C -r* Cl
même temps que le nœud de Torbite lunaire fait le t
de Fécliptique, c'est-à-dire en 18 ans - environ.
Calcul numérique, — Dans ce calcul-, Tunilé de I gueur sera la seconde d'arc, et l'unité de temps s Tannée julienne composée de 365, a5 jours solai moyens. Nous pourrons confondre cette année avec l' née sidérale, dont elle diffère très-peu 5 par suite, n aurons
n ■=! nombre de secondes en 36o<» = 1296000''.
Les autres données, fournies par Tobservation, se pour Tépoque actuelle,
9'=--23«27'3o", ir= 18528^,
Il faut encore connaître le rapport des moments d'in
tie, ; mais notre ignorance sur la répartition
la densité dans Tintérieur de la terre ne nous permet c
DTHAMIQUB. ai3
des conjectures. D'après une hypothèse (*), imaginée par X^iCgendre et discntée par Laplace dans la Mécanique ee- I^ste (livre XI, §§ i et 6), qui s'accorde assez bien avec la plapart des phénomènes observes, on trouve
— - — :=o,oo3255.
9otis admettrons celte valeur.
Substituant ces nombres dans les formules obtenues, ml vient d'abord
h COS2 0' ..^
a cosô' '^^
cfuel que soit le rapport du moment d'inertie \ tandis que l'observation donne - = 0,746a. L'erreur relative
5oo Nous trouvons ensuite
e = i5^,8, pour la précession solaire annuelle, c, = 34'%99 pour la précession lunaire annuelle, c + c, = 5o",7, pour la précessioh annuelle totale;
tandis que la précession annuelle observée est 5o'\ a.
U vient enfin
tandis que la valeur observée est 9", 65.
On sait que la théorie des couples a été imaginée par M. Poinsot. Elle constitue une partie importante de Tadtttirable Traité de Statique publié par cet auteur. L'ap-
(*) Cette hypothèse consiste à regarder la terre comme une niAMe ^de et tellement compressible, que raccroisscmcnt de prffchion néces- ^re pour produire un accroissement donné de la densité soit propor- ^niiel à la densité elle-même.
ai4 MéCANIQUB RATIONNELLE.
plîcatîon de la méthode à la détermination du mouvement de )a terre autour de son' centre est également du< à Tillustre géomètre (*).
Corollaire. — INous pouvons, en suivant une marclM inverse, nous servir des mêmes formules pour calculer h
rapport des moments d'inertie de la terre, — - — > et auss
le rapport de la massé de la terre à celle de la lune, qu est encore assez incertain. Il nous suffit dVgaler les ex* pressions de c 4- Cj et de a aux valeurs observées So'^,» e 9^,65, puis de résoudre les deux équations obtenues pa
rapport aux quantitt's — - — et A,. Nous trouvons ainsi
3 /i cos 0' \ /ï i n 1 *
— ij — I -67,5.
Cette valeur du rapport des masses est sans doute tro] faible, bien qu'elle se déduise de formules assez exactes Il faut en conclure que la précession et la nutation n( fournissent pas aux astronomes un bon moyen pour dé terminer la masse de la lune, en ce sens qu'une petit erreur dans la précession ou la nutation produit une er reur considérable dans le rapport des masses.
6. Considérons l'orbite de la lune comme un anneak circulaire très-mince, et partout d^ égale épaisseur^ anim d'une vitesse de rotation autour de son axe de Jigure égale au moyen mouvement de la lune; et cherchon quel déplacement du plan de V orbite pfxyduiraît l'ai traction du soleil^ dans cette hypothèse.
{ *) Voir la Théorie des cônes circulaires roulaots {Journal de M, Lioë W//e,t. XVIII, p. ',1 ; i853).
La distance moyenne de la lune a la terre ëtant à peu près la 4oo* partie de celle du soleil, nous pouvons appli- €juer k Tannean 6ctif les formules établies pour le mouvement de la terre dans le problème précédent; car ces formules supposent seulement que le corps est de rérolution, et de dimensions petites relativement à la distance du soleil. Le plan de Tanneau nous représentera le plan de Tëquateur, son axe de rotation nous représentera la ligne des pôles, etc.
Diaprés cela, transportant a cet anneau la notation emplo3rée pour la terre au problème cité, nous avons
d'^ = - c«»sO (i — cos?.f )ar,
lÛKà
3/1» (C — A) . ^ . dB -= — - — -- sin9sin2«^.
Ici le rapport — - — est égal à -» et Tangle 6 reste ton-
jours assez petit, 5** 9' environ. Il vient donc, en négligeant le carré de Fanglc d,
tf^ z=:i -y— ^ I — COS7. tf) dty
4P i/ônr r— 9sin2<9///.
Dans ces formules, n est le mouvement moyen du soleil, P le mouvement moyen de la lune dans son orbite^ ^ Tinclinaison du plan de l'orbite lunaire, — ^ la lougitude du nœud de la lune, (p la diflerence entre la longitude inoyenne du soleil et la longitude du nœud de la lune. Elles coïncident exactement avec les équations auxquelles on parvient, quand on cherche à déterminer le mouve-
ai6 MÉCANIQUE RÀTIONHELLE.
ment du plan de Torbite de la lune par la méthode commune de la variation des constantes arbitraires (*),
Si Ton néglige les termes périodiques, pour ne considérer que le mouvement moyen, on voit que rinclinaison reste constante, et que le nœud rétrograde d^ui:
mouvement uniforme, avec la vitesse -7— •
4p Newton a traité cette question dans leLiWe des Priti^
cipes (lib. I, prop. 66). L*anneau qu'il considère est k portion du globe terrestre qui forme le renflement équa* torial. Il avait en vue de calculer la précession des équinoxes; mais il se trompa dans le passage du cas d'un anneau libre au cas réel d'un anneau qui est lié avec 1< noyau spliérîque de la terre, et l'entraîne dans son mouvement. Laplace a corrigé le calcul de Newton, dans h Mécanique céleste (liv. XIV, §1).
7. Supposons un corps retenu par un point fixe, tjii ne soit sollicité par aucun couple accélérateur» Ce sercj si l'on "Veut, un corps pesant retenu par son centre dt gravité.
Nommons G le moment du couple résultant de toute: les quantités de mouvement;
h la distance du centre fixe au plan qui touche Tellipsoïde central, relatif à ce centre, sur l'axe instantané d< rotation ;
Xi, ji^ Zi les coordonnées du point de contact pai rapport aux axes principaux d^inerlie du corps ;
k le rapport constant de j:i, j-j, Zi k p^ q^ r\
X, fx, V les angles que forment les axes principaux d'inertie sur Taxe fixe du couple G.
(*) Cette remarque se trouve dans une thèse présentée en i855, à li Faculté de Parii, par M. Charles Simon.
dthàmiqdb. 217
Le couple G est constant en grandeur et en direction, d'après le principe des aires ; la distance h reste invariable pendant toute la durée du mouvement, car elle est égale au quotient de la racine carrée de la somme des forces vives par le moment G; le plan tangent à Tellipsoïde cCDtral sur Taxe instantané coïncide avec le plan du couple G. Ce sont là des propositions démontrées dans tous les Traités de Mécanique postérieurs aux travaux de M. Poinsot.
De plus, on a les équations
(A'xi
-f-B'rî
-t-C'zî)
cosX kp
Bq
COSv ~ Cr '
d'où
l'on
lire
cosX
Ax,
CCS fi
COSV
- Cz,
De ces relations on déduira sans peine plusieurs propriétés du mouvement des axes principaux d'inertie re* bti& au centre fixe :
1® La somme des carrés des distances des trois somfnets de r ellipsoïde central à Vaxe fixe du couple résultant des quantités de mous^ement est constante pendont toute la durée du moui^ement,
a® La somme des moments d'inertie principaux, respectivement multipliés par les carrés des distances vaf^les des sommets de l'ellipsoïde central à Vaxe fixe du couple résultant des quantités de mouvement ^ est constante pendant toute la durée du mouvement,
3® Si Fon nomme p^, p^, p^ les longueurs interceptées ^ur les axes principaux de V ellipsoïde central par le
ai 8 MÉCANIQUB RÀTIONIfELLE.
centre fixe et par le plan tangent à r ellipsoïde sur raxe instantané de rotation , on a les relations
