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a4^ MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Les forces X, Y, Z, nous Pavons dit, se réduisent à la pesanteur. Dans la question présente, nous pouvons, sans erreur sensible, supposer cette force constante en grandeur et en direction pendant toute la durée du mouvement. En effet, on démontre en Mécanique céleste que la partie variable de Tattraction terrestre se compose de termes contenant en facteurs les produits w'x, «"j^, &>*j&, ou des puissances de o)* supérieures à la première^ il en est évidemment de même pour la partie variable de la force centrifuge et, par suite, pour les variations de la pesanteur elle-môme. D'autre part, les coordonnées x,/, z sont de très-petites fractions du rayon terrestre, et la vitesse de rotation de la terre est une très-petite quantité,
savoir ^,. ... ou -= — r* quand on prend la seconde Je 86104 13713 ^ ^
temps solaire moyen pour unité de temps. Nous pouvons donc négliger les variations de la pesanteur, pourvu que dans les calculs ultérieurs nous n^ligions pareillement les termes en w*a:, w*/, w'z.
D'après cela, les équations (i) deviennent les suivantes (*) :
ei^x . dy
^.,sinX-=zo,
/ V I ^"^X . , dx dz
(2) ( -5^ - ^« sin. — - oweosX di"^'''
d'z , dr
\ dt^ dt ^
Il serait facile de les intégrer rigoureusement, puisqu'elle^ sont linéaires à coefficients constants-, mais il faut négifc
{*) Ces équations ont été données par Poisson (Journal de VÉ^:^, Poly technique f XXVl*" Cahier, p. ai). Il y ajoute un terme qui représ^t; la résistance de 1*air.
DYlVA.liTQUE. ^43
ger les produits w'x, w* 7^, w'z, comme nous Pavons fait en négligeant les variations de la pesanteur.
Appelant a, i, c les composantes de la vitesse initiale, on obtient, par une première intégration,
dx
(3) — fl -+- 2wsin)i.j z= o,
(4) . ~7 ^ — 2wsin>..x — 2wcos>,2 = o,
(5) 1: -+- a w cos> ,x — gt = o.
Si Ton porte dans la seconde équation (a) les valeurs
dx fiz,
de — et de — données par les équations (3) et (5), il vient, au degré d'approximation voulu,
-7=^ — 2oi>(asinX -hccosX) — 7.tàiCOs\.gt=:o;
d'où
j' ^= bt -h oi {a sin> -+- rcosX) /' -f- ^ f» cosl. gt\
ï^^iiant aux équations (3) et (5), on doit y poser j^ = i/, puisque y n'y figure que multiplié par o)^ alors elles ont pour intégrales
ar:z=zat — u sin A . bt\
et -h ( - ^ — w cos> . ^ ) f.
Examinons quelques cas particuliers.
I® Si le corps tombe sans vitesse initiale , on a
x = o, j=^«cos>.^/S z=^gt'.
Les deux premières valeurs montrent que la déviation lieu vers l'est, et la dernière, que fa durée de la chute
244 MÉCANIQUE UATIOMNELLE.
verticale n'est pas altérée par la rotation de la terre M. Reich a constaté Texactitude de la formule de déviation par plusieurs expériences faites dans un puits d .
mines, à Freyberg.
La trajectoire est une parabole cubique, représentas par Téquation
>cos>. .z '•
2** Si le corps est lancé verticalement de bas en hc avec la vitesse s^^y on a
.rz=:o, y^= — wi'flCosX.r' -+- - wcosX.^/*,
La dernière valeur montre que le mouvement vertic est encore celui qui aurait lieu si la terre ne tourne
pas. Le mobile s'élève à la hauteur z, = --> pendant
temps ^ S puis redescend dans le même temps à hauteur du point de départ; en sorte que la durée c
