X.,OY
l l'angle que la direction du pôle boréal fait avec Taxe OZ.
L'équation des forces vives sera
A (p^ -h 7') -h Cr^ = const.
Si nous nommons N la somme des moments des forces centrifuges composées autour de Taxe de révolution, nous aurons, d'après les formules d'Euler (p. 178),
Ces denx équations suffiront pour déterminer le mouveincnt, quand /?, 7 et N seront exprimés en fonction de r
a54 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
et de ip; car, d'après les relations (a), où Ton doit fai r«
fl := -> on a ç = I rrff ; et d'ailleurs il est évident que ^^
deux variables f et (p suffisent pour fixer la position ^z^i corps.
Les relations (a) donnent, en faisant 6 = -»
en sorte que Téqualion des forces vives devient
(3) A -^ -+- Cr» = const.
Il reste à calculer la somme de moments désignée pa r A*. Ne considérant d'abord qu'une seule molécule (xi,j^i , .^==1), on trouve, pour expression du moment de la force ccr^ntrifuge composée qui la sollicite,
/ é/z, d.T^\ [ djr, dzA
"*' [p^ li-''^)- "•^' ['' -ai - 'l' Â j '
ou, si l'on remplace -^9 -~ » -7^ par leurs valeurs,
— '^y\r,{r X, — pz,) — q,{py,'~qx,)\
Pour obtenir la somme N, il faut multiplier Texpressi ^^" • précédente par Télément de masse, et intégrer entre M^^ limites du corps. Cette intégrale se réduit au binôme
d^ ^(P^i — qpt) = C-^(qxSinf-'p^cos^).
Or, si l'on nomme ^', q\ / les composantes de la vites^^^
DYNAMIQUE. a55
le rotation de la terre saivant les axesOX, OY, OZ, on a
p' =tasïn\f 9'=ro, r'=»cos>, Pt =:ap' -ha'q' -^a^r' = ta (sïïïkcosfcos'^ -hcosX sinf ), y, = 6//-h b'q' -f- b"r' =«( — sinXsinf cos^ -I- cosXcosy);
a r conséquent,
ilr d-^
N ou C-r=^ — C»sinXcos\p--^»
dt ^ iU
t en intégrant,
î- ) r + b) sin > sin 4^ = const.
'die est Téquation qui déterminera le mouvement, con- >intemeiit avec celle des forces vives.
Remplaçons Tangle ^ par l'angle li = i{/ 9 que Taxe
e révolution OZi fait avec la projection de Taxe terrestre sur le plan directeur, et nommons p, u, J3 les valeurs
cftitiales de r, a, — • Les équations (3) et (4) pourront
'écrire
(du} \ __p.j + C(r'-p.) = o.
r — p + «» sinX (cosa — cosw) = o,
^ dernière montre que la vitesse de rotation apparente lu corps autour de son axe de figure, et la composante suivant le même axe de la vitesse de rotation de la terre, Tontune somme qui reste constante pendant toute la durée du mouvement.
On tire de ces équations, en éliminant /' et négligeant le terme en co*, lequel est indépendant de p,
--— — 6» =r 2 - p« smX (costt — cosu ). «1' A
^tte équation est celle d'un pendule simple, de Ion-
d56 MÉCANIQUE RATIOJNHBLLE.
gueur égale à l'unité, dont rextrémité serait fi
centre de gravité du corps, et qui serait sollicité p
force égale à - pot>sinX, dirigée dans le plan directe
vant la projection de la droite qui va au pôle 1 L'angle u représente Tangle que la direction du p fait avec celle de la force 5 et la force elle-même es ti ve ou négative suivant que p est positif ou néga demi^axe de réi^olution du corps, OZi, oscillera d ta même manière que ce pendule.
Plaçons le plan directeur dans une position hc taie. La position moyenne autour de laquelle o^ Vaxe de résolution sera la méridienne du L'eu, position et la direction connue de la verticale no termineront le plan méridien. Plaçons alors le p recteur dans le méridien. La position moyenne di de révolution^ dans ses oscillations successiveSy dera ai^ec la ligne des pôles ; le demi-axe sur fc^ observateur doit être placé pour voir la rotation . tuer de droite à gauche dans le plan équatorial '. sera dirigé vers le pôle boréal. En effet, la p moyenne du pendule répond à un état d'équilibre par conséquent la somme des forces vives est un mum dans cette position. Or on voit que le maxim forces vives répond à u=oouu = 7r, suivant qu positif ou négatif.
Conservons le plan directeur en coïncidence plan méridien, et faisons en sorte que les oscillai l'axe soient très-petites. La durée de ces oscilla tic
V cr>«
Cette durée nous fera connattj'e la vitesse de rota
DYNAMIQUE. aSj
la terre^ car on lire de la formule précédenle
Tous ces résultats intéressants se vérifient à Taide du gyroscope àe. M. Foucault.
On peut encore faire plusieurs autres remai*ques qui ne sont point sans intérêt. Ainsi, Vaxe du corps se dirige SMiivant la ligne des pôles ^ toutes les fois que le plan rfirecteur est parallèle à celte ligne.
Si Von compare les carrés des nombres de petites os^ dilations accomplies pendant un même temps y dans le plan horizontal et dans le plan méridien, pour une wnëtne "vitesse initiale de rotation^ leur rapport donne le €^osinus de la latitude du lieu de l'observation.
Lorsque le plan directeur est parallèle à Véquateur :terrestre^ Vaxe du corps tourne d'un mous^ement uniforme dans le plan directeur, comme si la terre ne tourinait pas.
Cette question et plusieurs autres du même genre sont discutées en détail dans un Mémoire de M. Quet, inséré au Jfoumal de M, Lioui^ille, t. XVIII, p. 21 3 ; i853.
6. Déterminer le moui^ement d'un point pesant, assujetti à rester sur une droite qui tourna ai^cc une vitesse uniforme autour d'un axe vertical, non situé dans le même plan.
L'équation des forces vives (B) suffit pour résoudre cette question^ ainsi que toutes celles où il s'agit du mouvement d'un système dont la position est défîuie par une seule variable.
Soient co la vitesse de rotation de la droite, et a Tangle ^e cette droite avec la verticale.
Prenons Taxe de rotation dirigé de bas en haut pour axe àe$Z\ et la perpendiculaire commune à cet axe et h la ligne
