MOUVEMENTS RELATIFS. CHANGEMENT DE VARIABLES

La détermination du mouvement d'un système < points matériels, relativement à des axes mobiles suiva: une loi donnée, exige un changement de variables, se après {^intégration des équations différentielles qui r gissent le mouvement absolu, soit avant cette intégratioi Cette seconde marche est généralement préférable; noi Tétudierons seule.

Pour substituer de nouvelles variables aux coordonné rectangulaires x^ y^ z, dans Téquation généralede la d; namique,

il semble au premier abord qu'il faut calculer sépare

ment les expressions des quantités - j -—i . . . , dx^ dj, .

en fonction des nouvelles variables, puis substituer les va leurs obtenues ; mais le calcul ainsi fait serait parfois foi pénible. On l'abrégera beaucoup en se servant d'un ihéc rème de Lagrange (*), d'après lequel toute la partie p< nible de la transformation se réduit à trouver Texpressio de la demi-somme des forces vives de tout le système, e fonction des variables nouvelles. Quoique ce théorèn: ne soit nullement nécessaire pour la théorie des mouvt

(*) Mêcanitiue analytiijuey seconde Partie, sect. 4'

ments relatifs, ni même pour la résolulion d'aucun problème de mécanique, nous le rapporterons ici, a raison de sa commodité pratique dans un grand nombre de questions, et, comme application, nous en déduii^ons les équations générales du mouvement relatif en coordonnées rectangulaires.

Formule de Lagrange, — Soient a, jS, etc., les nouvelles variables, que nous supposons liées aux coordonnées rectangulaires x, y^ z, etc., par des équations finies quelconques, pouvant contenir le temps explicitement; ces nouvelles variables peuvent d'ailleurs être en nombre différent de celui des coordonnées x^ y^ z, etc.

Posons, d'après Lagrange,

et

en sorte que T soit la demi-somme des forces vives de tout le système.

L*équation générale de la dynamique pourra s'écrire

VI Idx' , dy , ^^W

— ^[Xêjn -h Y^x -h ZSz) G.

Le théorème de Lagrange consiste en ce que la quantité

^ (dj/ ^ dy . ^ dz\ \

aaa mécanique RÀXiouftELLE.

s'exprime d'une manière simple à l'aide des dériva fonction T.

Pour le démontrer) observons d'abord que, les i et i pouvant être intervertis, on a

(i.8x d.Sjr

d*où il résulte

2/dx' ^ dy . dz'\

(3) / -- — -V/yi(x'^.r-|-y^j-f- z'^z)

Il reste à transformer les deux sommes qui figu second membre.

Pour cela, on imagine que, à laide des équati< lient les nouvelles variables aux anciennes et au on ait exprimé x, r, ^v en «, a, jS,...; etx', y\ r' en f, a, (3,..., a\ (3',.... Alors, en commençant première somme, on a identiquement

'^m[x'Sx-^y$y -\-z'$z)

U'ailleurs, si l'on représente par (-T-) 'a dérivé tielle de x par rapport à f en tant que t figure exp

DYNAMIQUE. 2'il^

ment dans Texpression de x en f, a, j3,. ., on a

d'où

rAr' dx dx^ dx

5V"^' lïf'dl'"'''

«l de même

^ ^ dz' dz^

dyf doL da' dct.

Kn ayant égard à ces dernières relations, Téquation (4) peut se mettre sous la forme

OU bien

2 m (x'Sx -f. yôx -h z'(Î2 — i— ^a -+- ^ ^B -r

ï^ar suite,

^^m{x'$x-hy9j- -f- l'^z)

£/T dj

'da\ 'd^'^ dl ^ , r/T,,,

dt dt "^ da! dp

Quant à la somme qui forme la dernière partie de l'équalïon (3), elle est évidemment égale à 5T, c'est-à-dire à

«'T , dT ^^ dl ^ , dl .^,

224 MÉCÀMIQUE RÀTIONrCELLE.

Ainsi, en réunissant les deux valeurs obtenues, il vient

^ fdx' dy' di! \

' da' ^ 'W\. ^T ^ dT ^^

dt dt ^ da dH ^

Telle est l'expression donnée par Lagran^e. Pour achever la transformation de Téquation gêné — raie (2), il faut encore calculer la quantité

en fonction des nouvelles variables.

Ce calcul s'effectuera généralement sans artifice particulier.

Toutefois, dans le cas où cette expression serait la variation exacte d'une fonction F des coordonnées jc, y, 2,..., considérées comme variables indépendantes, pour la transformer, il suffirait de substituer les nouvelles variables aux anciennes dans la fonction F, et de prendre la variation par rapport à a, j3,..., sans faire varier t.

En tout cas, si Ton représente la valeur de la somme en question par

kSoi -k- B<îp-|-. . . ,

l'équation générale de la dynamique sera

dT \

Si les variables a, ^,... étaient réduites au moindre nombre possible, on égalerait séparément à zéro les coefficients des variations $a, $|3,....

Il ne faut pas oublier que, dans cette équation, les

DYNAMIQUE. ^aS

lërivées par rapport à a, j3,..., a , â',... sont des dérivées partielles, et les dérivées par rapport à t des dérivées totales prises en considérant a, j3,..., a', l^'?**- comme des (onctions inconnues du temps.

Formules d'Hamillon. — La formule de Lagrange prend une forme souvent plus commode, quand on y remplace les variables a!, (3',... par de nouvelles variables p. ^,... en même nombre que les premières, et liées à cellesci par les équations

Avant d'effectuer cette substitution, remarquons que T est une fonction homogène de second degré des variables x', y, z', . . . (i), et que j/, y^ z\, . . sont des fonctions bomogènes et du premier degré de a', P', • •• (5 ).

n s'ensuit que T est une fonction homogène et de second degré des variables a', ^'j.... D'après une propriété bien connue des fonctions de cette forme, on a

^ dJ , dT ^,

^^d^-^df^-^-"-^^ et, par suite,

iQ\ ^r^ , • ^T ^, . dT dT ^ dj ^^

Remplaçons maintenant dans la fonction T les varia- Wesûc', ^',.. . par les variables p,^,. . . (7), et prenons la variation de la fonction. Nous aurons 3^ ^T, dT ^ dT ^ dT ^^

dp '^ dq doL ^P

^tte expression est Identique à celle que nous obtiendrions en substituant les variables p^ q^, . , aux variables oc', P', . .. dans le second membre de la formule (8).

Par ces substitutions, 5. -rr > ^•"t^? • • • deviendraient 5w, da. ap ^