II. 7* ÉDIT
l6a MÉCANIQUE RATIONNELLE.
pécher la sphère de glisser de suite après Tépoque t
ce qui a lieu quand ce coefficient est inférieur à ^
Alors les équations qui régissent le mouvement, aprèd Tëpoque t, sont les suivantes :
A' — =:iiagcosa.
Une double intégration donne
jr: = - g{s\na — picosa) (f — t)^ -f- c'(r — t) H- x',
les constantes c', x', 0' ayanl ici les mêmes expressions que dans le cas précédent. Il faut observer que la quantité si n a — (X cos a est positive ; car le coefficient de frottement est moindre pondant le mouvement qu'au départ et au départ ce coefficient est moindre que tanga.
Dans Téiat qui nous occupe, il y a à la fois glissemenl et roulement. Il nous est facile de trouver l'espace parcouru par le seul elfet du glissement.
En efllet, nommant ^ Tespace parcouru par glissement, depuis l'époque t jusqu'à Tépoque A, nous avons
d^ dx dB . ,/. a'-hA^\
d'où
EuLKR, Jcia Acad. Petrop., 1781 , P. II, p. i3i. 6. Un cylindre est placé horizontalement sur la sur-
Fig. 66.
DYNAMIQUE. l63
face concasse d'un grand cjlindre creux, pareillement horizontal, et dans lequel une fente, pratiquée suivant une section droite, donne passage à un corps solide de
forme quelconque^ im^ariablement lié au petit cylindre. L'ensemble de ces deux derniers corps forme une sorte de pendule composé. On pro^ pose de déterminer la longueur du pendule simple qui oscille dans le même temps que ce pen^ dule composé^ en ne considérant que de petites oscillations , et admettant que le. cylindre intérieur roule sans glisser sur le cylindre concave.
Considérons la section faite par un plan perpendiculaire aux cylindres, et contenant le rentre de gravité G <lu pendule composé.
Soient O et C les centres des sections du cylindre creux et du cylindre mobile ;
OAX un rayon vertical, dirigé dans le sens de la pesanteur, et qui sera l'axe des x\
OY un rayon horizontal, qui sera Taxe des y\
X, y les coordonnées du centre de gravité G;
ô l'angle AOC;
0 l'angle que CG fait avec la direction de la (lesanteur;
E le point de la section du petit cylindre qui vient toucher le cylindre extérieur sur Taxe des x, quand on •ait rouler convenablement le premier corps ;
^ Tangle constant ECG ;
l64 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
a^l h les rayons du grand et du peiil cylindre;
c la dislance CG ;
m la masse du pendule;
h son rayon de giration autour d'une parallèle aux cylindres, menée par le centre de gravité;
Rla réaction normale du grand cylindre sur le cylindn^ mobile;
F la force de frottement qui s'oppose au glissement du second cylindre sur le premier.
Les équations rigoureuses du problème sont, pour \v mouvement du centre de gravité,
m -— - z mg — R cosO — F sm 0 ,
m — ^ = — R smO -h Fcosô,
et pour la rotation autour du centre de gravité,
mA^ -j^ :-— Rf sin(e -h<t)-f- F[ccos(ô -hç)— ^].
Puisque nous avons en vue seulement le calcul des petites oscillations, nous pouvons négliger les termes du
second degré par rapport à 0, ^, — - et -— • Ceci réduil
nos équations aux suivantes :
fi-x
m -Zz^ — RO-I-F, mh'^zz. -Rc(ÔH-7)H-F(c-^).
Si nous éliminons les forces inconnues R et F entre
ces trois équations, il vient, au même degré d'approxi-
mation.
Les relations géométriques
^ TT^ (^ — //) sin9 — r sin©
nous permettent d'éliminer encore les NariaMes y et Q de la dernière équation. Nous obtenons ainsi Téquation linéaire
^ ' ^ df a — b ^ a — b
Faisant disparaître le terme tout connu, en })osant
b^-\-ac— bc I vient finalement l'équation
f^a—b)\/r-->,-{c — by]d'^
(,2^ fie— te (W ^^
Elle coïncide avec réqualion qui détermine le mouvement d'un pendule simple dont l'angle sur la verticale serait ^^ et dont la longueur serait égale à la
fraction
(a-b){k^j^{c^bY]^ b^ -h ûc — bc
^r les angles ^ qI^ ne dilîèrent que d'une (juantitc constante-, donc la fraction précédente mesure la longueur du pendule simple qui oscille dans le même temps que le pendule donné.
EuLER, Acta Âcad, Pctrop,, 17B0, P. II, p. 164.
l66 MÉCANIQUE BÀTIOVHELLE.
7. Un cylindre homogène est placé horizontalenien sur un plan incliné parfaitement uni. Un fil sans masse
p. g fi^^ P^^' "'ï^ de ^^^ extrémité
au contour du cylindre^ s'en
A^ ^ — s^ roule sur ce corps suiv^ant h
\v \ / \ section droite qui contient l
^^^ J centre de grov^ité^ et s^attach
^\" par Vautre extrémité à ui
a?X^ point fixe situé dans le plai
de cette section y à une hau
teur, au-dessus du plan incliné^ égale au rayon d\
cylindre. Le fil étant complètement enroulé^ on aban
donne le cylindre à son poids. Déterminer, pour un
position donnée, la tension T du ///, et la vitesse aue
laquelle décroît Vaugle 0 que le fil j ait avec le ,pla\
incliné.
Soient a le rayon du cylindre, m sa masse, h son rayoi de giralion autour de Taxe et a rinclinaison du plan. On trouve
Jô' 2^/7sina(i — sinO]sin^O H^ '^ cos^e(^»-+-Pcos'0) '
" CCS 0 (a' -h /^coh'Ô)*
EuLEBy Noifa Acta Acad, Pctrop,^ i^g5-6, p. 64<
8. Un cylindre homogène est couché en équilibre su un plan horizontal indéfini. Déterminer le moui^emen que prend ce corps, lorsque le plan vient à tourne uniformément autour de la ligne de contact primiti%ft en supposant que le plan mobile exerce assez de frotte ment pour empêcher le corps de glisser.
Soient tù la vitesse angulaire du plan, a le rayon d cylindre, m sa masse, k son rayon de giralion autour d
OTNAMIQUE. 167
Taxe, X le chemin parcouru sur le plan par la ligne de coDtact.
Tant que le cylindre reste en contact avec le plan, on a
et la pression normale qu^il exerce sur le plan est
r— sinwr, 5w'
I p gm cos «/ — am w* —
Le cylindre abandonne le plan à Tinstant où cette pression devient nulle.
•^'^ 9. On dépose sur un plan incliné et dépoli une
sphère homogène^ animée ^ autour d'un diamètre hori^ zontal, d\ine rotation contraire à celle qui la ferait rouler en bas du plan. Déterminer le mouvement de la sphèrey en supposant le coefficient de frottement^ pour l'état de glissement, égal à la tangente de V inclinai^ son du plan.
Conservant la notation du problème o, et posant Il =: tanga,
on arrive aux conclusions suivantes.
Jusqu'à Tépoque
^ag cos a 5^ sina
'c centre de la sphère reste immobile, bien que le corps tourne sur lui-même avec une vitesse donnée par la formule
i^ dB as sin a
Jo dt k-
l68 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
A partir de Tépoque ?, la sphère roule en bas du plan sans glisser, comme si elle était partie sans vitesse initiale.
EuLKB, Acta Acad. Petrop.y 1781, P. II, p. i3i.
10. Un cylindre non homogène , mais dont tous les points situés sur une même parallèle à l'axe ont la même densité y est posé sur un plan horizontal et parfaitement uni. Déterminer la dureté des petites oscilla^ tions que ce cylindre exécute sous l'action de la pesanteur, quand le centre île gras^ité a été légèrement écarté du plan vertical qui contient l'axe.
On peut se borner à considérer le mouvement d'une tranche du cylindre, comprise entre deux plans perpendiculaires a l'axe et infiniment rapprochés.
Soient c la dislance du centre de gravité au centre de figure, A le rayon de giratîon autour d'un axe mené par le centre de gravité perpendirulairominl nu plan de la tranche, a Tanglc qui mesure le plus grand écart entre la verticale et la ligne qui joint les deux centres.
La durée d'une petite oscillation est
On peut observer que, quelle que soit l'amplitude de! oscillations, le centre de gravité se meut toujours sur une même verticale-, en sorti» que la droite qui joint le cenlrt de gravité au centre de figure se meut en conservant seî extrémités sur deux droites fixes, l'une horizontale, l'autre verticale. Il en résulte que tout point de la tranche situé en ligne droite aucc le centre de grav^ité et h centre de figure décrit dans l'espace une ellipse ^ don\ les axes sont V horizontale et la verticale qui se coupent au centre de figure dans la position d'équilibre
Les longueurs des demi-axes sont les distances du point considéré au centre de gravité et au centre de figure. EuLsa, Nova Acta Acad, Petrop., 1783, p. 1 19.
11. Le cylindre considéré dans le problème précé^ dent est maintenu sur un plan horizontal et parfaitement uni, dans une position telle, que le rayon mené au centre de grav^ité fait un angle a av^ec le rayon mené au point d^appui. Dans cet état^ on lui imprime une vitesse angulaire w, autour d'un axe mené par le centre de gravité parallèlement aux génératrices. Qnrlle doit être cette vitesse angulaire pour que le centre de gras^ité monte au-dessus du centre de figure sur la verticale du point d^ appui y et s'y maintienne en repos?
Conservant la notation du problème précédent, on trouve
W :^ ?. COS - i / -; ^-—.
2 V ^' + <^^sin'a
EuLEB, ibid.
12. Un cyrlindre non homogène roule sur un plan lio^ t^zontal, qui exerce assez de frottement pour empêcher te corps de glisser. Déterminer la vitesse angulaire du cylindre en un point donné de sa course.
Soient a le rayon du cylindre, 6 Tan ;;le décrit par le rayon mené au centre de gravité, w la \itcssc angulaire niiliale, cetk les mêmes quantités (jue dans les problèmes précédents.
On trouve
(A»4.û2^f2__ 2tfccosô) — =.[Â-^-h{a — r)']w*— /^cgsin'^--
EuLER, ibid,
«3. On introduit plusieurs points matériels dans un tube rectiligne^ tj-ès-étroit et pesant ^ libre de tourner
170 MÉGANIQUE RÀTIOSHELLE.
dans un plan honzont al autour de l'un de ses points qu est fixe. Les points matériels étant placés à des distance connues du centre de rotation^ on imprime au tube un* vitesse angulaire donnée. Déterminer le moui^ement dk tube et des points matériels.
' Soient M la masse du tube, k son rayon de gi ration au tour de Taice de rotation, 6 Tangle dont le tube a tourné w la vitesse angulaire imprimée*, m, m', 1?/, etc., le masses des points matériels; 'S./*'^ '^'S <^lc*9 leurs distancei à Taxe de rotation ; a, a , a"^ elc.^ les valeurs initiales d( ces mêmes distances.
On trouve
d^ MX ' -h /wfl' -h /w' û' 2 -+- . . .
lir' , , M/2-f- ,wfl'-|- m'fl'^-f-. . .
MA^ -f- — (//irt»-f- m' fl'^ -♦-. . .)
Si Ton faisait abstraction de la masse du tube, on aurai
- — -— cos ,
— = -;- = -7- =. . .r=I -hw'f^
Daniel Bernoulli, Mèin. de V Acad, des Sciences de Berlin 1745, p. 63.
SECTION III
MOUVEMENT QUELCONQUE d'uK COKPS SOLIDE.
Le mouvement le plus général d'un corps solide peu se décomposer en une translation d'un point in varia
DTMAMfQUE. 1^1
blemeot lié avec le corps^ et en une rotation du corps autour de C(' point. Pour déterminer cette rotation, on peut considérer le point autour duquel elle s'eil'ectue, comme maintenu fixe dans Tespace, pourvu que Ton ajoute à chaque molécule une nouvelle force accélératrice, égale et contraire à celle qui sollicite réellement le point pris pour centre de la rotation. Il y a grand avantage h prendre le centre de gravilé pour le centre de la rotaiion ; car le mouvement de ce point est celui qui aurait lieu si toute la masse et toutes les forces accélératrices y étaient réunies, et de plus la rotation autour de ce point, supposé fixe, s'obtient sans ajouter de nouvelles forces accélératrices.
Nous savons déjà résoudre la première partie du problèffle, où il s'agit de déterminer le mouvement du centre de gravité. Il reste à nous occuper de la seconde partie, c'est-à-dire de la rotation d'un corps solide autour d'un poiui fixe.
Pendant cette rotation, il existe à c1)a(|ue instant une droite fixe dans le corps et dans Tcspace. Cette droite ^st Taxe instantané de rotation. Elle change généralement de position dans le corps et dans Tespace d'un instant à Qn autre, et décrit ainsi dew^ cônes, dont Tun est fixe dans le corps, et l'autre fixe dans l'espace. Par l'effet de la rotation, le premier cône roule sur le second sans glisser; li génératrice de contact est à chaque instant Taxe instan- Une de rotation. Il n'est qu'un seul cas où ces deux cônes puissent se réduire à des droites, et l'axe instantané être fixe; c'est le cas où, le corps ayant commencé à tourner autour d'un axe principal d'inertie relatif au point fixe, le couple accélérateur est dans un plan perpendiculaire à cet axe,
Kous représenterons les vitess€*s de rotation par des <lfoites proportionnelles, les couples par des droites pro-
17^ MÉCAMQL'K RATIONNELLE.
portionnelles à leurs moments el perpendiculaires a plans. Ces droîles seront dirigées de manière qii'ui servateur dont les pieds seraient au point fixe, et qui i couché sur la droite, verrait le corps tourner devai de gauche à droite (*) par TelFet de la rotation o couple. On sait que ces droites se composeront suiva loi du parallélogramme, comme si elles représenl des forces.
Nous conviendrons encore que les rotations sur les coordonnés seront positives de l'axe des .r vers desj', de Taxe des 7^ vers Taxe des z et de l'axe des z Taxe des x.
Soient O le point fixej qui peut èlre Tun qiielco des points du corps ;
OX, OY, OZ trois axes rectangulaires fixes;
0X1, OY,, OZi les axes principaux d'inertie du < relatifs au point O;
A, B, C les moments d'inertie principaux autoi ces axes ;
'0 l'angle de OZ avec OZ,, angle qui sera toujours pris entre o et tt;
ON celle des deux directions opposées de la trac plan X,OYi sur le plan XOY pour laquelle la rotai de OZ vers OZ, est positive;
y et ^|/ les angles que fait la trace ON avec les di 0X1 et OX, C(îs angles étant comptés positifs dans le direct, le premier à partir de la trace, le second à f deOX;
Cl) la vitesse angulaire, ou la vitesse de rotation ai de Taxe instantané;
(*) Cet usage, qui a prévalu dans les Traités de Mécanique, e traire aux conventions adoptées dans les ouvrages d'Astronomie.
DYftAMIQUE. 1^3
p, q^ r lés composantes de la vitesse de rotation w suivant les axes OXi, OYj, 0Z| :
L, M, N les sommes dtîs moments des forces motrices autour des mêmes axes, exprimées en fonction de 6, 9, (p.
Les vitesses angulaires p, q^ r et la position (0, y, '«p) des axes mobiles sont déterminées par les six équations simultanées
/ • « • ''^ [ sinO sino -r-
. ^ dt ' dt ^
' dt dt
Ceséquatîons, données par Euler, renferment toute la so-
'^lion du problème. On ne sait les intégrer que dans un
P^lil nombre de cas particuliers 5 encore, dans ces cas^
* îniégration conduit-elle à dos quadratures que Ton ne
P^'iitetrectuer en quantités finies.
Le problème de la rotation des corps est un de ceux ^^i ont le plus exercé les géomètres par les difficultés ^^'il présente. Le premier travail important sur ce sujet ^*il publié par d'Alemberl en 1749^ dans stîs Recherches ^^r la précession des équinoxes. Un an plus tard, Kuler donna son Mémoire intitulé : Dècouv^erte d'un nouv^eau principe de Mécanique (*), dans lequel il traite le pro-
-Ni
- COSo
dO dt
- bin^
dO dt
\*) ilémoires de V Académie des Sciences tic Deilm, i y.)0, p. i85.
174 MÉCANIQnE RATIONIfELLE.
bième de la rotation des corps sous le point de viie lep général. Mais il manquait à ces géomètres une conna sance de la plus haute importance dans cette théorie, u< voulons parler des trois axes principaux d* inertie et leur propriété d'être axes permanents rie rotation. professeur de Gœttingue, Segner, fit cette découverte ( Euler(**), puis d'Alembert (***) en profitèrent bien pour simplifier leurs formules. Enfin Euler mit au j< son bel ouvrage : Tlicoria motus corporum soUc mm (1767), qui fui regardé comme étant à peu près le d< nier mot de la science sur cette matière, jusqu'en Tanii i834i où M. Po'insoi présenta à TAcadémie des Scienc sa Nouvelle Théorie de la rotation des corps (*♦♦♦ Dans cette théorie, le problème est traité d'une manie synthétique et figurée, qui jette une vive lumière sur pi sieurs points restés jusqu'alors cachés sous la complic tîon des formules.
1. Déterminer le mouv^ement d'un solide de réuol tion, pesant et homogène , autour d'un point fixe siU sur son axe défigure.
Nos calculs s'appliqueront à tout solide dont deux m* ments d'inertie principaux autour du point fixe auro: même valeur, et dont le centre de gravité sera situé sur troisième axe principal d'inertie.
Nous conserverons la notation adoptée dans les prél minai res. L'axe OZ sera dirigé en sens contraire de pesanteur, et l'axe 0Z| suivant le demi-axe de révoluti< qui fait un angle aigu avec OZ au commencement < mouvement. Le centre de gravité du corps sera éviden
( * ) Spécimen thcoriœ turbinum ; Halle, 1755.
(**) Ménioirrs de V Académie des Sciences de Berlin, 1758, p. 154*
( • ** ) Opuscules mnihématiques^ 1. 1 ; 1 761 .
(*««*) \oir le Journal de M. Liouville, t. XVI, p. 9 et 289; i85i.
mène situé sur Taxe OZ^. De plus, nous nommerons m limasse du corps, a" et b" les cosinus des angles que les «es OXi et OY, font avec Taxe OZ, et / la distance du centre de gravité G au point fixe, cette distance étant comptée positive dans la direction OZi .
Fig. 68.
Zi/
Lecor))8 peut être considéré comme sollicité par une force unique, égale et parallèle à son poids, appliquée tu centre de gravité. Le moment des forces appliquées relatif à Taxe de figure est nul; comme d'ailleurs A=B, il en résulte (équations I) que la vitesse de rota- ^oar autour de Taxe de figure est constante.
Soit
Ceci posé, appliquons directement les principes des forces vives et des aires. Ces principes nous fourniront deux intégrales premières, qui seront suffisantes pour runencr le problème aux quadratures.
D est aisé de voir qu'un point du corps, dont les coor- A)nnée8 relatives aux axes OX,, OYj, OZj sont x,, j-,, 'il A pour composantes de sa vitesse, suivant les direc-
1^6 M^XAIflQUE RATIOUrifELLE.
lions déterminées que possèdent les mêmes axes à Tinstâ considéré,
qz, — rj,, r.r, — pz, , pjr, — qx,.
Il s'ensuit que la somme des forces vives est
Egalant cette somme au double du travail de la foi et désignant par 0o la valeur initiale de 0, on obtient 1" tégrale
(i) A (p^ -f- q^) -h Cw* = 2wg'/(cos0o — cosô) -f- const.
Puisque les forces appliquées ont un moment nul tour de Taxe OZ, le principe des aires est applicable prenant le plan XOY pour plan de projection. Oi somme des produits de la masse de chaque molécule corps et de Taire décrite par cette molécule pendant Y stant infiniment petit dt^ en vertu de la rotation autc d'un axe quelconque, Taxe OX,, par exemple, est ég au produit de la moitié du moment d'inertie A relfi à cet axe par Tangle pdt décrit autour de cet axe; et somme des projections de ces aires sur le plan XOY * égale à la somme des aires multipliée par le cosinus l'angle que fait l'axe 0X| avec Taxe OZ; sa valeur
donc - Apa'rit, D'après cela, on a Téquation
(a) A [pa'' -f- qb") -f- C/î cosô — const.
A l'aide des relations (II), et des valeurs a" = sin Ô sin y, b" -- sîn «0 cos f^ il est facile d'exprimer les relations (i) et (2) par
DYNAMIQUE. lyj
.seules variables (j/, S. On trouve d'abord
«t, par suite, on a les équations transformées (3) A ( sin'O -^-^ -T^j ^a'wg^/CcosG,— cosG)— C/f'-f-const.,
{4) A sin^ô -~ =: — C/icosO -4- const.
Éliminant --r 9 on obtiendra une équation de la forme
dt=/{0)iiB,
<pii fera connaître 0 en fonction de t par une quadrature. Reportant cette valeur dans Téquation (4), on aura ^ en fonction de t par une seconde quadrature. Enfin la dernière équation (II) fera connaître (^ en fonction de t^ et le problème sera résolu. Toutes les intégrales se réduiront aux fonctions elliptiques.
Supposons, en particulier, que le mouvement initial soit une simple rotation autour de l'axe de figure, en sorte
Que les valeurs initiales de -r et de -7- soient nulles. ^ fit dt
Les équations (3) et (4) se réduisent alors aux suivantes :
(5) A [sin'ô ^ -f- — j = 2m^/(cos0, — cosô),
(6) A sin»ô ^z=Cn (cosB, — cosG) .
at
^ première de ces équations montre que Ton a constamment ô> e^ si / est positif, et fl < 6e si / est négatif. Ainsi, IL a« ÉDiT. 12
178 MÉCAIÎIQVE &ÀTIOM1ÎELLE.
riDcliDaison de Taxe de figure sur la verticale est constan ment supérieure ou constamment inférieure à l'inclinaisc initiale, suivant que le centre de gravité est au-dessus c au-dessous du point fixe dans Fétat initial. On voit encor
par la seconde équation, que la vitesse --^9 avec laquel
tourne la trace ON de Téquateur XiOYi sur le plan 6] XOY, est de même signe que la vitesse de rotation n e]>6oî et de signe contraire si 6<^0o- Empruntant Ii termes de la mécanique céleste, nous dirons que le mot
renient de précession ^ dont -^ mesure la vitesse, e
de même sens que le moui^ement de rotation autour c Vaxe défigure^ ou bien de sens contraire, suiv^ant qi le centre de gras^ité est au-dessus ou au-dessous du poii fixe au commencement du mouvement.
Éliminant -^ entre les équations (5) et (6), il vient
{'j)dt=:
'~ '"' '(cosô, — cos9)
:i/(cosOo — cosO) nmgl
Asin^G
Pour nous fixer, supposons / positif. Alors le sccok facteur du radical est positif au commencement du moi vement, qnand S = Soi p&f suite, le premier facteur do aussi être positif, c'est-à-dire que 6 doit commencer pi croître. Il en résulte qu'il faut prendre d'abord le radie
avec le signe 4-. La dérivée —étant une fonction coni
nue de 6, le radical qui la représente ne pourra changer < signe qu'en s^annulant. On doit donc garder le signe H tant que 0 n aura pas atteint, en croissant, une valeur q annule le second facteur du radical. Or il existe toujou une valeur de Fangle 6j supérieure à 6«, qui annule
DTJNAMIQUE. Ijg
frcteur en question; car ce facteur prend des signes contraires, quand on y pose successiTemeni 9 = 6e et 6 =: ir. Soit 01 cette valeur.
Le temps T, nécessaire pour que 0 atteigne la valeur 6^ , est donné par Tint^rale
~ / * A l I7f ] C'/i'(cosG.-cosGn' J y/(cos9.-cosG)[.^^/ L__ J
Ce temps est fini, bien que Télément de l'intégrale de- TÎeDiie infini aux deux limites. En effet, posant
cosG = j, cosG«=j«, cosG, =j, , on a
Ads
)[2mglA{i-s^)-^On^s.-s)]
Or, le facteur du second degré en 5 qui est sous le radical prenant le signe — pour 5 = it i, et le signe -+poor s = 5o, il s'ensuit que St est une racine simple de ce facteur égalé à zéro, et que par suite les facteurs s — ^o
etj, — 5 n'entrent sous le signe | qu'à la puissance
Mais, généralement, f (s) étant une fonction continue dans le voisinage de 5 = a, et e étant un infiniment petit
XflH-« /{s)
ponre=: o, n'est point infinie; car cette quantité peut «'écrire
/(a)liin
lien résulte que d atteindra la valeur dj. D'après ce que nous venons de dire, s^ est la plus petite racine du trinôme de second degré qui forme le second
iSo MÉCANIQUE EATION9BLLE.
facteur sous le radical, s^ est plus grand que s^, et, du coefficient négatif du terme en 5*, le trinôme shif pour toute valeur de s comprise entre Si et ^t galif pour toute valeur moindre que ^i. D'aill premier facteur 5o — s est positif pour toute moindre que s^, La quantité comprise sous le rad viendrait donc négative, si s prenait une valeur inl k Sij et cela ne peut pas être. Donc il faut que Tanj minue à Tinstant où. il est arrivé à la valeur 61 . Da seconde période, le radical doit être pris avec le si{ l'inclinaison 6 diminue jusqu'à la valeur do? dans li temps T quelle a mis à croître de 60 à di ; puis 1 vement recommence de la même manière. L'axe < ainsi des oscillations isochrones dans le plan mobile Le plan vertical ZOZi, qui contient Taxe de ] tion, ne tourne pas uniformément; mais son mou est parfaitement identique pendant chacune des oscillations de Taxe. Car la trace ON de Téquateu constamment perpendiculaire aux deux droites Oi son mouvement de rotation est le même que C( plan ZOZi ] et, d'après l'équation (6), la vitesse d
lion de cette trace, ou -^» ne dépend que de Tanj
La vitesse angulaire totale,
est un minimum lorsque p eiq sont nuls, ce qui quand 9 = 60, c'est-à-dire quand l'axe OZj est ! rapproché de la verticale OZ.
La même vitesse eo est un maximum, lors somme
P^-hfj^ ou sin^O—L-h— ou 2/wg'/(cosÔ, —
DYNAMIQUE. l8l
est elle-même un maximum, c'est-à-dire quand Taxe est le plus écarté de la verticale.
Considérant le mouvement de la projection du centre de gravi lé sur le plan horizontal XOY, on voit que cette projection reste toujours comprise entre deux circonférences, décrites du point fixe comme centre, avec les rayons /sin^o et /sindi. Elle décrit, toujours dans le même sens, une courbe formant une sorte de rosace, dont les feuilles s'implantent sur la circonférence de rayon IsinOe, et se terminent sur la circonférence de rayon iûnOi. En suivant la marche du rayon vecteur, ou recoDuait facilement que celte courbe est tangente à la seconde circonférence, et normale à la première. En
effet, la dérivée du rayon vecteur, -^ — ou IcosO — y
est nulle pour 6 = 0,, et la vitesse angulaire de ce rayon,
fi-^ G/i(cosO« — cosô) rfr~ Âsm'9 '
n'est point nulle pour 0 = ô, ; en sorte que le rapport de l'accroissement du rayon vecteur à celui de l'angle décrit,
