I-hMjMa-f-NjNsizrO

i + M,M, -f-N^N, rT^o;

elles expriment, on le voit, que x^j^ z sont des coordon,— ^" nées rectangulaires.

Les intégrales des équations (6) sont de la forme

j: =r D, sin ( v^ r, r -h a»),

z — DasinCV^r-f-a,),

D et a désignant des constantes déterminées par les cir-":^ ^^' constances initiales. Nous avons donc ce théorème: Qua/z. j^r^^à un point matériel libre, soumis à r action de plusieum^ ^i.?/r5 centres Jixes y est abandonné à lui-même après avoir éi ^=^^^ légèrement écarté de sa position d'équilibre stable, ^m^ '* exécute des oscillations simples, suivant trois direction, scions perpendiculaires deux à deux, qui ne dépendent pofSm- ^int de Vécartement primitif. Les oscillations sont isochror— ^K'wes suivant chacune de ces directions^ toutefois, la durée.-** ? et Tamplitude varient d'une direction à l'autre.

Soit R la force accélératrice résultante que fait nB^^Stre le déplacement du mobile transporté de l'origine au pc mt

R = y/r^ ar' -h rj /- -+- rj z\

DYÎIAMIQL'E. VQD

Cette force fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

On voit qu'elle est dirigée suivant la normale au point (jC, j^ z) à l'ellipsoïde représenté par Tcquaiion

dans laquelle la constante C a été déterminée de manière que la surface passe au point considéré.

D'après cela, si Von imagine une série cV ellipsoïdes semblables y qui aient leurs axes principaux sur les trois élirections des oscillations simples, et proportionnels à r^, '*«» r^y tout déplacement du point mobile fera naître une Jorce dirigée suivant la normale à V ellipsoïde qui passe à ce point. Il s'ensuit que la direction de cette force coïncide avec celle du déplacement, lorsque celui-ci a lieu suivant Tune des directions des oscillations simples, et seulement dans ce cas. Parmi tous les déplacements possibles dans un même plan P qui passe à la position d'équilibre, il est deux directions perpendiculaires suivant lesquelles doit avoir lieu le déplacement pour que la force soit située avec le déplacement dans un même plan perpendiculaire au plan P. Ces directions sont celles des axes des ellipses semblables suivant lesquelles le plan P coupe les ellipsoïdes.

2. Une balance ordinaire^ dont le fléau A A' reste dans un même plan vertical^ supporte deux poids égaux P, P', suspendus à des fils de même longueur AP^ A'P', dont on néglige la masse. On imprime à cet appa^ reil un petit mouvement absolument quelconque, qui dérange légèrement F équilibre, et l'on propose de déter^ miner les oscillations du fléau et des deux poids.

Soient :

a la longueur de chacun des bras du fléau, considère

comme une droite ; ^'^ "^^ b la hauteur de

Taxe de suspension O au-dessus du fléau ;

/ la longueur de chacun des (ils^

m la masse de chacun des poids \

c la distance de Taxe de suspension au centre de gravité de la partie mobile, les poids exceptés ] M la masse de cette partie mobile^ A' son rayon de giration autour de Taxe de suspension*, 0 rinclinaison du fléau sur Thorizontale^ (p Tangle que le fil AP fait avec le plan vertical du fléau ;

(f Tangle que le même fil fait avec uu second plan vertical perpendiculaire au premier;

(p' et y' les angles analogues pour le fil A'P'; T et T' les tensions des fils AP et A'P'.

L'origine des coordonnées sera le point de suspension O; Taxe OZ sera dirigé dans le sens de la pesanteur, et Taxe OX dans le plan vertical du fléau du côté du point P5 X, j^, z seront les coordonnées du point P; 'x\y\ z' celles du point P'. Nous compterons positives les déviations (j;, ^, ^', ^' quand elles tendront à augmenter les coordonnées x, y^x'^y' \ nous prendrons Tangled positif quand l'extrémité A sera soulevée.

Les équations du mouvement des points P et P', consi-

DYKÀMIQUE. 297

dérés comme des points libres, seront les suivantes :

-p- == sin «p, —7-- :~ — — sm ©',

dl' m ^ dO m ^

d'y T . , d\r' T' . ,, -T— = sm xp, — —- :^- sm xp ,

— = ^ - - COSy COS^^, -^ = ^ cOSy' C0S^^^

MX> — = — M^csin 0 — Tcos^p [a ces (7 — Ô) — ^sin (y — Ô)] -4- T' cosTp' [fl cos (y' — 0) -h ^ sin (/ — Ô)].

Tirant les valeurs de T et de T' des équations en z et z', les reportant dans les autres équations, il vient

d^x rang «^ / r/'s \

'dF "^ '^i^ y "" ~dO ) '^^'

d^X tangil;/ rf»s\

rf»/ . tangf / rfV\

a cos (^ — 0) — ^ sin («p — ô)

COSf

/icos(«p'— 0)-+- A sin («p' — ô)

COSf

^soDt là les équations qui représentent le mouvement, ^^ard aux liaisons.

M faut actuellement exprimer les coordonnées en fonction des variables 6, f , (p', (j;, (p', qui s'annulent dans la P<>silion d^équilibre, el dont le nombre est précisément celui qui est nécessaire pour déterminer la position du

apS MÉCANIQUE RÀTIOI^I^ELLE.

système*, puis substituer ces expressions dans les éqi.x^-

tîons précédentes, en négligeant les termes du seconeJ

degré.

. Si Ton effectue de suite les développements des coor^

données, et que Ton néglige les termes d'un degré supe^ — '

rieur au premier, il vient

x := ft sin 0 -h a cosO -h / sin (p cos\!/ rrr ^ 0 -f- a 4- /s»,

z =: bcosQ — ûsinO -h /cos^cos-^ =; ^ — <z0 4- /.

Les valeurs de x'^y\ z' se déduisent de celles-ci en remplaçant ç, ^ par ç', y et changeant le signe de a.

Telles sont les expressions qu'il faut substituer dans les équations précédemment obtenues, en même temps qu'on développera suivant les puissances des variables

5, cp, 4^1 ?'î ^\ en négligeant toujours les secondes puis

sancesy ainsi que les produits des variables par leurs dé

rivées.

Effectuant ces calculs, et posant

mi; m

on trouve pour les équations des petits mouvements

(4) ^'^^sV^o,

DYNAMIQUE. 2gg

Les équations (3) et (4) sMniègrent séparément. Leurs int^^ales sont

(6) 4 = Csin^Y/fr^7), f = C'sin (y^f r-+. /^

Le système des trois autres équations n'est point altéré quand on échange entre elles les variables <f et <f'. Il s^ensuit que ces équations admettent la solution (p = (f'. Toutefois, il est une solution plus générale. Pouf* qu'elle n'échappe pas au calcul, on remplacera les équations (i) et (a) par leur somme et leur difiérence; en sorte qu'on atira à intégrer les trois équations

L équation en (f — ç' s'intègre séparément. Elle donne