COS
Cette déviation a lieu vers V ouest ^ elle est égale nur^^ riquement à quatre fois la déviation qui est due à la lia^ teur Zx quand le corps tombe sans vitesse initiale,
Z^ Enfin, si Von suppose que le corps soit lancé f^^ pendiculairement au méridien avec la vitesse v^^ rt^»-
iMJie direction inclinée de Vangle a sur l'horizontale qui •^ 'aisance vers l'est, on a
/? = o, ^ = p,cosa, rr= — Posina.
Dans ce cas, z redevient nul, et le corps retombe sur le sol après un temps dont l'expression est, au degré ^l'approximation voulu,
2«'oSina / 2« ^ \
I H cos A . p, cosa 1 •
Les coordonnées du point de chute sont, toujours au «nème degré d'approximation,
x, =rz — 4 *> sinl • — cos a sin* a ,
r, = — sin2a H- TT wcos>--4 sina (3cos'a — sin^a). g ^ g'
Les termes qui dépendent de ci>, dans ces valeurs, mesurent la déviation due à la rotation de la terre. La valeur de Xi montre que le corps déifie vers le sud ou vers le ^<ird, suii^ant que l'angle a est aigu ou obtus, La valeur de j^ montre que la portée est augmentée ou diminuée, suivant que la difTérence 3 cos' a — sin'a est positive ou uégative, c'est-à-dire suii*ant que V inclinaison de la 'Vitesse initiale sur l^ horizon est inférieure ou supérieure A 60 degrés.
Si le point de départ était situé dans l'hémisphère austral, les formules resteraient les mêmes, mais X serait négatif.
4. Déterminer les petits mouvements apparents du pendule simple à la surface de la terre ^ en tenant oampte du moui^ement de la terre (pendule de M. Foucault).
Conune au problème précédent, nous n'avons à nous
q46 mécanique rationnelle.
occuper qae de la rotation de la terre autonr de la ligni
des pôles supposée fixe.
Soient / la longueur du pendule, R la tension du Gl Plaçons Toriginc des axes mobiles au point de suspen sion, et conservons d'ailleurs la notation du problèm précédent.
Les équations du uiouvement seront encore les équa tions (i) (p. 241), dans lesquelles X, Y, Z représente^ ront les composantes de l'attraction terrestre et de la ten sion du (il. A ces équations il faudra joindre la relation
x^ -h X' -^z^=z IK
De même que dans le problème précédent, nous n^li gérons les termes en w'x, od*j^, c«)*z; alors les forces X Y, Z se réduiront aux valeurs suivantes :
et les équations du mouvement seront
-r— -h 2.« sin A -7- H- R -7 = o, i dr dt l
/ » 1 d^y . ^ dx ^ dz ^ Y
il) { —^ 2WSIDA— 2W COS> ~ H- R^ =r O,
^ * \ dO dt dt l '
I d^z ^ dr ^ z
Nous allons intégrer ces équations, en supposant Tai. plitude des oscillations très-petite. Nous pourrons né^ ger les secondes puissances des coordonnées x, ^ et leurs dérivées vis-à-vis de l] alors z se réduira à la lo gueur même du pendule, /, et nous n'aurons plus à et dier que le mouvement de la projection du point pes£ sur le plan horizontal XOY.
DYNAMIQUE. a47
Dans cette hypothèse, la troisième équation devient
îwcosX -^ -h R — g = o.
de **
Tirons d^ici la valeur de la tension pour la reporter dans les deux premières équations (i), où le terme en -j- a disparu, et posons, pour abréger,
— w sin X 1= r,
^n sorte que r soit la composante de la rotation de la terre suivant la direction de la pesanteur au point de suspension. II vient
d'^ y dx Y
dt^ dt ^ l
belles sont les équations qui déterminent le mouvement ^^ pendule en projection horizontale.
Nous rapporterons le mouvement du point k des axes ^^, Oyî, dont Torigine est au point de départ, et qui tournent autour de la verticale Oz en sens contraire de '^ terre avec la même vitesse, c'est-à-dire avec la vitesse '^ r. L^axe O» sera dirigé vers Test quand l'axe 0| sera dirigé vers le nord, et l'inclinaison initiale de l'axe OÇ ^^r Taxe OX, comptée positive de Test à l'ouest à partir ^^OX, sera représentée par e.
Les formules de transformation seront
X =: Ç cos(rr H- e) -4- ï) sin(rt -+- c), X = — -Çsin(r/ H- c) H- ncos(n -h g).
Substituant ces valeurs dans les équations (a), et négli*
248 MécANIQUE RATIONNELLE.
géant r*Ç, r'yj, il vient
(]es équations se réduisent à celles-ci :
di' ^ i ' dO ^ l
On s'en assure en ajoutant les carrés.
Elles ont pour intégrales générales
?::=Acos(^y/^/)4-Bsin(y/f:/)>
„=zA'cosfi/|r) -4-B'sinfi/5A,
A, B, A', \y désignant des constantes arbitraires.
Si Ton suppose le pendule abandonné sans vitesse îni -^" liale, après qu'on Ta écarté de la verticale dans la direc ^^^" tîon de Taxe OH, et que l'on nomme a la valeur initiaK »**^ de g, on a, pour T époque i = o,
Ç — fl, >j— o, rfÇ dn
par suite, les intégrales deviennent
La courbe décrite sur le plan horizon tal entraîné as^ ^^c les axes mobiles est une ellipse^ représentée par Véqi^^otion
Hte ellipse est extrêmement allongée^ puisque le rap-
des axes, — ri /-ou bien wsînXi/-» est de même
' V ^ Vf
e de grandeur que la vitesse de rotation de la terre.
wint pesant emploie le temps a t: i/ — pour décrire
ipse entière^ il la parcourt dans le sens de la rotade la terre estimée autour de la verticale, et son ano-
« excentrique i/f^ crott proportionnellement au
7S. Pendant ce temps F ellipse se déplace elle-même, tournant en sens contraire, av^ec une vitesse égale et jsée à la vitesse angulaire de la terre estimée autour a ^verticale.
J. BiHET, Comptes rendus de VAcad. des Se. de Paris^ t. XXXII, i85i, i*"^ sem., p. 197.
. Un solide homogène de rév^olution tourne autour on axe défigure y son centre de gravité est fixé à la "ace de la terre ^ son axe défigure est astreint à ne sortir d^un plan déterminé, qui est aussi fixe sur la e, mais il a la liberté de tourner dans ce plan direc^ \ Déterminer les mouv^ements que Vaxe du corps cute, lorsque le centre de gratuité et le plan directeur t emportés dans le moui^ement de la terre,
le système est réalisé par le gyroscope de M. Fouit dans Tune des dispositions de T appareil. Tous avons uniquement en vue de déterminer le moulent apparent du corps autour de son centre de gra- I, lequel est fixé à la surface de la terre. Or on sait que aouvement n'est point altéré par une translation quelque du centre de gravité. Nous pourrons donc faire aplétement abstraction de la translation du centre de vite, considérer ce point comme situé au centre de la re, et regarder le centre de la terre comme fixe.
a5o MÉCANIQUE RATIOlfliBLLB.
Dès lors, le mouvement apparent du corps autour d*axe menés par son centre de gravite, et entraînés dans la rota tîon de la terre, sera donné par les équations générale du mouvement absolu d'un corps solide retenu par ui point fixe (p. 173)^ dans lesquelles on remplacera le forces motrices par les forces d'entraînement changée de sens> et par les forces centrifuges composées. Il faudr de plus avoir égard à la liaison qui assujettit Taxe d figure à rester dans le plan directeur.
Or les forces d'entraînement se réduisent au couple qc serait capable de maintenir le corps, supposé libre, dan une rotation égale à celle de la terre. Nous sommes don conduits à cette question incidente :
Déterminer le couple accélérateur nécessaire pou maintenir un solide de rév^olution dans une rotatio uniforme y autour d^un axe fixe qui passe au centr de grauité^ et fait un angle constant 6 avec Vaxe d révolution .
Reprenons les équations générales de la rotation de corps (p. 173), dans lesquelles nous ferons B = A, c nous supposerons constantes les quantités Q, &>, r et, pa suite, p* -h(f*' Ces équations deviennent
(C-A)gr =
(A-^C)rp =
sin 9 sin ^
smBcosf-^=:q,
cosO-^ di
dff
di
Ajoutant les carrés des deux premières équatious (2), il vient
sm'O -^ z=zp^ -^q^zzz const.;
et cette relation, combinée avec la troisième équalion ( 2 ],
donne
dff I
-^ =z r — cet G . v/?' -f- ^' = const.
Par conséquent, -^ et •— sont des constantes.
Différentions maintenant les deux premières équations (3). Nous obtenons
dp d o /
^ = 7 ^ = ^r - cotO.y V>' -h q\
^^ = -^ p -£ == - pr-h coiQ.p ^^^'^K
Reportant ces valeurs dans les équations (1), il vient
r:= = Cr — AcotO.VP» -h ûr'= ^ =
'^ représente ici le moment du couple accélérateur ca* P^le d'entretenir un mouvement semblable à celui d'un ^Oe droit, décrit autour de Taxe de révolution du solide ^i^sidéré, qui roulerait sans glisser sur la surface d'un ^^trecône droit, de même sommet, et dont Taxe ferait, *^^c celui du premier cône, un angle égal à 0 (*).
Supposons que le cône fixe se réduise k une droite, ce
C "* ) M. Poinsot est arrivé au même résultat d'une manière diflerente, ****** la Théorie des cônes circulaires roulants (Journal de M. Liouville^ ^' XVIII, p. 41; i853).
25a MÉCAfllQVE RÀTIONlfELLE.
qui est le cas de notre problème. Alors il vient, par la composition des rotations,
r=»cosO, ^p^ -h 9» =: « sinG,
el, par conséquent, le couple des forces d'entraînement a pour moment la quantité
K=z(C — A)«»sînOcosô.
Cette valeur est du même ordre de grandeur que w*. Or oi), qui représente ici la vitesse de rotation de la terre, est une très-petite fraction. Nous négligerons son carré. A ce degré d'approximation, les forces d'entrainenient disparaissent; par suite, la somme des forces vives est constante dans le mouvement apparent.
Ceci posé, nommons toujours oi) la vitesse de rotation de la terre autour de l'axe qui se dirige vers le pôle boréal, et considérons comme positives les rotations qn s'effectuent de droite à gauche.
Soient OX, OY, OZ les axes entraînés dans la rotation de la terre. L'axe des x sera la projection sur le plar directeur d'une parallèle à la partie de Taxe terrestre qu se dirige vers le pôle boréal 5 l'axe àesj sera situé dans 1< plan directeur et dirigé vers l'est -, l'axe des z sera la per pendiculaire au plan directeur, pour laquelle la rotatioi de OX vers OY est positive : cette perpendiculaire es celle qui, lorsque le système est à la surface de la terre se trouve par rapport au plan directeur du côté du centn de la terre. Soient encore OXj, OY,, OZi des axes coor donnés liés Invariablement au corps, dirigés suivant le axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité OZj sera dirigé suivant l'axe de révolution 5 OYi, OX seront disposés de manière que la rotation de OXt ver OY, soit directe pour un observateur couché sur Taxe OZi les pieds au point O.
DYNAMIQUE. a53
Nommons :
(a, i, c), (a, b\c') et (a!\b'\d') les cosinus des angles que forment respectivement les axes OX, OY et 0ZavecOX,,OY,,OZ, ;
^, q^ r les composantes de la vitesse de rotation apparente autour des axes OXj, OY,, OZ, ;
Pli ^M ''i '^s composantes de la vitesse de rotation de la terre autour des mêmes axes ;
ON celle des deux directions opposées de la trace du plan XiOYi sur le plan XOY, pour laquelle la rotation ({ui amène OZ sur OZ,, en lui faisant décrire un angle de 90 degrés, est positive;
oetip les angles que la trace ON fait avec les axes OX, et OX, ces angles étant comptés positifs de droite à gauche, le premier à partir de la trace, le second à partir de 0X5
C le moment d'inertie du corps autour de son axe de fignre; A le moment d'inertie du corps autour des deux axes
