II. 1* ÉDIT. i
aa6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
^^,...(7). Les équations qui expriment rideo deux expressions sont donc, outre les équations (
Il faut se souvenir que dans ces équations, com: les équations (7), le premier membre est exp: fonction des variables a, P,..., /?, ^,... etje secon bre en fonction des variables a, ô,..., a', [5',
Les formules (7) et (10) nous donnent immédi le résultat de la substitution des nouvelles variab la formule de Lagrange (6),
Cette équation, jointe aux équations (9), r/« dT dp dT
dt dp dt dq
est une nouvelle forme de l'équation générale de mique.
Quand les variables a, (S, . . . sont réduites au 1 nombre possible, on a séparément
dp dT ^ ^q dT ^
dt doL dt dp '
Si, de plus, A^/a -j- Br/j3 + . . . est une difféi exacte rfU, en posant U — T = H, les équations blême deviennent
dp dt
dq dt
doL
dt ~
dp'
dp dt
dq
Ce
sont
là les formules d'Hamilton.
DYNAMIQUE. a 37
application aux mom*ements relatifs, — Supposons <jae les nouvelles variables a, j3, y, . . . soient des coordonnées relatives à des axes rectangulaires, mobiles f :ii- ^%rant une loi donnée.
Soient
« = Zo -4- û" a -h ^^ P -h c" 7,
1 es formules de transformation, dans lesquelles Xo, Jo^ ^o ^t les cosinus a, 6, c, a',... sont des fonctions connues du temps.
Pour abréger l'écriture, supprimons le signe \^î
oomme s'il ne s'agissait que d'un seul point, et supposons la masse m égale à Tunité.
En ayant égard aux relations finies qui lient les neuf cosinus, ainsi qu'aux relations diflérentielles qui en dérivent, nous obtenons successivement
Il =2/' -f-y -h ::"= a'^ -h p" -f- / '
/ da ^ db de dx,y
-ha— -f-p — -4-7 — -f--;- \ dt ^ dt ' dt dt I
I da' ,db' de' dy.y-
l da" ^db" de" dz.y
. . ,^ I da db de dx^\
. ,J da' ^db' de' dr^X
. . „ .J da" ^db" de" tfz,\
MÉCANIQUE RATIOHNELLE.
, ,/ db ,db' „db"\
^\ dt dt dt )
( de ,de „dd'\ dx. dy.
\ dt dt dt I dt dt
àTda/ ^ ^db de dxA
doi'' dtydt'^^li'^^Tt'^ "dt)
da' ( da' ^db' de' dx.\
dt \ dt ^ dt ' dt dt )
doT 1 da" ^db'' de'' dz.\
dt \ dt ^ dt ' dt dt J
cy
dj
do,'
dJ
dx
d^a (d-'x^ d^a dH ^ d^c
'dF^''\-dF^liF''^ltF^^-dF'
Jd'Y, d'à' d'b' ^ d^c'
\ dt' dt' dt' ^ dt^ '
Jd'z. d'à" d'b" ^
-^^[-dF^-dF-'^-dF-^
\^\ dt dt dt j dt
\ dt dt dt ) dt
Celle dernière quanlllé, augmenlëe de la force sollicite le point dans la direction de Taxe des a, c
d'<f dt' '
DYNAMIQUE. a 2g
^coefficient deâa dans l'équation générale du mouvement .K-elatif.
Les coefficients de dj3, ây sont de même forme; on les Réduit du coefficient de âa par la permutation circulaire ^Jes lettres a, |3, y et a, bj c.
On peut considérer les termes ajoutés à — • dans l'ex-
j>ression (i s), et les termes analogues relatifs aux autres coordonnées, comme représentant des forces fictives telles ^ue, sous Faction de ces forces et des forces réellement appliquées, le système prendrait un mouvement absolu :identique au mouvement relatif qu'il s'agit de déterminer, la formation des équations du mouvement relatif consiste tout entière dans la recherche de ces forces fictives. C'est ainsi que Clairaut (*) et, après lui, Coriolîs {**) ont envisagé la théorie des mouvements relatifs.
Reprenons la question sous ce nouveau point de vue, en usant de considérations géométriques : les démonstrations en seront plus simples et surtout plus lumineuses.
Exposé géométrique de la théorie des mouv^ements relatifs, — Observons d'abord que, si les axes ont un simple mouvement de translation rectiligne et uniforme^ ce mouvement des axes ne modifie en rien les dérivées ies vitesses relatives, lesquelles dérivées mesurent les forces accélératrices capables de produire un mouvement ^I^lu égal au mouvement relatif considéré. Il en résulte 4^6, dans ce cas, les équations différentielles du mouve- Oient relatif aux axes mobiles sont tout à fait identiques dux équations différentielles du mouvement absolu par
(*) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris t 174^, p. i> Clairaut ^nmet une erreur dans rexposé de la méthode; mais il l'applique ^n^tement à plusieurs questions. Quelques-unes de ces questions ont •^wsolues directement dans cet ouvrage.
i**)ioMrnal de V École Poljtechnitiue, XXl« et XX1V<^ Cahiers.
a3o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
rapport à des axes fixes, parallèles aux premiers. Seu ment, quaiid on intégrera les équations, les constan introduites devront être déterminées différemment pc le mouvement relatif et pour le mouvement absolu.
Actuellement supposons les axes animés d^un moui ment de Tespèce la plus générale, et considérons pendj un instant infiniment petit dt le mouvement relatif d' point matériel M, entièrement libre, et sollicité par \ forces quelconques. Ce mouvement relatif ne sera ]
Rg. 73.
changé si, à la fin de Tinstant dt^ nous imprimons à h Tensemble des axes et du point matériel un mouvem commun qui ramène les axes à la position qu'ils occu raient, dans la supposition que leur mouvement pend Tinstant dl ait été une translation uniforme, due à 1 vitesse acquise, égale et parallèle à celle que possède point M au commencement de V instant dt. Mais alor mouvement du système est ramené au cas simple \ nous avons considéré d'abord, où les équations différ
UYNA.MIQUE. 23 1
rîelles du mouvement relatif sont identiques à celles du
«mouvement absolu. Donc nous pouvons traiter le mou-
-^ement relatif comme un mouvement absolu, si nous
.joutons aux forces qui sollicitent réellement le point M
pendant l'instant dt des forces capables de lui faire par-
C!oarir, pendant le même instant, le chemin que nous lui
avons fait parcourir par le mouvement imprimé fictive*
ment au système.
D nous reste à calculer ces foi'ces. Soient : OX, OY, OZ les positions des axes au commencement dePinstant dt-^
O'X', O'Y', O'Z' les positions des mêmes axes à la fin de r instant dt]
OiXi, OiYj, OiZj les positions qu'occuperaient ces ues à la fin de Tinstant df^ si, pendant cet instant, leur monvcment avait été une translation uniforme, due tout entière à la vitesse acquise qui anime le point M au comoiencemcnt de l'instant considéré;
Ojl une parallèle à Taxe instantané autour duquel les ^Xes ont tourné pendant Tinstant dt-^
ta leur vitesse de rotation autour de cet axe; M la position du point mobile au commencement de linsunt dt]
M' la position qu'aurait prise le point mobile à la fin deTiustant dt^ si pendant cet instant il eut été lié aux axes mobiles ;
M'' la position du même point à la fin de l'instant dt] eu sorte que M'iVF sera le déplacement relatif du point pendant l'instant dt]
Ml la position qu'occuperait ce même point à la fin de
cet instant, si son mouvement avait été une translation
uniforme, due tout entière à sa vitesse acquise an com-
nient de l'instant considéré.
Imaginons de nouveaux axes mobiles dont l'origine est
a3a MÉciiNiQUE bàtionnelle.
en M au commencement de l'instant dt^ qui sont invariablement liés aux premiers axes mobiles et leur sont parallèles.
Soient M'^', M'y?', M'Ç' les positions de ces nouveaux axes à la fin de l'instant dt^ et Mi ^i, • . . les positions que prennent ces nouveaux axes quand les premiers ont la position OjXi,. . . .
Pour amener les axes O^X',.-- à la position OjXi,...^ il suffit d'amener les axes M'Ç',. . ., qui leur sont invariablement liés, à la position Migi,. . . • Cela se peut faire par deux mouvements successifs : une translation parallèle qui amène Torigine M' en Mi, et une rotation — wdt autour d'une parallèle à OiI menée par le point Mf.
Dans le premier mouvement, le point M", que nous supposons entraîné dans le mouvement donné aux axes, décrit une droite M''M'^ égale et parallèle à M'Mj.Ce déplacement serait produit par une force égale et contraire à celle qui forcerait le point matériel à rester invariablement lié aux axes mobiles, en supposant qu'il ait au commencement de l'instant considéré la même vitesse qu^un point fictif coïncidant avec lui et invariablement lié aux axes.
Dans le second mouvement, le point M", décrit, en sens contraire de la rotation des axes, un petit arc M' M'^ perpendiculaire à OiI et à la direction MiM' de la vitesse relative. La longueur de ce petit arc est le produit de tùdl par la projection du déplacement relatif MiM*[ sur un plan perpendiculaire à Taxe OiI. Si nous nommons v la^
projection de la vitesse relative sur ce plan perpendicu
laire^ la longueur de cet arc infiniment petit sera «urf/* et la force accélératrice constante capable de le faire pai ^^ courir pendant l'instant dt^ en agissant dans la directii^- : de ce petit chemin, sera awu.
&iOus avons donc ce théorème : Pour avoir les équ
DYNAMIQUE. u33
^Mons du moui^ement relatif d^ un point libre, il faut ajou-
^^r aux termes existants pour le mouvement absolu ^
^^ abord ceux qui représentent une Jorce égale et con~
braire à ce fie qui forcerait le point considéré à rester
Mnvariablement lié aux axes mobiles y et y en outre y ceux
^ui proviendraient d\ine force perpendiculaire à la
-ifitesse relative et à Vaxe instantané de rotation des
éixes mobiles, dirigée dans le sens contraire au mouve^
ment de rotation^ égale à deux fois le produit de la
^vitesse angulaire de rotation des axes mobiles par la
vitesse relative projetée sur un plan perpendiculaire à
cet axe.
On aurait pu abréger cette démonstration en observant que, pour le calcul des forces additionnelles^ il est permis de remplacer les axes mobiles OX, OY, OZ par les axes MÇ, Mw, M^; car les dérivées des vitesses, qui mesurent ces forces, sont les mêmes par rapport aux derniers axes et par rapj)ort aux premiers. Alors les points M et O, Mj et Oi, M' et O' se confondent. C'est ainsi que fait M. J. Bertrand (*), auquel nous empruntons ces considérations géométriques^ mais on pénètre mieux la raison du théorème eu n'usant pas d'abord de cette simplification.
La première force additionnelle, prise en sens contraire, est nommée par Coriolis force d'critratnement, ^t la seconde est nommée forge centrifuge composée, parce que, de môme que la force centrifuge, elle est perpendiculaire à la vitesse et à Taxe de rotation.
Les équations du mouvement relatif d'un système assujetti à des liaisons quelconques se déduisent des équations du mouvement relatif d'un point libre, comme s'il s'agissait du mouvement absolu.
OJourital de l'Ecole Polrtechni^uc, WWl'' Cahier, p. 1/19.
a34 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Soient x, y^ z les coordonnées absolues d'un point d système, x\ y\ z' les coordonnées relatives, a, (3, f l coordonnées de l'origine des axes mobiles, et
x =r a -h ax' -h hy' -\- c»',
les formules de transformations.
Nommons X,, Y,, Z^ les composantes de la force ace lératrice d'entraînement suivant les axes fixes, et XI, Y Z|, les composantes de la même force suivant les axes mi biles. X,5 Y^, Z, seront les dérivées secondes de x, y^ calculées en supposant invariables les coordonnées a y' ^ z'. Par conséquent^
et
d'b de
-ht'
d'c dt'
d'P ~ dt'
~ dt'
----rtX,+
= cX,+
-hc"
Soient p, ^, r les composantes de la vitesse angulaire autour des axes mobiles, t^^ la vitesse relative, i Tang qu'elle fait avec Taxe instantané de rotation des ait mobiles, et A, fx, v les angles que la force centrifuge cor posée fait avec les axes mobiles.
La force centrifuge composée étant perpendiculaire
DYMÀMIQUB. 235
l*axe instantané et à la vitesse relative, on a les relations
p QO%\ -I- q cosfA -f- r cosv = o, dx' ^ dy' dz'
— 7- COS> -f- -V" CCS a H — COSv z=i O ,
dt dt ^ dt
COS'> -f- COS*fi ■+■ COS'v =: I ;
d'où l'on tire
COS^ CCS pi COSv
1h' dp ~~ d,r; ^ M ~^ '~dP d^
^~dt~~^~d7 '''W^lii ^It^'^'dt
On a pris le radical négativement, parce que le mouvement de la demi-droite qui représente la rotation «, vers la demi-droite qui représente la vitesse relative, est nécessairement rétrograde pour un observateur couché sur la droite qui représente la force centrifuge composée.
D'après ces valeurs, si Ton nomme X', Y', TJ les composantes suivant les axes mobiles des forces accélératrices réellement appliquées au point considéré, et m la inasse de ce point, Téquation générale du mouvement i^latif du système sera la suivante :
a36 MÉCANIQUE BATIONlfELLB.
On reconnaît aisément, sous une notation différente Téquation à laquelle nous sommes arrivés par le théorèmi de Lagrange (12).
Admettons que les liaisons ne dépendent que des coor données relatives aux axes mobiles^ alors nous pourroD appliquer le principe des Jorces vives au mouvemen relatif. Les forces centrifuges composées disparaîtront puisqu'elles sont perpendiculaires à la vitesse relative, e nous aurons la formule
1» Un point pesant est assujetti à se moui^oir sur um courbe qui tourne autour d'un axe vertical ai^ec une vifesse constante et connue. Déterminer la courbe par h condition que le point se meui^e suivant une loi donnée
Prenons Taxe des z dirigé suivant Taxe de rotation, ei sens contraire de la pesanteur; nommons ^, x^ j le coordonnées du mobile par rapport à cet axe et à deu: axes horizontaux rectangulaires, entraînés dans le mou vement de rotation; et soient o) la vitesse angulaire /(^, v-ï' -^y^) l'expression donnée de la vitesse du mo bile sur la* courbe au point (x, j^, z),
La force d'entraînement, changée de sens, est égale la force centrifuge qui naît du mouvement circulaire de I courbe; par suite, la formule (B) nous donne
[/(«, Slj^^r')\ = — ^gz-h w» (jc'-hx^) -h consl.
Cette équation représente une surface de révolution ; € la courbe cherchée est assujettie à cette seule conditioi d'être située sur cette surface.
La surface est du second degré, quand la fonction /"est de l'une des formes A« 4- C, By/x* -hj* , A, B, C représentant des constantes. Elle est engendrée par une CTOurbe du second degré, quand la fonction / est de la Forme Az + B y/x^-i-y^ -h C.
Supposons que le mobile soit soustrait à Faction de la pesanteur, et que la vitesse soit exprimée en fonction de l'arc parcouru 5, par Téquation
f^ = w' .V' -I- CODSt.
Dans ce cas, si nous représentons par r la distance du mobile à l'axe de rotation, et par a la valeur de r à TorigÎDedes arcs, la formule (B) nous donne la relation
Toutes les courbes qui vérifient cette relation satisfont à la question proposée. En particulier, si la courbe est plane, elle n'est autre que la chaînette
itki^
l'origine des distances z étant à la même hauteur que l'origine des arcs.
2. Étant données les forces, dirigées vers un centre fixe et fonction de la distance à ce centre^ par Faction desquelles un point matériel se meut dans une orbite, fjuelles sont les forces à ajouter, pour que le point matériel continue à décrire la même orbite, dans le cas oit celle-ci viendrait à tourner autour d'un axe perpendi" culaire à son plan et mené par la centre des forces ^ ^^ec une vitesse angulaire gui soit dans un rapport donné, /i, auec la vitesse angulaire du point matériel circulant dans l'orbite ?
238 MÈCJLTHIQVIS, RATIONNELLE.
Nous allons déterminer les forces qu'il faut ajoute] aux forces qui sollicitent le mobile lorsqu'il décrit Torbiti révolvante, pour que le mouvement relatif â des axe entraînés dans la rotation de Torbite puisse être déter miné à la manière d'un mouvement absolu, en regardao les axes comme fixes. Ces forces additionnelles, changée: de sens, seront les forces cherchées.
Soient /' la distance du mobile au centre des forces, ei Q Tangle décrit par le rayon vecteur dans le mouvement relatif aux axes mobiles. Supposons, pour nous fixer, que la rotation de T orbite soit de même sens que le mouvement du point sur la courbe. Les formules obtenues dans cette hypothèse conviendront au cas contraire, c[uand on y supposera n négatif.
La force d'entraînement, changée de sens, se compost d'une force dirigée suivant le prolongement du rayoi vecteur, égale à la force centrifuge dans le raouvemen circulaire des axes supposé uniforme; et d'une force per pendiculaire au rayon vecteur, dirigée en sens contraire du mouvement, égale et contraire à celle qui produirai Taccélération du mouvement circulaire. Les valeurs d< ces deux composantes sont respectivement
dt^ di*
La force centrifuge composée est dirigée suivant la nor* inale extérieure à Torbite. Son intensité est
d9 /dr^-i-r^dQ^
dt V dt^
Elle fait avec le prolongement du rayon vecteur ui angle dont la tangente est-^- Par suite, sa composante
DYNAMIQUE. aSg
suivant le prolongement du rayon vecteur est
et sa composante suivant la perpendiculaire au rayon yecteur dirigée en sens contraire du mouvement est
d^dr dt dt
Or les deux composantes perpendiculaires au rayon vecteur se détruisent; car, d'après le principe des aires, ODa
r^ —- z=. const. = Cdt
et, en difierentiant,
drd^ ^/'Ô
2 — -f- r rr: O.
dtdt dO
Déplus, la même équation des aires donne
Substituant cette valeur dans l'expression de la somme des composantes dirigées suivant le rayon vecteur, et changeant les signes, on obtient finalement pour la force cherchée une force dirigée vers le centre d'action, ^aleà
Ainsi, pour que le point matériel continue à décrire ^'orbite réuohante, il faut ajouter aux forces déjà exis* ^tes une attraction inversement proportionnelle au cube de la distance. Cette attraction se changerait en répulsion, si n était compris entre o et — a. Elle serait
a40 MÉCANIQUE BATIONHBLLE.
nulle, si n était égale à — a\ c'est qu alors la courbe dé crite dans Fespace ne serait pas altérée par la rotation d Torbite, le sens du mouvement sur la courbe serait sei changé.
Pour avoir Téquation de la courbe décrite dans l'espac quand l'orbite tourne, il suffit de remplacer, dans Féqua
tion de l'orbite, 0 par 0.
Si Ton suppose que Torbite soit une ellipse, on rc trouve les formules données au tome I, page 343. H fai pourtant observer que la constante C n'a pas la mèm valeur dans les deux problèmes. Ici elle se rapporte a mouvement relatif; dans le passage cité, elle se rapport au mouvement absolu : elle est alors plus grande dans 1 rapport de i H- n à l'unité.
Nkwton, Principia^ lib. I, prop. 44*
3. Déterminer le mouifement apparent d'un projecUi lancé dans le vide à la surface de la terre, en tenar^ compte du mous^ement de la terre.
Nous pouvons considérer le centre de gravité de la ten comme fixe, pourvu que nous appliquions au projectil une force accélératrice égale à la différence entre la fore accélératrice qui maintient la terre dans son orbite et 1 force accélératrice avec laquelle le soleil sollicite le me bile considéré. Cette différence étant extrêmement petit< nous n'aurons à nous occuper que de la rotation de ] terre autour de la ligne des pôles , supposée tout à fa immobile.
Les forces réellement appliquées se réduisent alors l'attraction terrestre. La force d'entraînement, changi de signe, que nous devons ajouter dans les équations, e ici la force 'centrifuge due à la rotation de la terre. O. cette force centrifuge et l'attraction terrestre ont poi
DYMliigUE. 241
résultante le poids du corps, mg^ di rigé suivant la verticale du lieu. On voit donc que, pour tenir /compte de la force d'entraînement, il nous suffit de substituer le poids du corps, m^, à l'attraction terrestre, comme nous Pavons fait jusqu'ici, lorsque nous supposions la terre immobile.
Admettons, pour nous fixer, que le point de départ soit situé dans F hémisphère boréal.
Nommons :
X la latitude du point de départ;
h la distance de ce point à Taxe de rotation de la terre 5 h la distance du même point à Téquateur ; tù la vitesse de rotation de la terre. L'origine des axes mobiles des a:', des y' et des z' sera situé au point de départ; le premier axe sera rhorizontale dirigée vers le nord; le second sera T horizon taie dirigée vers Test ; le troisième sera dirigé dans le sens de la pesanteur, et, par suite, fera sur le plan de Téquateur un angle égal à la latitude X.
Les vitesses de rotation autour des axes mobiles, considérées comme positives quand la rotation s'etrectpe de droite à gauche, sont
/? = wcos>, ^ = 0, rzzz — usinX.
Substituant ces valeurs dans Téquation générale (A), galant à zéro les coefficients des variations, et supprimant les accents, il vient
l dt^ dt
f,\ ) ^'r . .dx ^ ^ V
l'j \ — rr — 2wsinX~ ^wcosX- Y — - o,
J di^ dt dt
\d^z dy ^
\ dt" di
