FORCES INSTANTANÉES
On nomme forces instantanées ou percussions cE ^s forces qui peuvent produire un effet considérable «^^n agissant pendant un temps inappréciable.
Lorsqu^on cherche à déterminer le mouvement d'i^^^" système de points soumis à des forces instantanées, c0^^^ peut, pendant l'instant de leur action, négliger l'actio -^^^ des forces continues qui sollicitent le système, parce qvL^"^ Teffet de ces dernières forces est incomparablement moia^^^T dre que celui des premières pendant ce court instant. 0^ peut encore supposer que le système reste immobile pen^ ^^.' dant Faction des forces instantanées; car, en réalité, i-^ ' ne se déplace que de quantités inappréciables. En un mol-^ ' on peut traiter la durée de l'action comme un înfinimen^^^^"' petit dans tous les calculs relatifs aux forces instantanéess^^^) et les calculs seront d'autant plus exacts que la durée à^E^e l'action sera plus petite.
D'après cela, soient :
m la masse d'un point du système;
X, Y, Z les composantes parallèles aux axes des forcrr^es instantanées qui lui sont appliquées, considérées comc~sae des forces continues ;
(—- ) sa vitesse avant l'action de ces forces ; dt j.
— sa vitesse après l'action de ces forces ;
t^ l'époque à laquelle l'action commence;
DT7IAXIQVE. 363
6 U durée très-courte de raction ]
ixy 9jr^ 3z les projections d'un déplacement virtuel oompatible avec les liaisons.
Si Ton applique le principe de d'Alemberl et celui des vitesses virtuelles au mouvement communiqué par les forces instantanées, on arrive, par une simple intégration, à Téquation générale
2|-H-"(i).-X"^'HvU-
dans laquelle le signe \* indique une somme relative à
tous les points du système.
Cette équation est semblable à celle qui représente K\ mouvement d'un système de points matéiiels sollicités par des forces continues, si ce n'est que les forces cflectives sont remplacées par les quantités de mouvement communiquées. Les vitesses communiquées se comportent donc, dans Teffet des forces instantanées, comme les accéléra tloDs dans reflet des forces continues. En particulier, lorsqu'une force instantanée agit sur un corps solide, la quantité de mouvement produite est celle qui serait communiquée, si toute la masse du corps était réunie au centre de gravité, et que la force fût appliquée sur ce poiut. C'est à cause de cette analogie que l'on prend pour mesure d'une force instantanée la quantité de mouvement qu'elle produirait en agissant sur un corps libre.
Quandon étudie le mouvement de deux corps solides qui viennent à se choquer, on peut déterminer, pour chaque
!k66 MÉCANIQUE RATIOMKIELLE.
corps, le mouvement communiqué au centre de gravité, ei les vitesses de rotation produites autour des axes principaux d'inertie relatifs à ce point. L'équation générale qu. résulte du principe de d'Âlembert combiné avec celui de vitesses virtuelles suffit pour celte détermination, quan< la force du choc est connue; car, jointe aux équations d liaisons, elle donne six équations distinctes pour chaqui corps, et le mouvement d'un corps solide dépend en effe de six variables : trois vitesses de translation et trois vi tèsses de rotation. Si Ton veut déterminer la force di choc en fonction des vitesses qui animent les corps im médiatement avant leur rencontre, il faut se procurer un nouvelle équation, en exprimant qu'à la fin de la pre mière période du choc, c*est*à-dire à l'instant où les corp cessent de se comprimer et commencent à reprendre leu forme première, la vitesse du point de contact, estimé suivant la normale commune aux deux surfaces, est 1 même, soit qu'on regarde ce point comme appartenan à l'un des corps, soit qu'on le considère comme apparte nant à l'autre.
1. Déterminer ta vitesse d'un projectile à l'aide d pendule balistique.
Le pendule balistique se compose d'une forte pièce d bois, suspendue par des tiges de fer à un axe horizonta autour duquel elle peut osciller librement. Le pendul étant en équilibre, on dirige horizontalement une bail sur la pièce de bois; la balle entre dans la pièce, s'y fii et communique au pendule des oscillations dont l'ampli tude est propre à faire connaître la vitesse de la balle l'instant du choc.
Considérons le pendule joint à la balle qui s'y est fixée
M la masse du système formé par les deux corps;
A le rayon de giration autour de Taxe de suspension ; (ù la vitesse angulaire à la fin du choc; b la hauteur dont le centre de gravité s*élève pendant f 21 première demi-oscillation ; m la masse de la balle;
V la vitesse qui Tanimait immédiatement avant le ^rlioc;
a la distance de Taxe à la direction de cette vitesse. La quantité de mouvement que possède la balle imrmédiatement avant le choc a, par rapport à Taxe de suspension, un moment égal à mai'. La quantité de mouvenient qui anime le système immédiatement après le choc a, par rapport au même axe, un moment égal à M A 'eu. des deux moments doivent être égaux; donc
mav —: MX-'ft>.
U en résulte que la force vive du système à la fin du <^hocest exprimée en fonction de ^ par la relation
MX'
Cette force vive s'épuise tout entière pendant la pre- DÛère demi -oscillation; par suite, elle est égale en valeur nomérique au double du travail de la pesanteur pendant le même temps, c'est-à-dire que l'on a
d'où
ma ^ ^
Cette dernière formule résout la question proposée; niais il sera préférable d'exprimer la vitesse de la balle en fonction de quantités faciles à observer.
Soient T la durée commune des petites oscilUtions que le pendule exécute quand la balle s'y est fixée;
0 Tamplitude d'une demi -oscillation supposée trèspetite ;
c la corde de Tare parcouru par le centre de gravité dans une demi-oscillation;
P le poids de la balle et du pendule réunis;
h la distance du centre de gravité de ces deux corps à Taxe de suspension ;
p le poids de la balle.
On aura
T =: -— zr> c = 2hsin -9=^ J2hb ,
et, par conséquent (A).
vap
Pour que Taxe n'éprouve aucune percussion, on dirigera la balle sur le centre d'oscillation. Si, de plus, la balle vient se fixer dans le plan passant par Taxe et par le centre de gravité, la durée des oscillations ne serap*s altérée par l'addition du nouveau corps, seulement k centre de gravité sera légèrement abaissé.
On peut encore déterminer la vitesse initiale d'un projectile, en suspendant l'arme à feu en forme de pendule dans une position horizontale, et observant les oscilla^ tions produites par la réaction de la décharge. Cette mé^ thode est souvent préférée, ou combinée avec la première.^ Les formules reslent les mêmes, si ce n'est que les quan^ tités M, Ar, A, P se rapportent alors au pendule diminué de la charge.
DYNAMIQUE. 26g
Le peDdulc balistique a été inventé en i j4^^ par Robiiis Jfew Principles of gunner)'). Les expériences les plus âèbres, entreprises pour déterminer avec cet appareil a vitesse des projectiles de guerre, furent exécutées de 783 à 179I5 à Wooiwich, sous la direction de Hutton. y après ces expériences, la vitesse initiale d'un boulet Le a4 livres est ordinairement comprise entre 5oo et roo mètres par seconde ; celle d'une balle lancée par un iisil d'infanterie est de 4oo à 5oo mètres, et celle d'une Jombc est d'environ 3oo mètres.
2. Un corps de masse M tourne autour d'un ajccfixe avec la vitesse angulairetù^ un autre corps ^ de masse //i, d'élasticité e, et animé de la vitesse i', vient à le heurter perpendiculairement sur une face plane qui passe par l^axe de rotation. Il s* agit de déterminer la force du choc, le changement produit dans les vitesses, et de trouver le point où doit frapper le corps m pour quil luisait communiqué la plus grande vitesse possible.
Soient :
Â, le rayon de gi ration du corps M autour de Taxe de rotation ^
a la distance du point de choc à cet axe;
B la force du choc ^
u^ la vitesse angulaire du corps M immédiatement après lecbocj
t^ la vitesse du centre de gravité du corps m au munie iosUnt.
Les vitesses seront toutes comptées positives dans le KDs du mouvement qui anime au commencement du choc It point du corps M qui reçoit la percussion.
La quantité de mouvement communiquée et la force do cboc doivent se faire équilibre sur chacun des deux corps, en tenant compte de la liaison qui oblige le corps M
2^2 MÉCAIflQDE RATIOMUELLE.
bille de billard, mise en mouvement par ua coup de queue incliné, tendant à appuyer la bille sur le tapis, et doTiiie sur un point quelconque du mobile.
Nous conserverons la notation du problème cité, <?» prenant le plan vertical des xz parallèle à la direction d'^ coup de queue. De plus, nous nommerons :
B la force du coup de queue;
CL Tinclinaison de celle force sur Thorizon;
h la distance horizontale du centre de la bille au plj^ ^^ vertical du choc, cette distance étant positive quand — — -^^ plan est à droite du centre par rapport au joueur;
h la plus courte dislance entre la direction de la forc::;^^*^ et l'horizontale menée par le centre perpendiculairemei^^B^l au plan vertical du choc, cette distance étant positif ve quand la direction de la force passe au-dessus de l'hor izontaledu centre.
Enfin, nous représenterons par F, et F^ les comp osanles de la force instantanée de frottement qui se dé^i^eloppe entre la bille et le tapis, dirigées suivant les 9c^mes horizontaux des x et des y.
Écrivant que les quantités de mouvement commun:^/, quées font équilibre aux forces instantanées, on obtiem les équations .^
M «0 =^ B cosa -h Fx, Mc'o — F,,
(A) ^. p iMp^y^p :zr — B/i sina H- pFj.,
[ |Mp»7o = BX-pF,.
Il s'agit de calculer, à l'aide de ces relations, les V2*' leurs des composantes a et 6 de la vitesse rectiligne Gu^-^^ suivant les axes des x el des y, exprimées en fonction (I ^** forces B, F^^ et F^.
DYNAMIQUE. Uji
Or on a trouvé (p. 1949 197) les expressions
et il est aisé de calculer les valeurs des seconds membres en fonction des forces, puisque les équations (Â) Honnenl immédiaiement les valeurs de u^, i^'o) Po et qo. On obtient
5 B p cosa H- /• , 5 B /i sin a 7 M p 7 M p
Ces valeurs étant indépendantes de F, et de F^, le théorème est démontré.
Pour que la bille ne dévie pas de la direction du coup, il faut que b soit nul, ce qui exige que l'on ait a = o, ou bien A = o.
Ainsi, la bille nira en ligne droite dans la direction de la queue qu autant que cette direction sera horizontale i ou bien y si elle ne Pest pas y qu autant que le plan vertical du choc passera par le centre de la bille.
Dans les autres cas, le signe de b indique de quel côté marchera la bille dans son état final. On voit que la bille se dévie de la direction du choc en se portant du côté ou elle a été frappée.
On peut dire quelque chose de plus précis encore sur la direction du mouvement recliligne. Car, si Ton nomme / la distance du tapis au point 011 la direction du choc va percer le plan vertical mené par le centre perpendiculairement au plan vertical du choc, on a
/ := (/ — p) COSai
OU
5 B /ces a
7 M p II. a« toiT. 18
272 MÉCAlflQDB RATIOMUELLE.
bille de billard, mise en mouvement par ua coup de queue incliné, tendant à appuyer la bille sur le lapis, et donné sur un point quelconque du mobile.
Nous conserverons la notation du problème cité, eu prenant le plan vertical des xz parallèle à la direction di coup de queue. De plus, nous nommerons :
B la force du coup de queue;
a Tînclinaison de cette force sur Thorizon;
h la distance horizontale du centre de la bille au plar ^^ vertical du choc, cette distance étant positive quand ^^^e plan est à droite du centre par rapport au joueur;
k la plus courte distance entre la direction de la for^^^^ et l'horizontale menée par le centre perpendiculaireme.7- „^ au plan vertical du choc, cette distance étant posili^^ ^^ quand la direction de la force passe au-dessus de l'ho ^d^ zontaledu centre.
Enfin, nous représenterons par F, et F^ les composantes de la force instantanée de frottement qui se développe entre la bille et le tapis, dirigées suivant les axes horizontaux des x et des y. *
Ecrivant que les quantités de mouvement communiquées font équilibre aux forces instantanées, on obtier&t les équations ^
M «0 =- B cosa -+- F,, '
(A) / 2 jvip2^^~ B/isinaH-pFj., '^^
Il s'agit de calculer, à l'aide de ces relations, les "valeurs des composantes a et 6 de la vitesse rectiligne fiu^'^ suivant les axes des x et des y, exprimées en fonction <1^'® forces B, F^^ et F^.
DYNAMIQUE* uyi
Or on a trouvé (p. 194, 197) les expressions
et il est aisé de calculer les valeurs des seconds membres en fonction des forces, puisque les équations (Â) donnent immédiatement les valeurs de i^^, Mq) Pu et qo. On obtient
5 B p cosa -h A , 5 B /i sin a a z=i ' 9 01= •
Ces valeurs étant indépendantes de F, et de F^, le théorème est démontré.
Pour que la bille ne dévie pas de la direction du coup, il faut que b soit nul, ce qui exige que l'on ait a = o, ou bien h = o.
Ainsi, la bille nira en ligue droite dans la direction de la queue qu autant que cette direction sera honzontalei ou bien, si elle ne Pest pas, qu^ autant que le plan vertical du choc passera par le centre de la hiUe.
Dans les autres cas, le signe de b indique de quel côté marchera la bille dans son état final. On voit que la bille se dévie de la direction du choc en se portant du côté oà elle a été frappée.
On peut dire quelque chose de plus précis encore sur la direction du mouvement rectiligne. Car, si Ton nomme / la distance du tapis au point oti la direction du choc va percer le plan vertical mené par le centre perpendiculairement au plan vertical du choc, on a
/•=:(/ — p) COSai
d'où
5 B /cosa
