Déterminer le moui^ement du régulateur à Jorce
centrifuge de Watt^ en admettant que la masse des tiges soit négligeah le vis-à'Vis de celle des boules.
Si Ton nomme / la longueur de chaque tige AB, 0) la vitesse angulaire du plan vertical de^ tiges, a Tinclinaison des*»
tiges sur la verticale, ec of^ la valeur initiale de a, on trouve Téquation
dt~
\/(cosa — cosao)['Xg' — /»'(cosa -+- cosa,)]
DYNAMIQUE. uSg
Il est aisé de voir que le régulateur est en équilibre «]uand la distance des boules R au-<lessous du plan horizontal qui passe par le sommet A, c'est-à-dire /cosa, est
«gale à ^•
M. Mabistre (*) a donné le calcul complet du régulateur a force centrifuge, en tenant compte du poids des tiges.
8. Dans l^ intérieur d'un cylindre creux, perpendi^ culaire au méridien y et qui n'exerce aucun frottement^ on fait osciller un point pesant ^ en V abandonnant sur la paroi inclinée, La rotation de la terre fait que le point pesant ne reste pas constamment sur la même section droite; il s^a\^ance lentement vers l'est. On propose de déterminer le moui^ement du points en négligeant le produit du carré de la vitesse angulaire de la terre par le rayon du cylindre.
Soient :
« la vitesse de rotation de la terre;
X la latitude du lieu que nous supposons boréale^
/ la longueur du pendule \
R la réaction normale de la surface sur le point;
^9 Xj^ I^s coordonnées du point mobile par rapport à des axes dont l'origine est au centre de la section droite da cylindre sur laquelle commence le mouvement. Le premier est horizontal et dirigé vers le nord, le second est horizontal et dirigé vers Test, le troisième est dirigé d«D8 le sens de la pesanteur.
V ) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de Paris, • ^Lllj 1846, i**" semestroy p. 387. — Cours de Mécanique appliquée, "" '*Ç0l..
a6o MÉCANIQUE AATlOKHfiLLE.
On arrive facilemeul auxéquatious
+ ,«s.nX--f.R-::.o,
Ht
— '?.(ù[ sinx h cos^ — 1 -- o,
d'Z djr
-rz h V. W COS A --
dt^ cU
t- 'j. w cos> Y- -h R j — g
qui sont analogues aux équalions ( a) du problème 3. EJle s% soDl équivalentes, au degré d'approximation voulu, avec* les équations
dH ^ z -— -h R dt^ l
dy
( I ) -f^ — : 'A w ( j: sio > -+- z cos> ) -h const.
^ ^ fit ^ '
Les deux premières nous montrent que la projection du point mobile sur le méridien oscille comme un pendule simple, dont la longueur serait le rayon du cylindre, et dont le point de suspension serait immobile.
Si Ton nomme 9 Tangle que forme le rayon du cylindre mené au point mobile avec le plan vertical mené par , Taxe, et 9^ la valeur de 6 au commencement de Toscillation, la durée de Toscillation est, comme pour le pendule simple,
-Vif "•
V^cosO — cosO,
L'équalion (i) peut s'écrire
^ rr. 2W/[C0S (> — 9 ) — COS (X - 0,)].
DTHÀM IQUB. 26 1
Il s'ensuit qu'à la fin de la première oscillation on aura
cos(X — ô) — cos{X — 9.) ^^ . = rtO.
V ces ô — CCS©,
Après un nombre n d'oscîUaiions, r sera n fois plus grand. Celte conclusion, loulefois, n'est sufGsamment exacte qu'autant que j^ reste de même ordre de grandeur que le rayon du cylindre; car dans les calculs nous avons négligé le produit (ù^f. Il ne faudrait donc pas l*étendre à un nombre d'oscillations très-considérable.
9. Trouver le moui^ement d\in point pesant sur un plan incliné j qui n'exerce aucun Jrottement^ en tenant compte du moui^emcnt de la terre.
Soient 0) la vitesse de rotation de la terre; B l'incli- ^ naison du plan à Thorizon ; f Tangle que la perpendiculaire élevée au-dessus du plan fait avec une parallèle à Taxe du monde.
On prendra Torigine des coordonnées au point de départ; l'axe des x sera la projection de la verticale inférieure sur le plan donné; Taxe Aesj sera l'horizontale du plan, située à l'est du méridien.
Si l'on se souvient des remarques faites au commencement du problème 3, et si Ton observe qu'il faut faire dans les formules (A), p. 235.
Z:= Q et rr^ (Mi COSf ^
on trouve de suite les équations du problème,
d^x dr
■^=.2«cos(p — -f-g^sinO,
rf'r dx
de ^ dt
'^s ont pour intégrales, en nommant n et 6 les compo-
a6a MÉCANIQUE RATIONNELLE.
santés de la vitesse initiale suivant les axes des x et desj,
ft sin 0 , . î - . . . ,,
JT ". , (i —COS. a/-/) H [asin.arf H- b{\ — cos.arf)],
rr:: — 2-- {2r/ — siQ.!irr]H iDsin.arf — «(i — cos.arfjj.
i" Lorsque le plan est honzontal,
fl' -h b^
c'est-à-dire que le mobile décrit un cercle dont le rayon est
?.&>cosçp 2&>sinX
i/^ étant la vitesse initiale et X la latitude. a° Lorsque le mobile part du repos ,
csinQ , .
X z ^ ( I — cos . 2rf ),
/r sinO , j.-r-^^ (2r/ — sin.arO;
il décrit une cycldidc dont le cercle générateur a pour rayon
g^ sin 0 4 w^ ces' y
Ce cercle roule sur Fhorizontale du plan qui passe à Torigiue, et se dirige vers Test ou vers Touest, suivant que l'angle y de la perpendiculaire élevée sur le plan avec Taxe du inonde est obtus ou aigu. Si Ton suppose que ce cercle roule avec une vitesse angulaire égale à 2 w cosQp, le point décrivant se meut exactement comme notre mobile. 3" Si le plan est parallèle à Taxe du monde ^ et que
dyuamique. a63
le mobile parte du repos, on trouve
.r r-^sine.r, y -0,
c'esl-à-dîre que le mobile descend sur la ligne de plus grande pente ^ comme si la terre ne tournait pas,
J. BouRGET, Influence de la rotation de la Terre sur le mouvement des corps.
10. Un système pesant^ suspendu à V extrémité d^un fi^* qui lui permet de tourner librement autour de la *verticale, se trouve à la surface de la terre dans un état de ''fi pas apparent; des ressorts intérieurs viennent à agir sur ce système, et changent le moment dUnertie autour de la verticale du point de suspension, sans altérer la 'nasse. Montrer que par l'effet de ce changement le système prendra une rotation apparente autour de la verticale, et déterminer la vitesse de cette rotation.
Si Ton nomme X la latitude du lieu, A lé moment d'inertie autour de la verticale dans l'état primitif, A' la nouvelle valeur de ce moment d*incrtic, o) la vitesse de roiatioQ de la terre et w' la vitesse de rotation apparente du système dans le sens de la rotation de la terre autour de la verticale, on trouve
w' r- — - — wsniX.
it I L'observation de la vitesse w' fera connaître la latitude
ec 1 du lieu.
et I PomsoT, Comptes rendus de r Académie des Sciences de Paris,
V I t. XXXII, i85i, i"sem., p. 2o(>.
:c64 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
