II. a« «OIT

et, par suite,

a /cota

Cette dernière relation montre que la direction fina de la bille est parallèle à la ligne qui va de son poil d^ appui au point oii la direction du choc perce le tapi Il en résulte que la bille finit par reculer , si la ligi du choc perce le tapis en deçà du point d^ appui.

CoRiOLis, Théorie math, des effets du jeu de billard^ c. VII

4. Si Von conçoit que les liaisons d^un système ù points matériels en mouvement soient changées à u instant donnée ou, pour mieux dire, dans un intentai de temps très- courte la somme des forces vivres acquist aidant cet instant surpassera celle qui aura lieu immi diotement après, d'une quantité égale à la somme d* forces vivres correspondantes aux vitesses perdues dat le passage du premier état du système au seconi Démontrer ce théorème.

On entend par vitesse perdue pour chaque point vitesse qui, composée avec celle que possède le poîi après le changement des liaisons, donne pour résultan la vitesse du point avant le changement des liaisons.

On suppose les liaisons exprimées par des équatioi entre les coordonnées des différents points, qui ne coi tiennent pas le temps explicitement.

Observons d'abord qu'il est généralement impossib qu'une nouvelle liaison s'établisse instantanément-, ma qu'il faut un certain temps 6 pour que le système paj vienne à l'état où il véiifiela liaison nouvellement ir troduite, ce temps pouvant d'ailleurs être imaginé aus petit qu'on le voudra.

En effet, soit

l'équation qui exprime une nouvelle liaison introduite à l'époque Ïq.

Lorsque cette équation est satisfaite, on a

2/c/L lix dh fir dL flz\ \d^ di '^'d^ 'lû'^lh 7ij ~ ^'

X, jr, z étant les coordonnées d'un point quelconque du

système, et le signe ^ indiquant une somme relative à

tous les points. Or, si Ton nomme «, ft, c les composantes de la vitesse du point (x^y^ z) suivant les axes, à l'époque ^o? il est clair qu'on n'aura pas, eu général,

2/r/L dh , dh \

\dx dx dz I

puisqu'il n'existe aucune relation entre la fonction L et les vitesses a, £, c. Donc il faut admettre que la liaison L = o n'est point satisfaite à Tépoque fo* niais seulement aune époque postérieure ^0 *f- ^•

On voit encore cela d'une autre manière, en observant que les réactions occasionnées par Tintroduclion de la liaison nouvelle ne peuvent changer la vitesse et la direclïon du mouvement de quantités finies pendant un temps nul.

Pour représenter analytiquement les phénomènes qui s accomplissent pendant l'intervalle de temps 0, il faut concevoir que, à partir de l'époque /©, jusqu'»n l'époque 'o-ffl, la fonction donnée L, au lieu d'être égale à zéro, sou égale à une fonction de / assujettie à ces conditions : ^e s'annuler aux époques f^, t^-^O^ d'avoir sa dérivée nulle pour l'époque f 0 -1- 9 et numériquement égale à la

somme V l—.a^—-b-\ ^ c\ pour l'époque /© (*)•

«^ ) Par exemple, s*il s^agit d'un point libre qui tout à coup se trouve

^j6 MÉCANIQUE RATIONIIBLLB.

Cela posé, venons à la démonstration du tbéi Pendant le temps très-court d, nous pouvons nëgli forces continues qui sollicitent les points du sy vis-à-vis des forces intantanées qui naissent des li nouvelles; nous pouvons aussi négliger les quantité petites dont varient l^es coordonnées des diiTéreuts pendant le même temps, vis-à-vis des variatio vitesses.

Ainsi, pendant le temps d, Téquation du mouvem

et les déplacements virtuels âx, dy^ Sz peuven considérés comme constants.

Intégrons cette équation entre les limites t^^ tf, nommons ai, ^i, c*i les composantes de la vitei point m à 1 époque ^o -H 9. Il vient d^abord

2 fn [(«• — fl) ^x -+- ( ^r, — ^) o> H- (c, — c) 3z] =

Actuellement, si nous prenons pour déplacement

lie à l'origine da coordonnées par une tige rigide et sans niasse, autour de Toriginc. Alors, en désignant parx,, r«» «, les coordoi point mobile à Tépoque I,, Téquation de liaison sera

X' -+-J'» H- «' — ( JrJ H- r ; H- sj ) = o.

Mais, pendant le temps très-court qui sépare les deux époques /« < on aura une équation telle que celle-ci,

La fonction de f qui figure au second membre représente 1 quantité dont varie le carré de la longueur de la tige, en vertu d< ticité du corpH. Dans la question qui nous occupe, il n'est pas pc supposer les corps tout à fait incompressibles, sinon on serait fore mettre des percussions inlinies, et le calcul n'aurait plus de sens.

taels les déplacements effectifs aidt^ b^dt^ c^dt^ nous obtenons, en divisant par dt^

^m{(a^ —a)ax -^(bi-- b)bi 4- (c, — i:)c,] = 0,

ou, ce qui est identiquement la même équation,

^m{n' -*- A» -4- c») — ^m [a] -^ AJ 4- c])

Or cette dernière formule exprime précisément le tliéorème qu'il s'agissait de démontrer (*).

Corollaire I. — Supposons qu'à l'époque f© -+- 0, on ajoute encore de nouvelles liaisons

qui laissent subsister les premières. Désignons par d' le temps très-court qui s'écoule avant que ces nouvelles liaisons soient satisfaites^ et par a,, £,, c^ les composantes de la vitesse du point m à l'époque /o -4-^-4-0'. Koas aurons de même

= ^m[(a, — a,y + (*, — 6,)' + {c,—e,y\, ^••5 par suite,

Jm (a» + *' + c') - 2 m {a\ -+- ft^ + c\)

V ) Cette démonstration nous a été indiquée par M. Sturm.

a^S MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Mais nous aurions pu intégrer réqualion du mou- ^ vement (A) par une seule opération entre les limites ^^ foî 'o-f-ô-f-ôS et prendre ensuite pour déplacements^^ virtuels les déplacements eflectifs dans Tétat final, savoir:^> ^' Oidty b^dt^ Cfdt'^ par ce calcul nous aurions obtenu Té — ^^^ quation

D'après cela, nous pouvons énoncer la propositî^ on suivante :

Des points matériels en mouifement , soumis à m. /^j

liaisons indépendantes du temps, ayant certaines -^3;/tesses acquises à un instant donnée si Von conçoit (^ ^l'à cet insta nton ajoute successiv^emen t aux liaisons donrx 4es ^ un, deux^ trois,.,, systèmes de nou\f elles liaisons ir9.de- *= pendantes du temps ^ et que Von considère la série des --^ vitesses qu'e prendra chaque point dans les états succès- ■=

sifs du système, t excès de la somme des forces vivres de < ce système dans son état primitif sur la somme des force s '^' villes qu'il possédera dans son dernier état, pour lequel "• le nombre des liaisons est le plus grand, sera égale, soi^ ^^ à la somme des forces vivres correspondantes aux v*' tesses perdues dans le passage immédiat du premier ét^^^ au dernier, soit encore à la somme des forces vives co^' respondantes aux vitesses perdues, en supposant q^^ le système passe successivement de son premier état ^^^ second, puis du second au troisième, et ainsi de su^ *^ ï jusquau dernier.

Corollaire II. — Le théorème qui [nous occupe cos^' prend, comme cas particulier, le théorème de Carr^ot sur la perte de force vive produite par le choc des co^'P*

dépourvus d'élasticité -, car ce choc peut être considéi*é comme résultant de Tintroduction de nouvelles liaisons, par lesquelles les corps sont assujettis à se toucher deux à deux en des points déterminés.

Il comprend encore ce théorème de Coriolis (*) : La somme des forces vives d'un système de points maté'^ rîelsy à une époque quelconque de leur mou\*emcnty est égale à la somme de forces vives que prendraient ces points^ si, étant animés de leurs vitesses actuelles, ils 'Venaient à former à cet instant un système défigure ini^ariable assujetti aux mêmes liaisons qu auparavant, plus la somme des forces vives qu auraient ces points en ^ertu des seules vitesses relatives par lesquelles ils s^ écartent des positions qu'ils occuperaient dans le sjrs^ tème solidifié.

Citons aussi, comme conséquence immédiate de la théorie qui nous occupe, ce théorème de Lagrange [**) : La force vive initiale communiquée par des percussions à un corps solide, mobile autour d'un point fixe, est plus grande ou plus petite que la force vive qui serait communiquée au corps par les mêmes percussions, s'il était assujetti à tourner autour d^un axe différent de Vaxe spontané. La théorie actuelle va plus loin ; elle nous montre que, dans la rotation autour de Taxe spontané, la force vive est toujours un maximum et jamais un minimum (***).

SnmXy Comptes rendus de l^Jcad, des Sciences de Paris y t. XIII, 1841, 2« sem., p. 1046.

M. J. Bertrand a donne une démonstration géomé-

(*) Journal de l'École Polytechnique, XXIV® Cahier, p. 93. {**^ Mécanique analytique, II« partie, secl. m, § 37. (***) M. DelauDay a fait le premier cette distinction entre le maximum cUeminimam (Journal de M, Liouville, t. V, p. a55; i84o).

28o ^ MÉCANIQUE BATIONNELLE.

trique et très-simple du mêiue théorème, dans les Compi rendus de l*uécadémie des Sciences de Paris, décei bre i856.

5. Un cylindre homogène, dont l'axe est fixé da une position horizontale, tourne ai^ec une vitesse do née Cl), en enroulant un fil inextensible et sans musse ^ porte un point matériel de poids P. Ce point est d*abo soutenu au-dessous du cylindre à une distance de Va, égale à i, en sorte que le cylindre h*éprou\fe aucu résistance tant que la longueur du fil qui n'est poi enroulé est supérieure à cette distance. On demande déterminer cette distance h, de manière que la wta du système soit épuisée à l'instant précis où le poi matériel vient toucher la surface du cylindre, et d'as gner, dans ce cas, la durée de l'ascension du point.

Soient a le rayon du cylindre, m sa masse et k s rayon de gi ration autour de Taxe.

On trouve

2 P ( - fl' -f- W/' I

et la durée de l'ascension est — --•

6. T/n cylindre homogène, dépourv^u d^ élasticité, roi sans glisser sur un plan incliné, lorsquil rencontre second plan parallèle à son axe et sur lequel tout gi sèment est impossible. Déterminer la limite infériei de l'angle dièdre des deux plans au delà de laque l'ascension du cylindre sur le second plan ne peut av lieu; et y dans le cas ou cette limite n'est pas attein troui^er la vitesse ai^ec laquelle le cylindre commence monter,

La limite cherchée est -•

DYNAMIQUE. ^iSl

Si l'on nomme a Tangle des deux plans, u la vitesse de Taxe du cylindre immédiatement avant la rencontre du second plan, et t^ la vitesse de cet axe immédiatement après la rencontre, on trouve

I — 2 cosa

7. Un corps glisse sur un plan incliné auec une vitesse connue, lorsqu'il rencontre sur le plan une petite saillie qui met obstacle au glissement. Déterminer la force du choc et le moui^ement communiqué, en supposant que la direction du choc soit située dans un plan perpendiculaire au plan incliné et qui diyise le corps en deux parties symétriques.

n suffit de considérer le système en projection sur le plan de symétrie, car les vitesses communiquées seront parallèles à ce plan.

Soient m la masse du corps, a la longueur de la perpendiculaire abaissée de sou centre de gravité sur le plan, h la distance du pied de cette perpendiculaire à la saillie lors de la i encontre, k le rayon de gi ration du corps autour de son centre de gravité, e l'élasticité, u la vitesse immédiatement avant le choc, R et S les composantes de la force du choc suivant une perpendiculaire et une parallèle au plan incliné, i/' et v' les composantes de la vitesse dti centre de gravité à la Gn du choc suivant les mêmes directions, o)' la vitesse de rotation du corps à la fin du cboc autour de son centre de gravité.

On trouve

R __ S mu{\ -\-e)

U'r-e)ab a^ ^ e(b' -i- k') (i-he)a «^ -h Z^' -h it'

a8a MÉCANIQUE RATIONNELLE.

8. Une tige dépourvue d^ élasticité^ qui se meut rallèlement à elle-même sur un plan horizontal p ai tement uni, vient heurter contre un axe fixe per\ diculaire au plan. Déterminer la force du choc e position de la tige à un instant quelconque après la cussion, en négligeant les frottements.

Soient m la masse de la tige, k son rayon de gira autour du centre de gravité, u la vitesse avant le c c la distance du centre de gravité au point de la tige reçoit le choc et B la force du choc. Rapportons le ce de gravité à deux axes coordonnés rectangulaires < OY dont Torigine soit au pied de Taxe fixe, le prei étant dirigé vers le centre de gravité à Tinstant du c et le second du côlé où la tige tend à s'avancer. Désigi par a Tangle que la direction du mouvement avai choc fait à Taxe OY, cet angle étant positif du côt OX, et nommons 0 Fangle dont la tige a tourné dai sens de rotation qui amène OX versOY.

L'origine du temps étant à Tinstant du choc, il viei

mk'^ucosoL c'a CCS a ^ citcosa.

9. Deux billes B etC reposent sur un plan horii tal et sont en contact. Trouver la direction dans quelle une troisième bille A, qui se meut sur le m plan^ doit venir frapper la bille B, pour que celi parte dans une direction donnée BD. Les trois b sont égales, peuvent avoir une élasticité quelconque se choquent sans frottement.

Soient A, B, C les centres des trois billes à Tins

DYNAMIQUE. a83

da choc, a Tanglc donné CBD, et 0 Tanglc cherché des deux directions BA, CB.

On trouve

tango = - tanga.

10. Trois billes égales A, A', A", de masse m, d^élasticité e, et qui sont exemptes de frottement^ sont assujetties à se moui^oir sur un même plan horizontal. Les deux dernières sont immobiles et se touchent^ la première ^ient les frapper toutes deux au même instant, avec une vitesse donnée égale à u. Déterminer la force du choc et les vitesses communiquées.

Soient (^ la vitesse de la bille A immédiatement après le choc, i^' la vitesse commune des deux billes A', A" au même instant, et B la force du choc qui a lieu entre la bille A et l'une quelconque des deux autres.

On trouve

B= y ///(i-f-r?) tf,

p= ^ (2— 36') a, <>' zzz ~- (iH- c)ti.

Maclauein, Traité des Jiuxions, 1. 1, ch. xii, §5i5.

11. Démontrer que la force vii^e perdue dans les chocs simultanés de plusieurs corps, doués d'une même

élasticité e, est égale au produit de par la force

viue due aux vitesses perdues (*).

On démontrera ce théorème de la même manière que le théorème de Carnot, dont il est la généralisation, en exprimant, par l'équation des virtuelles, qu'il y a équî-

(*) Voir t. I, p. a57, probl. 5.

libre entre les percussions et les quantités de mouvement communiquées, à Fiustant où les corps cessent de se comprimer et commencent à reprendre leur forme première. Pour eflecluer ce calcul, il sufGra d'observer que les composantes des vitesses perdues par une même molécule, pendant les deux périodes du choc, sont entre elles dans le rapport de i à e.

Duhamel, Journal de l'École Polf technique^ XXIV Cahier, p. I ; i832.

12. Lorsque^ dans un système de points matériels, les vitesses varient brusquement, en vertu d^ actions mo^ léculaires déueloppées par les chocs de quelques parties du système, la somme des moments virtuels des quan^ tités de mouvement acquises ou perdues pendant le choc est nulle ^ toutes les fois que Von considère des moments virtuels dans lesquels deux molécules qui réagissent l'une sur Vautre ont des vitesses égales, S^il arrivt qu après le choc tout point matériel qui a exercé une action moléculaire sur un autre point se réunisse à ce dernier^ le principe que nous venons d'énoncer fournira toutes les équations nécessaires pour déterminer^ après le choc^ le moui^ement de toutes les molécules ou de tous les corps dont se compose le système. L'une di ces équations exprimera que la perte de forces vii^es esi égale à la force viv^e des vitesses perdues.

Ces théorèmes se déduisent aisément de Téquation générale donnée au commencement de ce chapitre (p. 265). Cauchy, Bulletin des Sciences mathématiques de Ferussac^ t. XI, 1829, p. 119.

DYNAMIQUE. a85