LOIS DES PETITES OSCILLATIONS
Proposons-nous de déterminer les petites oscillations qu^exéente un système de points matériels, assujettis à des liaisons, qui a été légèrement écarté d'une position d'équilibre stable. Nous supposerons, comme d'habitude, les forces indépendantes du temps.
Les équations de liaisons nous permettent de développer (*) les coordonnées des points suivant les puissances ascendantes de nouvelles variables u, (^, w, etc., qui s'annulent pour la position d'équilibre, et dont le nombre est précisément celui qui est nécessaire pour fixer la position des points en ayant égard aux liaisons. Substituant ces valeurs dans l'équation générale, si souvent rappelée, qvd est fournie par le principe des vitesses virtuelles et le principe de d'Alembert, puis égalant à zéro le coefficient de chacune des variations dii, ^i/, dw, etc., nous obtenons des équations différentielles qui représentent rigoureusement le mouvement du système à l'aide des
(*) Ces développements pourront s'effectuer par la formule de Mac- I^QrÏD, lors môme que l'on ne saurait pas résoudre les équations qui lic&tles coordonnées aux nouvelles variables. En effet, ces équations, ^nt difierentiées plusieurs fois de suite, donneront les expressions géii^rales des dérivées partielles des coordonnées par rapport aux nouvelles ^^riables, k Taide de résolutions successives d*équations du premier ^^. Remplaçant dans ces expressions les nouvelles variables par xéro ^tles coordonnées par les valeurs correspondantes à l'état d'équilibre *^le, on aura les coefficients successifs des développements cherchés.
a86 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
nouvelles variables, dans les limites où les développements efiectués restent convergents.
Ces équations sont du second ordre^ et ne contiennent pas de terme indépendant des variables m, i^, w, etc., car elles doivent être vérifiées pour la position d'équilibre où toutes les variables sont égales à zéro. Les termes du premier degré par rapport à u, i^, Wj etc., et par rapport aux dérivées de ces variables, donnent la loi des petits mouvements. Si l'on néglige tous les autres termes, les équations deviennent linéaires à coefficients constants; elles sont d'ailleurs sans second membre. Leurs intégrales s'obtiennent par la méthode connue ; elles sont de la forme
u = L, sin ( ^t -4- a, ) -f- L, sin ( ^t -f- a, )h- . . . ,
/,\ j V 1= V, L,sin(v'r, / -f-a,)-f- A\L2sin{\fr\i -h aj)-!-. . . , I (v=z ^".L, sin(v'/7^-f-ai)+ > j L, sin ( \/rï"/ -f-a,)-f-.. .,
Lt, Lj,..., «15 «î,. ••5 sontdes constantes arbitraires qui, dans chaque cas particulier, se déterminent par les données initiales; r,, Tj, etc., sont des constantes, racines d'une même équation algébrique, dont le degré est égal au nombre des variables u, i*, etc. ; X',, X", ,... sont des coefficients constants qui se déduisent de Tj ;•/',, X'^,... sont les mêmes coefficients dans lesquels rj a été remplacé par rj. Soit n le nombre des variables m, i', etc. L'expression de chacune de ces variables en fonction du temps est généralement une somme de n termes tels, que chacun d'eux, pris isolément, représente une petite oscillation de même nature que celle d*un pendule simple. Toutes ces petites oscillations simples se partagent eu n groupes^ pour chacun desquels la durée de Toscillation est la. même; il entre généralement une oscillation de chacun
^es groupes dans la valeur de chaque variable. Le mouvement du système autour de sa position d'équilibre est donc composé d^oscillations simples et simultanées, dont le nombre est en général celui des variables nécessaires pour fixer la position du système. C'est en cela que consiste la loi de la coexistence des petites oscillations, découverte par Daniel Bernoulli (*),
Il y a plus : supposons que pour de certaines données initiales,
du , th ,
le mouvement soit représenté par les intégrales
a = U, , c^ = V. , . . . ; que pour d'autres données initiales,
« = «»? Pr^C'j,...,
du , di> ,
le mouvement soit représenté par les intégrales
cl ainsi de suite.
Pour les données initiales qui sont la somme des premières,
« =: tti -f- tt, -f- . . . , t^ =3 (/, -f- (^a -f- . . . , . , . , dVL
V ) Mémoires de l'Académie de Berlin, 1703, p. 173. — Novi Comment , ^^^^P*,i.\l\, 1775, p. aSg.
a88 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
le mouvement sera représenté par la somme des premii intégrales,
tf^y, -hUj-t-..., PzzzV, -hVa-+-..., ...;
car ces dernières expressions vérifient les équati diiTérenlielles linéaires du mouvement, et se réduii aux valeurs initiales données, lorsqu'on y fait t= o.
Cette loi générale, d*après laquelle les petits mot ments se superposent sans se nuire, donne Texplicai d*un grand nombre de phénomènes relatifs aux ondi lions des liquides, à Tacoustique, à la lumière, etc.
Tous ces résultats supposent que Ton se borne à la [ mière approximation . Si Ton veut une détermination j. exacte du mouvement, on reviendra aux équations rig< reuses^ on substituera, dans les termes du second de par rapport à u, ^', etc., et par rapport à leurs dérivi les expressions de ces quantités en fonction du temps* tenues à la première approximation^ puis, néglige tous les termes d'un degré supérieur au second, on a de nouvelles équations qui ne différeront des premif que par Taddition d'un second membre, fonction coni du temps. On en déduira d'autres valeurs de m, Uj ei plus approchées que les premières; et Ton pourra coi nuer ainsi, par la méthode des approximations successif aussi loin qu'on le jugera convenable.
Revenons à l'étude des équations des petits mou ments et de leurs intégrales, en nous bornant à la p mière approximation.
Soient
X = Xo -h rti a -h OiV -h a^w -f-. ,
z = 3a -f- «*! « -f- cr, t' -h Cj w -f- . . x' =: x\-^- a\ u -^ d^v -h a\w H- . .
les expressions des coordonnées des points en fonction des n variables indépendantes, limitées au terme du premier degré.
II nous faut substituer ces valeurs dans Téquation gé- Derale du mouvement
et égaler séparément à zéro les coefficients de 5w, o^», Jiv, ....
Nous admettrons que
2(X^a:-f-Y^/-hZ52)
est la différentielle exacte d'une fonction cf (w, i', iv, . . .) indépendante du temps.
Nous représenterons par -y^j — ^,..., ce que deviennent les dérivées secondes de la fonction (j>, quand on y remplace les variables par zéro.
Nous poserons encore, pour abréger,
^w [a\ -f- ^î -f- c\] n.- A„ ^m (ri, a, -f- ^, ^, -+- c, r,) — B,,,,
Nous abrégerons encore les calculs en observant que les dérivées premières de la fonction y s'annulent avec les variables ii, ^, . • . ; car la position du système qui répond II. a* ÉDiT. 19
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à des valeurs nulles de ces variables doit ùtre une position d'équilibre stable, pour qu'il y ail lieu de recherche! les petits mouvemeuts des points autour de cette position Finalement, nous obtenons les équations suivantes :
d^ Il d'^v d^ti'
du^ , dudv dudtv
d^Oo d^f(, d^o^
di'^ dua%f fivuiv
d'^tv ^ d"^ u d^v
d^Ôa €Î^9o ^'?o • . f!^ L ? Êi 1 * M, I
div^ dudiv dvdw
Ce sont là les équations diflérenticlles du mouvemcnl
On peut remarquer que les coefficients de i^ et de -r—
dans la première équation, sont égaux à ceux de u ci (1^ ^^
-— dans la seconde équation. Il en est de même pour l^^"^^
autres variables et pour les autres équations •, en sor ^^ que chaque coefficient est répété deux fois, sauf ceux d— — ^-^ premiers termes.
Pour intégrer ces équations, multiplions la premi^^^i* par l'unité, la deuxième par un coefficient indélermin(* )\ la troisième par un autre coefficient indéterminé a", et ainsi de suile^ faisons la somme des produits, et écrivc^ni que cette somme est de la forme
( dUi ,. d^î^ ^^ d^w
( -h r (« -f- Mp -f- N(r -f- . . . -- o,
DYNAMIQUE. agi
^ étant uu nouveau coefficient indéterminé. Ceci nouâ fournira n équations
dti^ fin dv du d(v
^ -r(A. -4.B,,,).' + B..,V'-f-. . .), </f' diitlv thtiw
dw^ dudiv dvdiv
pour déterminer nos n coefficients /', V\. . .1 ^"~*^ et r. Nous éliminerons d'abord les coefficients X; il en résultera une équation en r du degré n. Admettons que ses racines soient toutes réelles, positives et inégales^ désignons-les par r,, /'«,..., /*„. En substituant successi- -vement chacune de ces valeurs dans les équations (4)9 nous aurons, par une simple résolution d'équations du premier degré, autant de séries de valeurs correspondantes des coefficients i', l'\. . ..
Nous représenterons généralement par X' , ^^ , . . . , le groupe de coefficients qui répond à la racine /*,.
Chacun de ces groupes de valeurs, 7/ , Y-^... nous donnera une série de valeurs correspondantes de M, N, . . . - en sorte que nous aurons n équations de la forme (3). Chacune d'elles aura une intégrale de la forme
(5) u -f- Mp -f-Nw -f-. . .= Hsin(v^r r-f- a).
H et a sont des constantes qu'on détermine par les
conditions initiales
I«, + M('o -t- N Wo -f- . . . =r H sin a,
Les n équations (5), résolues par rapport aux v blés fi, ^9 • • • ) nous donnent des valeurs de la forme
/«— L,sin(v^r,/-f-a,)-i-LaSin(v/r,/-ha2)-f-L3sin(vr3f-|-a,) V =: L\ sin(v^r, i-h a,)-|- L'^sin (v>j ^-f- a,) -f-L'^sin (y/^'s' -f- a,) • rt'=r:I/,sin(v/r,/4-a,)-f-
Ces valeurs doivent vérifier identiquement les i lions (a). Or, quand on les substitue aux variables ces équations, et qu'on écrit que les coefficients de ch sinus sont égaux dans les deux membres, on trou relations qui ne difl'èrent des équations (4) que p
changement de i', X'', . . . , en --^j y^ > • • • ? F indice i
vant prendre toutes les valeurs de i à /i. Donc
et par conséquent les expressions des variables ont la forme annoncée (i).
Ces mêmes valeurs (i) reportées dans les équatior doivent les réduire à des identités. Il s'ensuit qu'en gnant par M,-, N,-, . . ., H, les valeurs de M, N,, . qui correspondent à la racine r^- de Téquation en r, < quel que soit Tindice i,
et aussi, pour tout indice A' diflérentde /,
(8) i-hM4\;.-+-N4>;-h. .= o.
DYNAMIQUE. 2Qi
i . Petites oscillations d^un point matén'el libre^ attiré ^uers des centres fixes en nombre quelconque.
Soient u^ i*, wles coordonnées rectangulaires du point mobile, la position d'équilibre stable étant prise pour origine.
Les équations des petits mouvements sont de la forme
dhv
:^A"//-4-B"('-hCV.
dO
Von 1
On les intègre comme les équations générales (2). Si ipose
«-hM,i'-hN,«'z^.rv/i -hM? H-Nf,
H -h M,»' -h N3«---^ z sji -\-},\l -hNJ,
^^'S équations (A) peuvent être remplacées par trois équa- ^*Oas équivalentes, de la forme
•4- r.xdO
^) ^t) '*> étant des constantes.
U est remarquable que ces nouvelles variables sont les
Coordonnées du point mobile par rapport à trois axes
^'^ciangulaîres, de même origine que les premiers, et dont
*^s directions ne dépendent nullement des circonstances
^^iliales.
2g4 MÉCANIQUE RàTIONNELLE.
En effet, pour délermîner les coefficients M, N, il faille ajouter la première équation (A) au produit de la deuxièm^^ par V et au produit de la troisième par V^ et identifier 1^^^^^ somme avec la formule (3).
Ceci nous donne immédiatement
Il s'ensuit que les relations (8) peuvent ici s'écrire
i-hM.M, -+-N, N, = o,
