s'annule sur la circonférence dont le rayon
^t l&inOi. li s'ensuit que la courbe est tangente à cette circonférence. On verrait de même que ce rapport décent infini sur la circonférence dont le rayon est / sin^o \ par conséquent, la courbe est normale à celle seconde circonférence.
Si la distance / était négative, les résultats seraient Iw mêmes, sauf que l'angle 0, serait plus peut que ''angle Oo.
A l'inspection du binôme
C*/ï'(cos0, ~ cosô)
imgl ^
Asin'G
iSu MÉCANIQUE RATIONNELLE.
qni, égalé à zéro, a pour racine 0 = 0i^ on voit que, s la vitesse angulaire initiale n est très-grande, ou bie
SI le rapport est tres-petit, un petit accroissemen
donné à 6 depuis la valeur 60 rendra le second terin égal au premier en valeur numérique, la racine 0^ ser très-peu différente de do? et, par conséquent, Tinclinai son de Taxe sur la verticale variera très-peu. Dans g cas^ les intégrations pourront s'effectuer par approxima tion.
Cas particulier où r inclinaison rie l'axe varie très peu. — Soit
ô =r Go -f- a.
u sera un petit angle; on négligera son carré. Portant cette valeur dans la formule (7), et observai que Ion a, au degré d'approximation voulu,
. ^ cosô« — cosÔ u
cos Oo — cosô = u sm ©<, et ; — r = -; — T »
sm'O smG,
il vient
kdu
dt =
Soient encore, poui abréger,
met A sinGo C/i
L'équation devient
, du
±^U(7.Ui — u)
Son intégrale est
±At = arc cos — ■»
sans constante, car u est nul à Torigine du mouvement.
DYNAMIQUE. l83
Si Ton pose
ô. -Mi, = 0',
cette intégrale pourra s'écrire
6 = 0' — Kl CCS X/.
n • L'équation (6) devient, au même degré d'approxi-
mation,
On en lire
d'^ hu kux kux
T" = ♦ ^ "^ -r— T : — — CCS ht,
ai smOo smO» sinO^
>L = const -f- -r-7- t r-7- sinX^^
sinO« smO«
on bien, en négligeant u\^ qui est de même ordre de grandeur que i*',
^ =: const -f- ^— - / .- - sm^r.
^ sin 0' sm 0'
Enfin la dernière équation (II) donne
dt di '
d'où
^ =z const -^ nt — cosO' .■»[<,
f r= const H- (/» — Xi«, cotô')r -f- i£, coiô' sin A/.
Le mouvement de Taxe est susceptible d'une représen- Ution géométrique assez simple. Imaginons un axe, pour
>^uel on aurait constamment 0 = 9', et d/ = const 4- t-^A,
• sinô'
Cet axe fictif décrira autour de la verticale un cône cîr- ^aire, d'un mouvement uniforme, tandis que l'axe vrai tournera autour de cet axe fictif, avec un mouvement re- '3lif représenté par les termes périodiques
— tt, cosX/ et T— 77 sm A/,
sinô'
^"i doivent être ajoutés respectivement aux valeurs de 6
l84 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
et de ^ relatives au premier axe. Ces termes étant trèspetits et périodiques, il en résulte que Taxe fictif peut être considéré comme occupant, à chaque instant, une sorte de position moyenne entre les positions successives que prend l'axe vrai aux environs de l'époque considérée. Décrivons une sphère du point fixe comme centre, avec un rayon égal à Tunilé. Considérons les points où Taxe vrai et Taxe moyen percent cette surface, et nommons ces points le pôle vrai et le pôle moyen. Nous verrons sans peine que le pôle vrai décrit autour du pôle moyen, supposé fixe, un petit cercle^ dont le rayon sphérique est égal à u^ en valeur absolue. Ce mouvement circulaire est toujours uniforme. Il est de même sens que la rotation du pôle moyen autour de la verticale ^ ou bien de sens contraire^ suivant que la vitesse angulaire n est positive ou négative, quelle que soit d'ailleurs la position du centre de gravité dans l'état initial, au-dessus ou au-dessous du point Jixe. En effet, la distance des deui pôles étant de même ordre que u, nous pouvons, dans Tétude de leur mouvement relatif, confondre la surface de la sphère avec celle du plan tangent au pôle moyen. Rapportons la position du pôle vrai à deux axes coordonnés des \ et des ^, ayant leur origine au pôle moyen, ei dont le premier sera dirigé suivant la tangente au méridien du pôle moyen du côté de la verticale OZ, et le second suivant la tangente au parallèle du pôle moyen er sens contraire du mouvement sur ce parallèle. Nou; aurons
et n sera le produit de -r-^^ s\nht par le rayon du parallèle, sinô'-, c'est-à-dire que nous aurons ïj =:«! sinX/,
DYNAMIQUE» l85
et, par suite,
p -h „» =r «; , ^- — Au] = -^ /»•
Ces valeurs justifient tout ce que dous avons annoncé ; carie mouvement relatif du pôle vrai est de même sens que le mouvement du pôle moyen, quand le premier pôle se meut de Taxe des Ç vers l'axe des y) ', et ceci a lieu,
oofflme ou sait, lorsque la quantité est positive.
Ce mouvement de l'axe vrai autour de l'axe moyen constitue la natation de l'axe. Son amplitude est
1 msl A sîn 9« 21/. = —^TTTl -^
et la durée de sa période,
2ir 27rA
Le mouvement angulaire de uutation sera d'autant
plus rapide que la vitesse de rotation autour de l'axe sera
plus grande. Lorsque r inclinaison moyenne de Vaxesur
« Verticale nest pas très-petite^ le ntouv^ement angu^
^rede natation est bien plus rapide que celui de préces-
iion^ car, pour la précession moyenne, la durée de la
période est
2 7r sinô'
Tous ces résultats, relatifs au cas où le centre de gravité est situé au-Klessous du point fixe, concordent a peu de chose près avec les phénomènes que l'observation et l'ana- 'yse ont fait découvrir dans le mouvement de la terre autour de son centre de gravité. La diilerence la plus sensible consiste en ce que le pôle vrai, dans son mouvement
l86 MÉCANIQUE EÂTIOHMELLE.
autour du pôle moyen, ne décrit pas un petit cercle, mais une peu le ellipse dont le grand axe est situé dans le méridien du pôle moyen. Encore faut-il ajouter que l'excentricité de cette ellipse est assez faible pour avoir échappé à Bradley, le premier qui signala le mouvement de nutatiou.
Lagrange, dans la Mécanique analytique (part. Il, sect. IX, n^ 3o), a ramené aux quadratures la détermination du mouvement d'un solide de révolution, pesant, et retenu par un point quelconque de son axe de figure, n ne parait pas que ce résultat ait été obtenu avant lui.
2. Déterminer le mouvement d'une toupie lancée sur un plan horizontal, qui n^ exerce aucun frottement.
La toupie est un corps de révolution, qui s'appuie sur le plan horizontal toujours par un même point P de sa surface. Nous supposerons le centre de gravité O situé sur Taxe de figure. Cet axe sera un axe principal d'inertie relatif au centre de gravité; et nous admettrons que les deux autres moments d*ineriie principaux autour du centre de gravité soient égaux.
Nous conserverons la même notation que dans le problème précédent, si ce n'est que l'origine des axes, O, sera le centre de gravité, et que la distance / sera celle qui sépare le centre de gravité et la pointe P.
Les deux forces qui agissent sur le corps, considéré comme libre, savoir, son poids et la réaction du plan horizontal, sont deux forces verticales; donc, suivant le principe du mouvement du centre de gravité, ce centre
se meut eo projection horizontale, d'un mouvement rectilîgne et uniforme dépendant uniquement de l'impulsion initiale. Le même principe, appliqué au mouvement vertical du centre de gravité, fait connaître l'intensité de la réaction du plan fixe sur la pointe de la toupie; car cette réaction n'est antre que la force perdue dans le mouvement vertical. Si donc on observe que la hauteur du Goiire de gravité au-dessus du plan horizontal est /cos0, on trouvera pour la mesure de cette réaction
d^.lcos9 m s -4- m •
D reste à déterminer le mouvement du corps autour de son centre de gravité. Le calcul est tout semblable n celui de la question précédente; c'est pourquoi il suffira de le tracer rapidement.
Le moment des forces appliquées autour de Taxe de figure étant nul, on a
r=i: coust. = n. Le principe des forces vives donne l'intégrale première
A(/>*-f-y*)-l-C/i'='i/w^/(cosôo— œsô) — w/'sin^ô -^ -h const.
Le principe des aires, quand on prend le plan de projection horizontal, donne
A (/?a" H- qh")-{' C/i cosô = const.
Ces deux dernières intégrales peuvent s'écrire
Asin'ô -I--h(AH-m/^sin*Ô) -—
= 2 mgl (cosQ^ — cosô) — Cn*-¥- const.,
N Asin'Ô^L
, __ C/icosO + const.
dt
l88 MÉCANIQUE RATIONNBLLE.
Elles suffisent pour ramener le problème aux qoadi^.^* tures.
Supposons, en particulier, que les valeurs initiales d^^ p
et de y, et, par suite, celles de ^- et de -^ soient null^e^s,
ce qui revient à supposer que le mouvement initial &oit une rotation autour de Taxe de figure, accompagnée^ si l'on veut, d*une translation horizontale. Ceci détenu.! ne les constantes, et il vient
Asin'ô— Y -4- (A H- /w/^sin^ô) — = 2//f^/(cosô,— cosO),
d^ Asin'O -j^ =C/î(cosôo— cosG).
Liimmant -j-? on arrive a J équation
dtz=r.±
Raisonnant sur ces formules comme on Ta fait dans-- '^ problème précédent sur les formules analogues, on ar^^^" vera à des conclusions toutes semblables.
L'axe de la toupie commence par s'incliner sur la v<^rticale, puis il se relève jusqu'à reprendre son inclinai^ou première, s'incline de nouveau, et ainsi de suite. Toutes ces demi-oscillations ont la même durée.
La vitesse totale de rotation est un minimum au com^ mencement de chaque oscillation descendante, et un maximum à la fin.
L'intersection ON du plan de Téquateur et du plan horizontal XOY tourne constamment dans le sens de la rotation autour de l'axe de figuré. Ce mouvement n estpoint uniforme; mais il se reproduit périodiquement le?
DTMAMIQUS. 189
I k chaque demi-oscillation de Taxe, descendante ou ■.flcendante.
Regardant comme fixe la projection du centre de gravité sur le plan horizontal qui porte la toupie, on verra Lapointe de la toupie tracer sur ce plan une courbe formée dTiiiie suite indéfinie d'arcs égaux, tangents a une même câiconféreuce dont le centre est la projection du centre de finYité, et normaux à une circonférence concentrique, de nyon moindre.
Poisson, Traité de Mécanique f t. II, p. 207; 2' cdir. FncnL, Nouv. Annales de Mathématiques y t. IX, p. 3 10; i85o«
3. Imaginons quun soMe de révolution, pesant et ^mogène, soit posé sur un plan horizontal parfaitement ^*n£, et quon lui imprime un moui^ement quelconque. Si Ea rfitesse de rotation imprimée autour de Vaxe défigure 'Si suffisamment grande, r inclinaison de Vaxe sur la ^^rticale restera toujours aussi peu différente quon ^u^udra de sa ^valeur initiale^ quelles que soient d * ailleurs ^^9 autres circonstances du mouvement communiqué.
Conservons la notation du problème précédent.
La réaction du plan étant constamment normale à la
svtTfice du corps, le moment de cette force autour de
l^aiede figure est nul^ par suite, la vitesse de rotation
autour de cet axe reste constante. Il y a plus : tous les
i^soDuements qui nous ont conduit aux équations (i)
^(2) de la question précédente subsistent ici, sauf que la
Wteur du centre de gravité au-dessus du plan horizon-
^ n'est plus proportionnelle à cos0.
Représentons cette hauteur par ^. La réaction du plan ^ le corps sera
ipO MÉCANIQUE RATlOlfflfELLE.
et le travail de cette force aura pour expressioD
m r/(;' — /lîfi' Ç -h const.
Représenta nt par h et A^ deux constantes^ les ëquations (j et (a) pourront s'écrire
d^ (2) Asin'ô-— î- -hC/i(cosô— - cosôo)= X.
Ces équations, jointes à l'équation de la surface à\ corps, suffisent pour déterminer le mouvement autour di centre de gravité.
Pour conclure de là le théorème que nous avons ei vue, il faut faire quelques remarques préliminaires su les constantes qui déterminent l'état initial.
Soient po9 ^09 fo9 etc., les valeurs initiales de p,ç,^,etG Nous pouvons prendre à volonté les constantes do? fo» ^« alors Ço sera déterminé, en conséquence de la valeur pri» pour d^, par la condition que la surface soit tangente ai plan *, la position initiale sera fixée. De plus, nous pou vons prendre à volonté les constantes ^o> ^o ^^ qtii reprc sentent les vitesses angulaires initiales; alors la positioi qu'aura le corps, à la fin du premier instant dt^ sera dé terminée par les rotations p^dt^ q^dt^ ndi^ et par h
condition que le corps touche le plan. La valeur de ( -^ J
sera donc déterminée; et il importe d'observer que la ra tation mit autour de l'axe de révolution n'aura aucune influence sur cette valeur, puisque ^ reste le mèm< lorsque le point de contact se déplace sur un mèmi parallèle.
DTITAMIQUE. I9I
En résumé, nos constantes arbitraires seront 0», (f», (|/o9 p,,^, et n; les valeurs de ^o ci de l — \ s'ensuivront, et
MroDt indépendantes den.
Venons maintenant à la question.
Si nous éliminons -p entre les équations (i) et (a), il YÎent
rfO' €fÇ» ^ ^ [X — C/i(cosô — cosôoj?
dfi dt^ Asm'ô
Le premier membre de cette équation étant positif de sanalure, le second membre devra rester positif pendant tome la durée du mouvement. Nous aurons donc constamment
* — C/ï(cosô — cosOoX v'a(A — 2/i?^2;)sin'0, k— C/ï(cosô — cosO,)> — ^A{h— 2//i^Ç)sin'ô,
ou encore, supposant n positif,
COSO — COSOo > ^^—^ ;; ^-^ ,
COSÔ — cosô. < ^ —
Or, en appliquant les équations (i) et (a) à Tétat initî«l, après y avoir remplacé ( formules II) sin'0 -^ -h —
d^ par p*4-^*, et smô -^ par p sinç 4- ycosç, nous
▼oyons que les constantes h et A ne dépendent que de p^^ ?•' '•? To^ Co? (^) ' ^^' P**" conséquent, ne dépendent pas de n. U en résulte que les numérateurs des seconds
iga MÉCANIQUE RATIOHNELLE.
membres de nos iuégalités conserveront des valeurs finie quelle que soit la vitesse angulaire n.
Nommons h' la valeur numérique de A, p le plus pei rayon que Ton puisse mener du centre de gravité i surface du corps, et e un nombre donné aussi petit qu\ voudra.
Nous serons sûrs que la valeur numérique de Téca cosd — cosd^ restera constamment inférieure à e, si no prenons
X'H- ^A(h—2mgp)
Ce
Fig. 70.
sans rien changer aux autres circonstances de Tétat iniiii PuiSEux, Journal de M. Liouville, t. XIII, p. 249; 18^
