ATTRACTION
Dans ce chapitre, nous éludierons spécialement Tat- ^j^ctîoQ qui sVxerce proportionnellement à la masse et ^n raison inverse du carré de la distance.
La somme des éléments de masse du corps attirant, di- >isés respectivement par leur distance au point attiré, est ^e qu'on nomme, d'après George Grecn, le potentiel du corps attirant par rapport au point attiré.
Si l'on nomme x, y^ z les coordonnées du point attiré, y la fonction de ces coordonnées qui représente le potentiel, on a l'éqnation aux diflérentielles partielles
dx' dy dz'
^uand le point attiré est extérieur au corps \ et quand le point attiré est intérieur au corps, si l'on nomme p la densité da corps dans le voisinage du point attiré, on a
rf'V d^\ r/'V ,
3o8 MÉCANIQUE RlTIOirNELLB.
La première ëquaiion esl de Laplace {*)\ la seconde dfi Poisson (**). - '
Soit fx ratuaction de Tunité de masse à Tunité de di .^B. tance. Les composantes de l'attraction suivant les a?^^^ des Xy des jr et des z sont respectivement représentées f^:^^^ les dérivées partielles
^di' ^^' '^Â"'
Il s'ensuit que l'attraction est dirigée suivant la nor-maie à la surface dont Téquation est de la forme
V = const.,
et qui passe au point attire.
Les surfaces en nombre infini que Ton obtient en faisant varier la constante dans l'équation précédente sont dîtes surfaces de niveau relativement à l'attraction du -^ corps.
Si l'on promène le point attiré sur une même surface -^
de niveau, l'attraction exercée sur ce point sera constam-^ —
ment égale à
dn
dn représentant la portion de la normale à la surface point attiré, qui est comprise entre cette surface et Is"^ surface de niveau înGnimcnt voisine intérieure à la pre- — mière.
Deux corps qui ont les mêmes surfaces de niveau exercent la même action sur un point de l'espace à un factei^r constant près.
Deux surfaces de niveau relatives à un même corps m'
C) Mécanique céleste, \ï\. !!,§ il.
("*) Bulletin de li: Société Philomathtque, t.
III, p. 36S.
STATIQUE. 3o<;
peuvent avoir un point commun, à moins qu^elIes ne se :onfondent; c^est-à-dire que les deux équations simul talées
le peuvent admettre de solution commune, à moins que 'on D^ait A = B, et alors les deux équations représentent a même surface. Les surfaces de niveau sont des surfaces ermées; car, ces surfaces étant évidemment continues, il i*y aurait exception pour Tune déciles, qu'autant que cette •urface s'étendrait à Tinfini ; or, pour un point attiré situé I Tinfini^ le potentiel est nul; donc Téquation de la surface est V = o, et, par suite, elle est tout entière rejetée i Tinfini. Entre deux surfaces de niveau, celle qui répond i la plus grande valeur du potentiel est intérieure à l'autre. Les premières recherches sur l'attraction des corps surent pour objet l'action des sphères, des ellipsoïdes et des corps peu différents de la sphère connus sous le nom générique ie sphéroïdes . Ces travaux étaient commandés par les besoins de la mécanique céleste.
SECTION I
