trace horizontale rlu plan .
Soient :
a rinclînaison du plan ; m la masse de la lige ^ k son rayon de gi ration autour d'une perpendiculaire menée par le centre de gravité;
a la dis Lan ce du centre de gravité à l'extrémité qui touche le plan ;
X le^chemin parcouru le long du plan par la projection C du centre de gravité;
(f l'inclinaison de la barre sur le plan ; |3 la valeur initiale de cette inclinaison ; R la réaction du plan.
Le mouvement du centre de gravité est régi par les deux équations
df
</^.r7sincp , : //lésina, m —^ — î- = R — /Ti^cosa,
et la rotation autour du centre de gravité par Téquation
d'^o mh} --4 r= — Ra ces?.
La valeur de x est donnée par la première équation, intégrée deux fois,
X = - ^r'sina -h a cosp.
Nous aurons la valeur de 9, si nous éliminons R entie la seconde équation et la troisième. Il vient
f/'sinq
"'''"'^-Âî"
dC
a^cosacosf.
DYNAMIQUE. l49
et en intégrant
(V) (fl»cos»ç -f- A') -^ = 2<i^cosa(sinp — sinç),
^2agcosoLjQ V sin p — suif
Taleur qui, avec celle de x, détermine complètement le mouvement de la tîge.
La réaction R est donnée par la formule
dans laquelle il faut remplacer — -^ par la valeur finie que Ton obtient en différentiant Téqualion (V). On trouve
/wX-^fiTOSa ^. , . . ^ . ., •
^=1—. r 7tt;[^' -«-«'(» -l-sin> — 2sm6smflp)].
Fuss, iVoi^a ^r/fl Petrop.^ t. XIII, p. 70; 1797.
2. Une tige pesante^ homogène et partout d'égale épaisseur^ suspendue dans une position horizontale par deux fils verticaux d^ égale longueur attachés à ses extrémités, a été légèrement dérangée de sa position d*équilibre. jdssigner la durée des petites oscillations tjue cette tige exécute^ en restant horizontale et conser^ ^antson centre de gravité sur une même verticale. Les fils sont assez légers pour qu^on puisse négliger leur inertie.
Soient m la masse de la tige, a a sa longueur, Q l'angle qu'elle fait avec sa position d^équilibre, /la longueur de chacun des (ils.
Pour de très-petites oscillations, on peut négliger le déplacement vertical de la tige^ à moins que le rapport
l5o MÉCANIQUE aATIONNELLB.
-ne soit une très-petîie fraction, ce que nous ne supj sons point. Il en résulte que la tension de chaque (il constamment égale a —^ ; en sorte que cette tension, i
timée suivant une horizontale perpendiculaire à la tii
a pour valeur
rng aB
Si donc on observe que le rayon de gi ration de la t autour de son axe de rotation est -^» on voit que les cillations sont régies par Téquation
a» d'B mg aB
'ou, simplement,
lïF '~ T '
L^intégration donne, en désignant par a la plus gra: valeur de d,
Il en résulte que la durée d'une oscillation est exprîi par rintégrale
Cette durée ne dépend point de la longueur de la bai
elle est la même que pour un pendule simple dont la
gueur serait le tiers de la longueur commune des c
fils.
Lady's and genilemans Diary, iS/^iy p. 5i.
DTHÀMIQtTB. l5l
3. Une sphère creuse^ homogène et remplie de liquide de mente densité que la paroi ^ descend sans vitesse ini- ** tiale sur un plan incliné, qui exerce assez de frottement
pour déterminer la sphère à rouler sans glisser. Comparer le temps quelle emploie pour parcourir un espace donné à celui qu'emploierait une sphère pleine y de même rayon et de même densité.
Soient :
a rinclinaison du plan sur Thorizon *, ^ m la masse de la paroi solide-,
a son rayon eictérieur;
tson rayon de giration autour d'un diamètre^
m', a', k' les quantités analogues pour la sphère liquide;
X Tespace parcouru par le centre parallèlement au plan;
6 Tangle dont le solide a tourné autour de son centre ;
Fia force de frottement qui s'oppose au glissement;
x', Vy F' les quantités analogues dans le cas d'une sphère pleine.
Pendant le mouvement de la sphère creuse, le fluide ne tourne pas, mais ses molécules sont toutes transportées parallèlement au chemin parcouru par le centre de figure, lien résulte que les équations du mouvement de Fenveloppe sont les suivantes :
(m -h m') --r-j =:(/w -h m')gsinct — F,
dt
(lesquelles on tire, en observant que 0 = ->
l5a MÉCANIQUE RÀTIONHELLE.
L'intégrale est
[mA^-\-(m -f- m')a^]x = a^g sînoc.r'.
Si maintenant on considère la spbère pleine, on a les équations
(/w-f-/w') -T-j- =:(/« -f-/it')^sina — F',
d'où
d*x' [mA'*-^ m' y^-}-(m -h m')a^]-—- = (m-f- m')fl»g'sina,
D'après ces formules, les espaces parcourus par les deux mobiles pendant le même temps sont dans le rapport
x' ~" mA^-\-{m-\- m')a^ '
Si l'on remplace mA' et m'A'* par leurs valeurs
-(m-f-m')a' — ^m'a" et ^ m'a'*, puis les masses par leurs expressions en fonction des rayons, et que Ton nomme n le rapport -7 du rayon extérieur au rayon în-
térieur, on trouve
Dans le cas de ti = 2, cette formule donne X 112
x' III
Ladys and gentleman' s Diary, 184^» p. 5i .
DTHAMIQUB. l53
4. Une sphère pesante et homogène est posée sans vitesse initiale sur un plan incliné. Déterminer le mouvement qu elle prendra^ en tenant compte du frottement de glissement et de la résistance au roulement.
Soient :
m la masse de la sphère \
a son rayon;
k son rayon de giration;
arinclînaison du plan sur Tborizon ;
fi et fx' les coefficients de frottement au départ et pendant le glissement;
V et 1/ les moments du couple de résistance au roulement pour Tunité de pression au départ et pendant le roulement (t;oirp. m).
, I Nous admettrons que jLt'et v' sont respectivement un peu
moindres que fA et v, ce qui est conforme aux observations.
Nommons encore xTespace parcouru par le centre de la sphère, et B l'angle dont elle a tourné autour du diamètre parallèle à Thorizontale du plan.
Quand la sphère est posée sans vitesse sur le plan, son poids tend à la faire tourner autour du point de contact, tandis que la résistance au roulement agit en sens contraire. Le moment du poids est mga sina; le moment du coople de résistance au roulement peut prendre toutes les ▼aleurs inférieures à v mg cas a.
Premier cas. — Le moment du couple de résistance su roulement pour le départ est supérieur au moment du poids:
tanga<-.
Dans ce cas, le couple de résistance au roulement fait équilibre au poids autour du point de contact ; la sphère
l54 MÉCAIIIQUE RATIOIINELLE.
ne roule pas dans le premier instant. Elle se trouve dans les mêmes circonstances qu'un corps plat couche sur le plan.
i^ Si tangft est inférieur à fx, la sphère reste immobile (i;o//' 1. 1, p. 70).
a^ Si tanga est supérieur à fji, la sphère commence à glisser; le mouvement de son centre est régi par l'équation
m -—-- = mg sma — fA mg cosa.
dt
Elle ne tournera jamais autour de son centre, et par conséquent elle ne roulera point. En effet, les forces qui la sollicitent à tourner sont, d'une part, la force de frottement dont le moment autour du centre est a^finig cosa, d*autre part le couple de résistance au roulement, qui agit en sens contraire avec un moment susceptible de prendre toutes les valeurs inférieures à vmgcosa. Or, dans le cas où nous sommes, ce moment vmg cosa est supérieur à celui de la force de frottement j car des inéga* lités
tanga < -»
et
tanga >fx,
il suit ^ <^ -» et à plus forte raison |ul'<^ -5 d'où
a i»! m g cosa <^ v m g cos a.
Le couple de résistance au roulement fera donc constamment équilibre autour du centre à la force de frottement développée par le glissement. La position du mobile à une époque quelconque est donnée par les équations
(1) xrr:- (sina — fA'C0Sa)f% G =: o.
DYH1.MIQVE. l55
Deuxième cas, — Le moment du couple de résistance an roulement pour le départ est inférieur au moment du • autour du point de contact :
(a) tonga>--
An premier instant le couple de résistance au roulement n'est plus assez puissant pour empêcher directement la sphère de rouler en vertu de son poids. Cependant nous ne sommes pas en droit de conclure que le roulement aura toujours lieu, et beaucoup moins qu'il aura lieu sans glissement simultané. Car en considérant le mouvement de la sphère autour de son centre de gravité, nous voyons que ce mouvement de rotation, nécessairement dirigé dans le sens de la descente, ne peut avoir lieu qu autant que le moment du couple de résistance au roulement T/mgcosoCj est inférieur au moment de la réaction tangenûclle de frottement relatif au centre de la sphère. D'ailleurs cette force de frottement dépend en partie du roulement lui-même^ et elle ne peut en aucun cas surpasser jimgcosoc'^ delà une nouvelle condition. Le calcul de la force de frottement est nécessaire pour dislingner les différents cas.
Supposons donc que la sphère roule. Nommons F la force tangentielle de frottement : le mouvement de son centre de gravité et le mouvement autour de ce centre seront représentés par les deux équations
;3j ,!,. — m^sma— F,
4] w/^ — - =z a¥ — v'mgcosoi.
Si le roulement a lieu sans glissement,
' di* di^
l56 MÉCANIQUE RÀTIOVHELLS.
et par suite
„ a^F — flv' nfff cosa mg sma — F = — — >
d'où
(5) F= ,^^,,(^»sina4-flv^cosa).
V / ûi» 4 X-s ^ ^
1® Celte valeur de F est moindre que yimg cosa ce qui exprime la même condition,
tanga<p
T.ht}
Alors aussi le moment du couple de résistance av lement v^mg cosa est inférieur à celui de la réactio gentielle ] car en substituant la valeur ( 5 ) de F dans galité
v'iw^C08a<flF,
et faisant les réductions, on arrive à
^ v' tanga> -5 a
ce qui est exact en vertu de la condition (2), puis est moindre que v.
On voit dès lors que rien ne s'oppose à ce que la i roule sans glisser.
Les équations (3) et (4) deviennent
(Px a" / . v' \ -7- - = — -g Isma cosa)»
dp ~~^'dF''
-— et -7-^ sont positils. Un a pour une époque
conque
ar=r: 2. (siOa COSa r%
Remarquons ici que la résistance au roulement ralen^ tit la descente du mobile en influant sur la réaction tangentivlle, bien que cette résistance ne figure pas dans tiquation [Z) du moui^ement du centre.
a<*Ona
(6) unga>p-h^^p-lj,
c'est-à-dire que la valeur de la force de frottement F, cticiilée en supposant que la sphère ne glisse point, est impossible. Il s*ensuit que le corps ne pourra moins faire qQ€ de glisser. Alors la réaction tangentielle, on le sait, prend nécessairement la valeur y^mg cosa.
Si le moment de cette force de frottement relatif au centre, a^mgcosoL, est inférieur au moment du couple de résistance au roulement, y ni g cosa, ou si l'on a
la sphère ne pourra pas rouler \ elle descendra en glissant uns rouler, comme nous Tavons expliqué au premier cas (a®). Sa position sera donnée à toute époque par les équations (i).
Enfin, si Ton a
le roulement et le glissement auront lieu en même temps, le rapport des accélérations de ces deux mouvements simultanés sera tel, que la réaction tangentielle de frotteotent ait constamment la valeur iflmg cosa. Calculons ce
f58 MÉCANIQUE RATIONirELLE.
rapport. Soit ia le rapport de Taccélération du centrée à raccélération de la rotation. Nous avons
Remplaçant les accélérations par leurs valeurs tirées des équations (3) et (4), il vient
„ ta* F — ia vmg cos a mg sin a — F = j- — ,
d'où
Cette expression, égalée à a'w^cosa, nous donne
mg F = . ° ,, (X* sina -h /ûv' cosaU
Ce nombre t est évidemment le rapport du chemin pF^^^* couru parle centre, au chemin parcouru dans le m^*^^^ temps sur la surface de la sphère par son point de con tstct avec le plan. Il est toujours positif et plus grand cj*^^
Tunité, car le dénominateur a' l/x' j est positif { 7 '*
et, d'après l'inégalilé (6),
/'(langa — f*)>fl' (fx— - j, ou, à plus forte raison, \j! étant moindre que /jt,
/•=(tanga-f*')>û^U'~M.
en sorte que le numérateur est plus grand que le déra^ ^ minateur.
DTHÀMIQUB. 1 5g
Le mouvement est régi par l'équation
m -7Y = mg sin a — f*' mg cosa
et par Téquation (8).
On a pour une époque quelconque
et
j:r=-(sina — fA'cosa)r% Q =: aix.
Cette expression de x est celle que nous avons obtenue (i) dans le cas où le corps glisse sans rouler. La résistance ail roulement n'a donc aucune injluence sur Iq vitesse tlu centre, dès que le roulement est accompagné d'un glissement, quelque petit qu'il soit.
La vitesse du centre est la somme d'une vitesse due sfcu glissement et d'une vitesse due au roulement. Le rapport de la première vitesse composante à la seconde est I — I. Ce rapport augmente avec Tinclinaison du plan sarrhorizou (9) ; il devient infini, c'est-à-dire qu'il n'y ^plas de roulement^ quand le plan devient vertical. En résumé, si les trois conditions
Unga>-, -<i^* ^anga<p-f--j;5 U— -j,
^tit satisfaites, la sphère roule sans glisser. Si les deux premières conditions sont seules vérifiées, la sphère roule ^t glisse en même temps. Si la première condition seule ^H satisfaite, la sphère glisse sans rouler.
Enfin, si la première condition nVst pas satisfaite, la sphère se comporte comme un corps plat incapable de 't>uler.
Il est presque inutile d'ajouter que la discussion et les {brmules précédentes se rapportent également i la sphère,
l6o MÉCANIQUE EATIONIIBLLE.
au cylindre et à beaucoup d'autres corps. Pour uu«
sphère, A* = ^ a*; pour un cylindre de rayon a, Ar* = - a*
5. On lance une sphère homogène le long d'un plw incliné, dans une direction perpendiculaire à r horizon taie du plan, en même temps quon lui imprime une ro tation de même sens que celle qui aurait lieu si la sphèr roulait sans glisser, mais plus rapide. Déterminer l mous^émentj en tenant compte du frottement de glisse ment.
a Fînclinaison du plan sur Thorizon ]
m la masse de la sphère ;
a son rayon ;
k son rayon de giralion autour d'un diamètre;
X l'espace que son centre a parcouru parallèlement ai plan ;
0 Fangle dont la sphère a tourné autour de son centre
fjL le coefficient de frottement entre les deux surfaces ei contact, pour Tétat de glissement.
Dans les premiers instants, le mouvement est régi paj les équations
'dF
-gsinoL-h p^cosa
X*— = — itag casa.
Si Ton nomme c et co les valeurs initiales de --- et de — !
di di
on obtient, pour intégrales premières et secondes^
dx , , . dB tiagcosoL
— =g(sma-hiicosa)t-hc, — = - C^^ 1 -h«;
d:=r-^(8ina-hpcosa)r^-f-rf, . 6 = — l^ — r»-ho»f.
2 2 Ar
DYNAMIQUE. l6l
Ces foruiules subsislent tant que la sphère tourne plus rapidement que si elle roulait sans glisser, eest-à-dîre
tant que — n'est pas devenu égal à a — • Or cette égalité
a lieu, et par suite le glissement cesse, à 1 époque
A cette époque le frottement change de sens, et devient statique, de dynamique qu'il était. Par suite (t. I, p. 69), le coefficient de frottement prend une nouvelle valeur plus considérable que la première; cette valeur peut même être telle, que tout glissement soit désormais impossible.
Supposons d'abord qu'il en soit ainsi. Alors, en désignant par c'^x'^Q' des constantes déterminées par le mouvement antérieur à l'époque r, nous aurons depuis cette époque, de la même manière qu^au problème précédent,
Dans cet état, la force de frottement qui s'oppose au glissement a toujours la même valeur, savoir
„ mk^ d^Q mk-£rs\na k- ianaoe,
a dr fl» -h k' fi^ ■+- /» ^
Cette valeur montre que la sphère roulera en effet sans
glisser, si le coefficient de frottement au départ est égal
- . , X*' tanga ou supérieur a — — ^ •
^ fl' -h X»
Supposons, en second lieu, cjue le coefficient de frottement au départ ne soit pas assez considérable pour em-
