z: fit -h -J
Mais, dans la valeur de df^^ nous pouvons négliger l'angle ^ au même titre que nous négligeons les déplace- ^»nits produits par les autres couples moteurs. Par conséquent,
d'^::^ —t; COS 0 SIO' nt dt.
En outre, l'observation fait voir que l'obliquité de Téquiteor sur l'écliptique reste a peu près constante, car cUe ne s'écarte pas de sa valeur moyenne de plus de lo'^^ Noos pouvons donc, dans l'équation précédente, supposer i t une valeur constante ^^ comprise entre la plus grande c^ la plus petite des valeurs de cet angle. D'après cela, il
2o6 MÉCAMIQDE RATION MELLE.
vient, <m intégrant et i*emplaçant ensuite nt par f , 3/i>(C — A)cosO'
2 pC
Cet angle ^ mesure U préceasion des équinoises d l'action du soleil. La valeur moyeune de cet ariglo proportionnellement au temps. Or 1 obaervation app que la ligne des nœuds emploie environ a6 ooo 9»% accomplir une révolution entière; donc le cœffii
— - — est fort petit. Il en résulte que le terme qui
tient Je facteur périodique jie peut jamais acqi
UBe valeur bien sensible. Aussi nous bornerons notn mule à la précession moyenne
, , . 3/?MC--A)cosG'
(^) + = ^ — jé — ^-
2^ Couple M. — Composant le couple M/ie av4 couple G, on obtient un nouveau couple, dont Taxe représente la position que prendrait Taxe terrestre fin de Tinstant^/f, si le couple Mdt agissait seul. On que TeiTet de ce couple se réduit à faire varier Toblii de Téquateur sur Técliptique d*un angle
GOG" = d^ = — - = ^- di
G 2pC
Il vient, en intégrant avec la même approximation dans le calcul précédent,
^ 3«(C — A) . ^, 4 pC
La variation de Fangle 6, donnée par cette fora mesure la nutation de Taxe terrestre due à Tactioi soleil. Cette nutation périodique est peu sensible, à c
DYNAMIQUE. 20y
^im très-petil facteur — - — • Ainsi, Vaxe de la rotation
'^^la terœ resterait à peu près fixe dans l' espace j si le ^^s^leil'agissaii seul.
Action de la /une.
Occupons-nous maintenant de la lune. Conservons aux Açttrei la même signi6cation, mais marquons de Tindioe i csàlesqni se rapportent à la lune; Se plus, nommons i l*~iiidînaison de Torbîte lunaire sur Tëcliptique, ejt A la loaptude^u nœud ascendant de la lune.
No«s avons, d'après les formules (i),
'*'«> Jtj ^t étant les coordonnées de la lune par rapport ^ux axes OX, OY, OZ.
Il nous faut exprimer ces coordonnées en fonction de
'^ longitude de la lune. Pour cela, figurons une sphère
Fig. 72. décrite du centre de gra-
m, vîté de la terre comme
^ A-' / centre, avec un rayon égal
"- ■" à l'unité; et marquons
sur cette sphère la trace
m y du rayon vecteur de la
* • lune, l'équateurXY, ré-
<^iptique XN et Torbite lunaire N/n,. L'arc XN sera la
longitude du nœud, et la somme des deux arcs XN, Nm,,
^on situés dans un même plan, sera la longitude de la
lune, ou (ft.
Nous cherchons les valeurs des coordonnées, en vue
^e les substituer dans les expressions de p^ et de — ^ ,
Slo8 IcéCANlQUR RATIOnifELLK.
lesquelles contieoneBl le facteur très-petit — - — • Il est
donc inutile de calculer ces valeurs fort exactement. Aussi nous négligerons dans ce calcul le carré de Tan-
gle I, angle dont la valeur est à peu près 5*^9' ou — du
rayon.
Soient x,, jr\j z\ les coordonnées de la lune, prises par rapport à trois axes dont l'origine est au centre de grayité de la terre, et oui sont dirigés', le premier suivant la direction OX de l'é[]uinoxe de printemps, le second suivant une perpendiculaire située dans le plan de Técliptique, et le troisième suivant une perpendiculaire «^^ Téeliptique.
Nous avons d'abord
x\ — r, cosç,, y\ — r.siny,, z, — r, / sin(<p, — \)\
puis, par les formules de transformation jdes coordonnét ^ s
en géométrie plane^
«, =:x\::r r.cOSf,,
y^z=:y\ cosô — z', sinO i=z r, [sinç, cosô — / sin (ç, — \) sin^^ "]»
», =7, sin 0 -h z^ cosO = r, [sinf , sin ô -f- 1 sin (9, — X) cos ^B ].
Substituant ces valeurs dans les expressions de Li «t de M|, et négligeant toujours 1*, il vient
3/iî(C-A)- . ^ ^ . , L, =: — — — 7— — [smô cas 9 sin^©,
-+- ' (cos'ô — sin'Ô) sin^ , sin (9, — "^ T^J»
M, = r^ — j-r — [smGsm», cos<p,
-h «cosô ces y, sin (y, — X)].
I** Couple L,. — Si l'on nomme ^j^ Fangle dont fétwr^O' grade la ligne des équinoxes pendant le temps f, en ver~ ^"
dyuamiqub. log
J^ laction du couple L,, on a Téquatioii
^ Gsinô*
oia l'on doit remplacer L, par la valeur précédente, et G par sa valeur pC.
Dans l'intégralion qui doit nous fournir Tangle ^, nous pourrons regarder comme constants, non-seulement Tangle 6, mais aussi l'angle i] car T inclinaison de Torbile lunaire sur Técliptique reste à peu près constante. Nous pourrons encore remplacer la longitude Çi par fï,f4-const. Quant à la longitude du nœud, A, nous savons qu'elle
<iiminue d'une circonférence en 18 ans ^ environ, d'un
'Mouvement à peu près uniforme; en sorte que, en nomniant — a la vitesse angulaire moyenne du nœud, nous Pourrons remplacer A par — ««4-const.; et il importe ^'observer que a sera beaucoup plus petit que /i,.
Ceci posé, il suiBt de remplacer les produits de sinuf P^r les cosinus de la somme et de la différence des arcs, ^* rînlégration se fera immédiatement. Mais, parmi les ^^rnies périodiques de la différentielle, nous conserve- '^^Us seulement le terme indépendant de (pi; car l'intégrale ^^ autres termes aura en diviseur le nombre n,, tandis H^e l'intégrale de celui-ci aura en diviseur le nombre a, *^uel est beaucoup plus petit que /ij.
La diiTérenticlle£f(p se réduit donc à la valeur suivante
w, 3/i;(C — A)r ^, /COS2Ô' , n^
'*+ — - , , ' cosÔ'h .--T- cos — «^ -^ const.) di.
On en tire
(\\ . 3/îî(C-.A)/ ^, /COS2Ô' . \
^3) ^ — ^-J^ J^ cosô'.r -j-sinXj.
^ a(i-hA,)pC\ asmô' /
