f2gZ
mouvement esl-^- — —- Il en résulte, d'après Texprcï
sion de jr, que la déviation finale au bout de la chia est
cosX.z,
Cette déviation a lieu vers r ouest; elle est égale nur^ — ^ nquement à quatre fois la déviation qui est due à la //-«^sw teur z, quand le corps tombe sans vitesse initiale,
i^ Enfin, si Von suppose que le corps soit lancé ^^^fpendiculairement au méridien avec la vitesse v^^ dans
une direction inclinée rie l'angle a sur V horizontale qui s 'aisance vers l'est, on a
/? = o, b:=^9^ cos a , r = — (^9 sin a.
Dans ce cas, z redevient nul, et le corps retombe sur le sol après un temps dont l'expression est, au degré <i' approximation voulu,
2c«sina
I H cos A . p, cosa I •
I^es coordonnées du point de chute sont, toujours au Oléine degré d'approximation.
j", = — 4^ sinli • — cos a sin' a ,
r, = -i sin2a -f- î oacosX- -4 sina(3cos'a — sin^a).
Les termes qui dépendent de ci>, dans ces valeurs, mesurent la déviation due à la rotation de la terre. La valeur de Xi montre que le corps déifie vers le sud ou vers le ^ordj suii^ant que l'angle a. est aigu ou obtus, La valeur de j' montre que la portée est augmentée ou diminuée^ ^tiîvant que la difTérence 3 cos'a — sin' a est positive ou *ïégative, c'est-à-dire suiv'ant que Vinclinaison de la 'Vitesse initiale sur l^ horizon est inférieure ou supérieure à 6o degrés.
Si le point de départ était situé dans Fhémisphère austral, les formules resteraient les mêmes, mais X serait négatif.
4. Déterminer les petits mouvements apparents du pendule simple à la surface de la terre ^ en tenant compte du mouyemcnt de la terre (pendule de M. Foucault).
Comme au problème précédent, nous n'avons à nous
q46 MéCANIQUE mATIONNELLB.
occuper qae de la rotation de la terre autonr de la li: des pôles supposée fixe.
Soient / la longueur du pendule, R la tension du Plaçons Toriginc des axes mobiles au point de susp sion, et conservons d^ailleurs la notation du problj précédent.
Les équations du mouvement seront encore les éq tions (i) (p. 241), dans lesquelles X, Y, Z représeï ront les composantes de l'attraction terrestre et de la 1 sion du (il. A ces équations il faudra joindre la relatic
De même que dans le problème précédent, nous né gérons les termes en w'x, c«)*j^, w'z; alors les forces Y, Z se réduiront aux valeurs suivantes :
et les équations du mouvement seront
--- -f- 2.W sm A — - H- R - =: o, dr dt l
, K ] ^^y . .dx > ^« « r
(i) < —r- 2wsm^-; 20* cos> -7- -f- R^ = o,
^ ^ \ di^ di dt t *
Nous allons intégrer ces équations, en supposant T plitude des oscillations très-petite. Nous pourrons m ger les secondes puissances des coordonnées x^ jr e leurs dérivées vis-à-vis de l] alors z se réduira à la ] gueur même du pendule, /, et nous n'aurons plus à < dîer que le mouvement de la projection du point pe sur le plan horizontal XOY.
Dans cette hypothèse, la troisième équation devient
^wcosX -7- H- R — g=^o.
fie **
Tirons d'ici la valeur de la tension pour la reporter dans
dz dt
les deux premières équations (1), où le terme en -j- a dis-
paru, et posons, pour abréger,
— w sin X =: r,
en lorte que r soit la composante de la rotation de la terre suivant la direction de la pesanteur au point de suspension. Il vient
/ //'x dr X
fa) \
d^ V dx Y
dr de ^ l
l^ellessont les équations qui déterminent le mouvement ''u pendule en projection horizontale.
?fous rapporterons le mouvement du point à des axes C^^, Or;, dont Torigine est au point de départ, et qui ^^lirnent autour de la verticale Oz en sens contraire de ■^ terre avec la même vitesse, c'est-à-dire avec la vitesse "■"--r. L'axe O» sera dirigé vers Test quand Taxe 0| sera dirigé vers le nord, et Tinclinaison initiale de l'axe OÇ ^^r l'axe OX, comptée positive de Test à l'ouest à partir ^^OX, sera représentée par c.
Les formules de transformation seront
x=z icos(re -h «) -hï)sin(r/-h c), X ^^ — Çsin(r/ -+- i) -f-ï)C08(/Tf H- «).
Substituant ces valeurs dans les équations (a), et négli-
a48 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
géant r*|, r"», il vient
Ces équations se réduisent à celles-ci :
On s'en assure en ajoutant les carrés.
Elles ont pour intégrales générales
? = Acos(^Y/^r)-f.Bsin(y/f/y
ri = X'cos(i/fi\ -^B'sinU/^tjy
A, B, A', ly désignant des constantes arbitraires.
Si Von suppose le pendule abandonné sans vitesse i tiale, après qu^on Ta écarté de la verticale dans la dii tion de Taxe OH, et que Ton nomme a la valeur init de Ç, on a, pour V époque i = o,
5 = «> >î=o, rfÇ dn
par suite, les intégrales deviennent
La courbe décrite sur le plan horizontal entraîné t les axes mobiles est une ellipse^ représentée par Vé(^ tion
ii'r* — S
Cette ellipse est extrêmement allongée, puisque le rapport des axes, — r i/ - ou bien o) sîn ^ t/ - > est de inême ordre de grandeur que la vitesse de rotation de la terre. JLc point pesant emploie le temps a t: i/ - pour décrire
l'*ciUpse entière y il la parcourt dans le sens de la rotatian de la terre estimée autour de la verticale, et son ano-
malie excentrique i/f^ croit proportionnellement au
temps. Pendant ce temps t ellipse se déplace elle-même, en. tournant en sens contraire, auec une vitesse égale et opposée à la vitesse angulaire de la terre estimée autour de la verticale.
J. BiHET, Comptes rendus de VAcad. des Se. de Paris, t. XXXII, i85i, I" sem., p. 197.
5. Un solide homogène de réi^olution tourne autour de son axe dejigure^ son centre de granité est fixé à la surface de la terre ^ son axe de figure est astreint à ne p€Ms sortir d^un plan déterminé, qui est aussi fixe sur la ^^rre, mais il a la liberté de tourner dans ce plan direc^ ^^ar. Déterminer les mouvements que Vaxe du corps ^^océcute, lorsque le centre de grav^ité et le plan directeur ^^>nt emportés dans le mouvement de la terre.
Ce système est réalisé par le gyroscope de M. Fou- ^^oll dans Tune des dispositions de T appareil.
Nous avons uniquement en vue de déterminer le mou-
^^ ornent apparent du corps autour de son centre de gra-
^^ îté, lequel est fixé à la surface de la terre. Or on sait que
^^^ mouvement n'est point altéré par une translation quel-
^^CDnque du centre de gravité. Nous pourrons donc faire
^Complètement abstraction de la translation du centre de
gravité, considérer ce point comme situé au centre de la
^erre, et regarder le centre de la terre comme fixe.
aSo MÉCANIQUE RATIOUIIELLB.
Dès lors, le mouvement apparent du corps autour d*a» menés par son centre de gravité, et entraînés dans la rotj tion de la terre, sera donné par les équations générait du mouvement absolu d'un corps solide retenu par q point fixe (p. 173)^ dans lesquelles on remplacera l forces motrices par les forces d'entraînement changé de sens^ et par les forces centrifuges composées. Il faudj de plus avoir égard à la liaison qui assujettit Taxe i figure à rester dans le plan directeur.
Or les forces d'entraînement se réduisent au couple qi serait capable de maintenir le corps, supposé libre, dai une rotation égale à celle de la terre. Nous sommes doi conduits à cette question incidente :
Déterminer le couple accélérateur nécessaire poi maintenir un solide de résolution dans une rotatic uniforme, autour d'un axe fixe qui passe au cent de gravité^ et fait un angle constant 0 av^ec Vaxe c réifolution .
Reprenons les équations générales de la rotation d corps (p. 173), dans lesquelles nous ferons B = A, nous supposerons constantes les quantités 9, w, r et, pj suite, p' -H q*. Ces équations deviennent
smôsinç— i- =p, ^ de '^
(2) ^ smGcos^-^—y,
d^ d9 dt dt
DYHàMIQUE. 25 1
Ajoulant les carrés des deux premières équations (2), il vient
sm^ô --^ =p* -^q^^ const.;
et cette relation, combinée avec la troisième équation ( 2 ), donne
-^ =zr — cotô.\//?' H- 7' = const.
Par conséquent, -r- et -r sont des constantes. ^ ^ fit dt
Différencions maintenant les deux premières équations (2). Nous obtenons
^ = q-l=qr — COtô.y \/p' -h q\ -1= — p-1 =^ pr-^ COi^.p sjp^ H- q' .
Reportant ces valeurs dans les équations (i), il vient
^ représente ici le moment du couple accélérateur ca- P^l>le d'entretenir un mouvement semblable à celui d'un ^^He droit, décrit autour de l'axe de révolution du solide ^^i^sidéré, qui roulerait sans glisser sur la surface d'un ^^tre cône droit, de même sommet, et dont l'axe ferait, ^Vec celui du premier cône, un angle égal à B {*).
Supposons que le cône fixe se réduise à une droite, ce
( * ) M. Poioftot est arrivé au même résultat d'une manière difierenle, ^^ns la Théorie des cônes circulaires roulants {Journal de M. Liouville, ^- XVni, p. 41; i853).
24^ MÉCAMIQUE mATIOUNELLE.
Les forces X, Y, Z, nous Tavons dit, se réduisent à l pesanteur. Dans la question présente, nous pouvons, san eueur sensible, supposer cette force constante en gran deur et en direction pendant toute la durée du mouve ment. En effet, on démontre en Mécanique céleste qu la partie variable de Tattraction terrestre se compose d termes contenant en facteurs les produits w'x, ci)*j^, a)*x ou des puissances de co' supérieures à la première; il ei est évidemment de même pour la partie variable de h force centrifuge et, par suite, pour les variations de la pesanteur elle-même. D'autre part, les coordonnées x^y, z sont de très-petites fractions du rayon terrestre, et la vitesse de rotation de la terre est une très-petite quantité.
savoir ^75-757 ou -= — ri quand on prend la seconde Je
temps solaire moyen pour unité de temps. Nous pou von: donc négliger les variations de la pesanteur, pourvu qa( dans les calculs ultérieurs nous négligions pareillemem les termes en w'x, w'^, w'z.
D'après cela, les équations (i) deviennent les suivantes (*) :
d'^ . , dr
— ^.o>sinX-=zo,
/ . / d^y . , dx ^ dz
(2; [ __.2«sm. — ~2«C0SX-^z=:0,
d'z , dy
dt* de ^
Il serait facile de les intégrer rigoureusement, puisqu*elle' sont linéaires k coefficients constants*, mais il faut négl-
(*) Ces équations ont été données par Poisson {Journal de l'Êc^ Poixtrchnit/uef XX VI' Cahier, p. 21). Il y ajoute un terme qui rcprése ^ la résistance de Tair.
ger les produits ci>'x, ot>'^, (o'z, comme nous l'avons fait en négligeant les variations de la pesanteur.
Appelant a, &, c les composantes de la vitesse initiale, OD obtient, par une première intégration,
(3) fl -h ?.«sin>.j=r o,
(4) , -T b — 2(k>sin>.x — 2wcos>.z = o,
f5) -j c -+- ?.ù>cos>.j — gt-^o.
Si ToD porte dans la seconde équation (2) les valeurs de — et de — données par les équations (3) et (5), il vient, au degré d'approximation voulu,
--=^ — 2 w(asinX -f-ccosX) — awcosX.^f = 0;
d'où
r ^= be -h (>> {a sinX H- ccosX) f ' -f- x wcosX,^/\
C^uant aux équations (3) et (5), on doit y j)oser y = i/, puisque y n'y figure que multiplié par co-, alors elles ont pour intégrales
xT=zat — &> sin A . bt^y
\=zct -^ [-g — 6> cosX . ^ j f'.
Examinons quelques cas particuliers.
*° Si le corps tombe sans vitesse initiale^ on a
x=o, 7==-»cosX.^r% 2i=-^r».
Les deux premières valeurs montrent que la déviation ^ lieu vers l'est, et la dernière, que /a durée de la chute
a44 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
verticale n'est pas altérée par la rotation de la terre M. Reicli a constaté Texaciitude de la formule de déviation par plusieurs expériences faites dans un puits d^ mines, à Freyberg.
La trajectoire est une parabole cubique, représenta par Téquation
2° Si le corps est lancé verticalement de bas en hc^ ai^ec la vitesse i^o? oii a
.rrrrO, y z= — WC» COS> .r' H- - w COSX.^/*,
z=z — v,e-h^gt\
La dernière valeur montre que le moui^ement veniez est encore celui qui aurait lieu si la terre ne tourn^:^
pas. Le mobile s'élève à la hauteur z, =--> pendant
temps ^ '» puis redescend dans le même temps à
l'2-gZx
hauteur du point de départ; en sorte que la durée C^ mouvement est -^^ — —* Il en résulte, d'après Texpre. -
sion de ^, que la déviation finale au bout de la chu "^ est
