z=2Bsin(^y^/4-pj

Quant aux deux autres équations, si l'on y substitue les valeurs

0 = Asîn(\/r/-h a),

(p -h «p' =: 2> A sin (y/rf -h a) ,

on reconnaît qu elles sont satisfaites, quand r est l'une quelconque des racines de l'équation du. second degré

3oO MÉCANIQUE RATIONNELLE.

et que, pour chacune de ces racines, la valeur rorrespoc=:i»oi|. danle de X satisfait à la relation

L'équation qui donne /* a ses deux racines positives^ ^^

les valeurs r = o, = ^ ? = 00 , substituées danslepreii::^^)/^^

membre, donnent des résultats alternativement pos ^S///^ et négatifs.

Soient Tj, r, ces racines, et ^i, X, les valeurs cormres- \ pondantes de L '

Les intégrales générales seront

' 0 — A,sin(v'/-,/-+-a.)-l- A2sin(v'r,r-f-a,),

, :::r ?• - -^ -h — À, A, sin [yjl\t -f- a,)

.. ] H-X,A2sin(v^rrfH-a,)-f-Bsinf i/^r-l-pj,

'^ -+- >, A,sin (y/^Tr -+- aO - B sin f i/^ ^ -^ P V

Il ne reste plus qu'à déterminer les dix constantes arbi^ traires A,, A„ B, C, C, a,, a„ (3, 7, 7' par la condilîorr'^ ^

que, pour f = o, les cinq variables et leurs cinq dérivée^

se réduisent aux valeurs initiales données. Ce calcul s^'^ fera sans difficulté 5 alors les valeurs (6) et (7) seront k ^^^ solution complète du problème. On pourra vériGer aisé^^^ ment la loi de la superposition des petits mouvement Il n'existe ici que trois espèces d'oscillations dont les pé

DYNAMIQUE. 3oi

Mies soient diflféreDtes, bien qu'il y ait cinq variables, ïtte exception à la règle générale provient de la symétrie

Tappareil. De plus, la valeur de chacune des variables t renferme pas toutes les espèces d*oscillations. Ceci aura m toutes les fois que les équations du mouvement

partageront en plusieurs groupes séparément intéables.

A6n de donner un exemple des approximations sucissives, déterminons la partie principale des perturitions que les oscillations du fléau produisent sur les cillations du poids P dans le plan perpendiculaire au au.

U nous faut revenir à Féqualion rigoureuse

ii^y tangW ^^^\

ercher parmi les termes d'un degré supérieur au preer, et qui dépendent de 0, celui qui est du degré moine, y remplacer les variables par les valeurs déjà troues, puis ajouter ce terme à Téqualion (3).

L.e terme en question est 4- ^y -77'' P**" conséquent, t]uation qu'il s'agit d'intégrer est la suivante :

- cos|^(^v7:-(-y/^j/+ «.-1- vjj

■CA,r,

3oa MÉCANIQUE KATIOHNELLE.

Elle a pour inlégrale particulière

-I- N, cos ! f v^ 4- i/^ jr -t- a. + 7J + M,cos I f v^- y/| j r + a, -vj

+ jN,cos n v>r + yf V + «1 + vj'

en posant M,

V^-J^'- Vt^Î

Cette intégrale particulière, ajoutée à l'intégrale gén^ ^ raie (6) de Téquation sans second membre, forme l'inl^^ grale générale de Téquation (8), et représente le mouv^^ ment troublé, quand on détermine les constantes d'apri^ les valeurs initiales.

EcLER, Novi Comment, Jcad, Petrop.y t. XIX, 1775, p. aS^

3. Deux points pesants P, P', de masses m, m', fixés à des hauteurs différentes sur un même fil flexib ^ inextensible et sans masse ^ qui s^ attache à un poM fixe O. Les deux poids sont d^ abord légèrement écafi de la verticale, sans que les deux parties du fil cessas d^étre tendues et situées dans un même plan verticé puis on abandonne le système sans vitesse. TrouP

DYNAMIQUE. 3o3

éjnels doivent être les écarts primitif s ^ pour que chacun ides deux poids P, P' oscille comme un pendule simple, jyémontrer quun point du fil PP', indépendant des

circonstances initiales, oscille comme un pendule simple^

a déterminer ce point.

Soient 0P = /, PP' = 71, 6 el ç les pelîls angles que ces parties du fil font d'un même côté sur la verticale, 6^ et f ^ les valeurs initiales de ces angles.

On trouve que les petits mouvements des deux poids sont représentés par les formules

0 =::^ L| cos \]ry r -h L, cos ^frlt^

y z::^ >, L, cos ^^t -f- )., Lj cos \J r. ty

dans lesquelles /'i, /'j désignent les racines de Téqualion ( ' ) [mir — (w -+- m' ) g] (nr — g) — gm' Ir z= o,

'•1 ei ?., les valeurs correspondantes de la fraction

g~ nr ^*l LiyLsdes constantes déterminées par les relations

L, -h La i^ 0g, >., L, -+- >, La =:: ^o-

La distance du point P à la verticale du point de suspension est /ô, celle du point P' est lQ-\- n(f. Il s'ensuit que cWun des poids oscillera comme un pendule simple, k la ^^ondition que Tune des quantités Lj, Lt soit nulle. Dans Ce cas,

Ta /

3o4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

et, par suite (i),

Telle est Téquatiou qui détermine le rapport des écarts primitifs B^^ cfo« Elle a toujours une racine positive inférieure à Tunité, et une racine négative dont la valeur numérique est inférieure au rapport y La racine positive

répond au cas où les deux poids sont en même temps d'un même côté de la verticale, la racine négative répond au cas contraire. Dans ces deux cas, les oscillations des deux poids ont la même durée, mais n*ont pas la même amplitude.

Daniel Rernoulli, Novi Comment, Petrop.^ t. XIX, ,

1775, p. 260. — EuLER, ibid»^ p. 285.

Soit j la dislance d'un point du fil PP' à la verticale ^ du point de suspension, et p la distance du même point au m^m-. poids P. On a

j^=r /Ô-+-/;«p = (/-+-/>>,) L, QOS^•r^t-\-{l 4-/7>,)LjCOSv/^r.

Pour que le point considéré oscille comme un pendules ^^J simple, il faut que Ton ait

p z^. — — 1 ou bien /? nr — — •

A, Aj

L'une de ces valeurs est positive, et résout la seconde par .^eartîe du problème proposé. L'autre valeur est négative*, eL^"^/e détermine un second point situé au-dessus du point Psv^«^ur le prolongement de la direction P'P. Pour s'en assurc^^er, il suffit de remonter aux équations (i) et (2); on ver^^ra facilement que Tune des valeurs de X est n^ative, et

l'autre positive.

4. On suppose une tige homogène^ suspendue par r^o/i extrémité à un fil inextensible et sans masse qui s^atta ^^rhe

DYHAMIQUE. 3o5

à un point fixe. L'équilibre a été légèrement troublé, sans que le système ait cessé d'être contenu dans un même plan vertical. Il s^agit de déterminer les petites oscdla tions que la tige exécute.

Soient 2a la longueur de la tige, / la longueur du fil, 6 et f les petits angles que le fil et la tige font avec la verticale, ces angles étant comptés positifs d*un même côté.

Si Ton représente par r^ et r^ les deux racines positives de l'équation

les petites oscillations seront données par les formules

O = A. sin ( i/^ r -+- a, j -4- A; sin ( i/^ r -+- a, K

^ = A. ^^sin (y^ r H- «.) ^ A, ^^in (^y/i r H- i,y

Le système reprendra périodiquement la même position, si Ti et r^ sont entre eux comme les carrés de deux nombres entiers.

Da5iel Bbe5oolli, Novi Comment. Petrop., t. XVIII, 1773, p. 247. — EuLEB, ibid,^ p. 268.

5. Deux points matériels, de même masse, sont fixés sur un fil élastique tendu entre deux points fixes ^ et divisent la longueur du fil en trois parties, qui sont égales dans V état d équilibre. Déterminer les petites oscillations 4jue les points matériels exécutent j lorsque V équilibre a été légèrement troublé sans que le fil ait cessé d^être rectiligne. On admet que la tension de chaque partie du fil croît avec la longueur, d^une quantité proportionnelle à rallongement.

Soient 3a la longueur totale du fil, a -+- x, a 4- ) , n. a^ÉDiT. 2.0

3o6 MÉCàlfIQUE RATIONNELLE.

a H- « les longueurs des parties consécutives, et T H

T -f- — > Th leurs tensions.

lia lia

Si l'on observe que la somme x -^ jr -h z est nulle, on

arrive facilement aux équations

^ . 3r dt' pfl""

Leurs intégrales font connaître les distances des deux points à la même extrémité du fil, savoir :

a-hxz=:a -h Asinl "1=^ -*-a | — Bsin( 4/ — r -h pli

ia -+-ar-|-r=:2fl-+-Asin( -=/-4-a l + Bsinl i/ — /-+-S )•

A, B, a, |3 sont des constantes qui, dans chaque cas particulier, se déterminent par les circonstances initiales.

Chacune des deux masses oscille comme un pendule simple si, après les avoir également écartées de leurs positions d'équilibre, on les abandonne au même instant sans vitesse initiale. Dans ce cas, la durée d'une oscillation

est TU ^(la ou TU i/^ > suivant que les écarts primitifs

sont de même sens ou de sens contraire.

On étendra sans difficulté les formules précédentes » un plus grand nombre de points matériels, placés à des distances égales sur un fil élastique.

STATIQIE. 3o7