P70J, ^-^(-fV
-pp^y
il vient
du a — a
dv (» — ù
d'où
et par conséquent
Wo — - n -- consl. TTz j .
DYNAMIQUE. igS
Ceci nous apprend que la force de frottement n'est pas seulement constante /en intensité^ mais encore constante eu direction. Il en insulte que la sphère décrit une pambole, comme un projectile pesant^ tant if u elle ne cesse pas de glisser {*).
ActueUement il nous est facile dUo^^nir les valeurs des forces X et Y, lesquelles, il ne faut pas Toublier, sont de sens contraire au glissement. Nous trouvons
en posant, pour abréger,
'^ortaot ces valeurs dans les équations (i), et intégrant, il vient
Ces expressions des vitessc^s^ substituées dans leséqua- ^'ons (2), nous feraient connaître les vitesses angulaires ^> y, r en fonction du temps.
Remplaçons m, v par — > — dans les intégrales que nous
^^Hous d^obteijjir, et intégrons de nouveau, en supposant ^^e la sphère parte de Torigine. Il vient
Ces formules achèvent de déterminer le mouvement de
C* ) Ce théorème est de J.- A. Eiiler, fils du célèbre L. Eiiler, KLèmoires **«• I Académie ih- Berlin, t-jhS, p. 2S4.
1^6 MI^XÀNIQUE HATIOMNRLLE.
translation; par réliminatioii de f, elles nons donnent l'éqaation de la trajectoire,
[(^ — p,) X — (a — «o) r? («'o* — ««r) (<'•« — Utb)=i o.
Cette parabole se réduit à une ligne droite, quand ii«, v^ sont proportionnels à a, &, et différents de ces quantités. Ces conditions reviennent à celles-ci :
"•>»• -♦- '••7» = o, et p/?, ^ — *'• o" P ^0 ^ «••
La première exprime qu à Torigine du mouvement Taxe instantané de rotation est dans un plan vertical perpendiculaire a la translation; les dernières expriment quHl y a glissement. Dans ces conditions, la sphère se meut en ligne droite, d'un mouvement uniformément retardé.
Ceci ne s'applique qu'à l'état de glissement *, or cet état cessera dès que l'on aura
u=qp, Pr-.pp.
Les valeurs de u et de (^ qui satisfont à ces relations sont précisément les quantités constantes représentées jusqu'ici para et b.
En effet, si l'on se reporte aux équations (3), on voit que, à l'instant où la sphère cesse de glisser,
D'après les équations (4)) ^es dernières relations peuvent s'écrire
DYlfAMIQl'E. 197
et puisque (3) on a
ou bien (5)
Ces dernières valeurs, substituées dans Tune on l'autre des équations (6), nous font connaître Tëpoque à laquelle
cessera le glissement,
Celte valeur, substituée à son tour dans les équations (7), nous fait connaître le point où ce changement «un lieu,
A partir de ce point le mouvement est rectiligne et u&iforme ; car X et Y étant devenus nuls , li et 1^ ou
J-» -^ restent constants d'après les équations (1).
La droite décrite par le point d^ appui est représentée
• par l'équation
b av. — bu.
a 3AfA^
U est aisé de vériâer que cette droite est tangente à la parabole au point ou cesse le glissement.
Si l'on avait, à l'origine du mouvement,
p/?,i= — i'o, p7o==^tt.,
le mouvement serait dès le principe rectiligne et unifor me.
CuBioLis, Théorie malhèmaùnac des cfftts du jeu de billard y cliap. I.
tgS MÉCkmqVE RATIONNELLE.
5. Déterminer le mouuement de la terre autour de son centre de grai^ité, en ayant égard aux actions du soleil et de la lune^ et négligeant les excentricités des orbites.
Fig. 71.
'idi
Dans le calcul du mouvement de la terre autour de sor-^ centre de gravité, ou peut, sans aucune erreur appré -= ciable, considérer les masses du soleil et de la lune comm * réunies à leur centre de gravité respectif; car les di^S mensions de ces corps sont faibles en comparaison de leu=^ distances à la terre; eu outre, leur figure diffère peu ^ la figure sphérique, et Ton sait qu'une sphère homc^ë^^rj attire un point extérieur, comme si elle était tout entî^^i condensée à son centre. Nous sommes donc conduit^^ calculer les moments de V attraction d*un point maté^^jf^ foit éloigné autour des axes principaux d'inertie ^it corps attiré relatifs au centre de grai^ité.
Dans ce calcul, le corps attiré pourra être un cc^iTps quelconque; mais, pournous fixer, nous supposeroiM.s <lo iuilc qu'il s'agisse de la terre.
DYIKAJllQUS. 199
Afio de nous conformer â l'usage des astronomes, nous regarderons comne positives les' routions qui s'effectuent de droite k gauche.
Soient :
OX, OY, OZ trois axes coordonnés, dirigés suivant les axes principaux d'inertie de la terre autour de son centre de gravi té; x\ jr\ z' les coordonnées d'une molécule de la terre; Hni l'a masse de cette molécule;
X, jy z les coordonnées d'un point matériel très-éloi-> gné : ce sera, par exemple, le soleil ;
rla distance de ce point au centre de gravité de la terre; r' la distance du même point a la molécule dm'\ m le prodnit de la masse de ce point par la constante c}«jî mesure l'attraction de l'unité de masse sur l'unité de Kxmasse i l'unité de distance;
X, Y, Z les composantes de l'attraction de ce point sur i 'Sa terre, dirigées suivant les axes :
L, M, N les moments de cette attraction autour des a^esOX, OY,OZ.
Nous avons d'abord, quelles que soient la forme et la constitution de la terre,
«es intégrales s'étendant à toutes les molécules delà tcrrr. Il s'ensuit
'— r///i' — //i/ I -- dm' y
r z' rx'
Mr^Xs- 7iX— mx I -j-^dm' - mz I -dtn\ < %^
îi n: Yj,- - X y—- m y \ —j- dm' — mx I -— dm' .
Or
si nous développons le radical par la formule du binôme, el que nous négligions dans ce développement les termes qui contiennent les secondes puissances des rapports très-
petits —»—»-♦ vis-a-vis des rapports -?—?-» qui sont
comparables à l'unité, il reste
I I ^ XX* -f- yy' -h «s'
Substituant cette valeur daus les expressions des moments Ly M, N, et nommant A, B, C les moments dMnertie principaux de la terre autour des axes OX, OY, OZ, il vieni
Actuellement, ayons égard à ce que Tobservation et Isl théorie nous apprennent sur la constitution de la terre . Le centre de gravité de la terre étant supposé fixe, le mouvement de la sphère céleste nous apprend que la terre tourne autour d^un axe qui parait absolument fixe dans ce corps. De plus, nous savons que la forme de la terre diffère peu de celle d'une sphère, et rien ne nous porte à croire que la densité soit fort inégalement répartie autour du centre. Nous pouvons donc admettre que les différences des
xy
DYUAMIQUE. 201
moments d'inertie, et, par suite, les moments L, M, N, sont peu considérables vis-à-vis de la masse de la terre. Or, si r^xede rotation de la terre était réellement fiie dans ce corps, et les moments L, M, N tout à fait nuls, l'axe de rotation serait un axe principal d'inertie, selon la propriété caractéristique dont jouissent ces axes, d'être axes permanents de rotation. D'après cela, l'erreur commise, ea admettant que la rotation de la terre s'effectue autour d^un axe principal d'inertie^ sera fort petite. Un calcul approfondi montre que cette erreur est tout à fait négligeable. Les mesures géodésiques nous apprennent que la figure de la terre est celle d'un solide de révolution autour de M>ii axe de rotation. Ceci, et plusieurs autres considérations portent à croire que les deux axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité, qui sont situés dans le pian de Téquateur, ont des moments égaux. Nous prenons le plan XOY pour celui de Téquateur, et nous pose- >*ons
Bit: A.
^ aplatissement de la terre vers les pôles nous porte a ^^naettre que l'axe OZ est l'axe du plus grand moment. Kous supposerons donc
Ainsi, nous aurons
Mettons de suite ces valeurs sous une forme qui se ?r4te mieux au calcul numérique.
Soit n la vitesse angulaire moyenne du mouvement de »a terre autour du soleil. D'après les formules du mouvement elliptique, la force accélératrice qui retient la terre dans^ son orbite, rapportée à runité Je distance, est
mesurée par le produit /i*r*. D'un autre c6fé, celte mèn» force a pour mesare le produit de la somme des masse du soleil el de la terre, par l'atlractioti de l'unité c^MBassi sur runîlé de masse à Tunité de distanee. Si donc nom nommons k le rapport de la masse de la terre à cetle di soleil, nous aurons
n, par suite,
,,, 3/i'(C~A) ^, 3«2(C-A) (i)L.-=-T— ^^ — ; rz, Mz= 1— -— —-.aa: K=o
^ ' (i-h/ijr^* -^ (i-f- A)r»
Le rapport h étant fort petit, r^-- au plus, nous 1<
négligerons dans le présent calcul. Mais, quand il s'agin de la lune, il faudra rétablir dans les formules le rappor analogue, savoir, le rapport de la masse de la terre à cell de la lune, qui est égal à 80.
Dorénavant nous prendrons Taxe OX constammen dirigé vers Téquinoxe de printemps, et Taxe OY dirig du côté du solstice d'été. Ces deux axes ne cesseront pa d'être axes principaux d'inertie de la terre.
Nous déterminerons le mouvement par la méthode d la composition des couples. Les couples L et M, en agis sant pendant Tinstant dt ^ communiquent à la terre deu vitesses de rotation infiniment petites, autour des axes O] vi OY; les quantités de mouvement qui naissent de et vitesses de rotation ont pour moments, autour des même axos, les produits hdtex. Mdt^ car les moments des force eiFectives sont égaux aux moments des forces appliquées Ainsi, les quantités de mouvement que possède la terr à la fin de l'instant dt^ considérées comme des forces c transportées à roriglno, donnent naissance à trois cou pies autour des trois axos OX, OY. OZ. Les deux prc
DYMAMIQtE. ao3
nden ODt leur» moments égaux kLdt, lAdt] le troisième eslle couple des quantités de mouyement qui animaient la terre au commencement de Tinstant considéré. Si l'on représente son moment par G, et que Ton nomme p la vitesse de rotation de la terre autour de son axe, on a
•G=:pC.
Ces trois couples se composent en un seul, dont l'axe se confond, pour nous, avec Taxe de révolution de la terre, dans la nouvelle position ^u'il occupe à la fin de T instant dt. On sait, en eflet, que trois rotations infiniment petites, autour de trois axes rectangulaires, se réduisent à une rotation autour d'un seul axe convenablement déterminé. Si l'on convient de représenter un couple par une droite dirigée suivant Taxe et proportionnelle au raotnent, le couple résultant dont il s'agit sera représenté, en grandeur et en direction, par la diagonale du parallélipipMe rectangle construit sur les axes OX, OY, OZ avec des longueurs proportionnelles à Ldl, Mdi^ G. Les deux premières arêtes du parallélipipède étant infiniment pertes en comparaison de la troisième, la diagonale fera un ^ogle infiniment petit avec la troisième arête et, par suite, 'Qra même longueur. L'attraction du soleil dévie donc Uxede la terre, à chaque instant, sans changer la vitesse de rotation autour de cet axe ( * ) .
(*) La théorie des forces instantanées rend aussi parraitement compte ^ la méthode de la composition des couples. En effet, quand des forces lottaDianées ▼iennent à agir sur un système de points matériels assujettis * ^ liaisons queloonqaes, si Ton considère les quantités de mouvement '•^•e des forces, il y a équilibre, en vertu des liaisons, entre les ^Hotilés de moÙTement que possédait le système avant les percussions» '^ qasutités de mouvement qui seraient communiquées par les percus- 'iOttsi toas les points étaient libres, et les quantités de mouvement que P'^xède le système après les percussions, ces dernières quantités étant PH««8 en signe contraire.
Or o|i peut toujours remplacer les forces continues qui agissent peu-
2o4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Étudions isolément les mouvements produits par cha^ cun des quatre couples moteurs, en commençant par les couples qui proviennent de Faction du soleil.
Action du soleil.
Il nous faut substituer aux coordonnées rectangulaires du soleil la distance r, la longitude cp, et Tobliquité 0 9e TéquateurXOY sur Técliptique XOE.
Les formules de transformagon sont les suivantes :
xnzrcosf, ^ = rcDs9siny, z rzirsinO sin^.
Elles dopneut
L.--3/i*(C— A)sindcosOsiD^(p, M=: — 3/i*(C — A)sinOsînf cosf.
1° Couple L. — Composant d'après la loi du parallélogramme le couple Làdt avec le couple G, on obtient un nouveau couple, dont Taxe OG' représente la position que prendrait l'axe terrestre à la fin de Tinslant dt^ si le couple \adt agissait seul. Ainsi, par Teffet'du couple L</it, l'axe terrestre ou la perpendiculaire à l'équateur tourne d'un angle infiniment petit dyj autour du rayon OY de l'équateur. Ce rayon étant perpendiculaire à Tintersec* tîon de Téquateur et de l'écHp tique, il s'ensuit que la ro-
dant rinstant dt par des percussions appliquées à la fin de cet instant el capables de produire sur chaque point du système, supposé libre, U quantité de mouTement qui lui serait communiquée par les forces continues pendant Tinstant dt. Par là on n*a plus à considérer que des percussions; en sorte que le mouvement communiqué se détermine, d*aprèi le théorème général qu'on vient de ràj^peler, en exprimant que les quan* tités de mouvement se font équilibre.
Dans notre cas, les liaisons réduisent les conditions d'équilibre à cetl» ci, que la somme des moments autour de chacun des trois axes soi nulle. Il s'ensuit que les moments, représentes par des droites, se cornposent suivant la loi ^lu parallélogramme.
DYNAMIQUE. aoU
la&ion dit a pour unique effet tle déplacer Tintersection do i'^^ateur sur récliptique, sans changer Tangle des deux pi sus.
Soit df^ l'angle XOX' dont la ligne des équinoxes a rétrogradé dans le plan de Técliptique. Cet angle est le KMmAme que Tangle décrit par la projection de l'axe terfc^^tre sur l'écUptique, car cette projection est constara- KKm.cnt perpendiculaire à la ligne des équinoxes. Nous m^vons donc
smG e«: d'aiUwrs
^ Ldi 3/i'(C— A) . , ^ .
SlOtfV ou tfv -::i: -j^ = i— SinO COSO iltl^nfii,
Cj pC
Prenons Torigine du temps à Téquinoxe de printemps pour une année déterminée, et nommons 4' Tangle dont ^^ ligne des équinoxes a rétrogradé sur le plan de l'éclip-
tm€|iie depuis Torigine du temps. Alors, négligeant Tex-
^^eatricité de l'orbite terrestre, nous avons
