ATTRACTION OES ELLIPSOÏDES ET D^N ANNEAU ELLIPTIQUE

Attraction des ellipsoïdes, — Newton (*) réussit à déterminer F attraction d'un ellipsoïde de révolution sur un point de Taxe de figure, et démontra les deux propositions suivantes : Une couche comprise entre deux c/lipsoïdes concentriques y semblables et semblablement placés, n* exerce aucune action sur un point intérieur, Deux ellipsoïdes de rév^olution concentriques, semblables

(*) Priacipia, lib. I, prop. 91.

3lO MéCAMIQUE RATIONNELLE.

et semblablement placés, exercent sur deux points de leurs surfaces situés sur un même rayon, mené du centre, des attractions dirigées suii^ant la même droite et dans le rapport des distances au centre. Ceci ramenait déjà la recherche de rattractiou sur uu point inlérieur à celle de TaUraclion sur un point de la surface. Maclaurin (*) acheva celle partie du problème, en déterminant Tattraction d'un ellipsoïde de rcvolulion sur un point de sa surface. Il put encore trouver Ta tti action sur un point extérieur, lorsque celui-ci est situé dans le plan de Téquateur. Le môme géomètre démontra que deux ellipsoïdes homofocaux, et d'ailleurs quelconques, exercent sur un même point, situé sur le prolongement de Vun des axes principaux, des attractions dirigées suiuant la même droite et proportionnelles à leurs masses. C'est la proposition connue sous le nom de théorème de Maclaurin, Lagrange (**) étendit ce théorème à tout point extérieur situé dans un plan principal.

Legendre (***) acheva la théorie de Faltraction pour un ellipsoïde de révolution, et soupçonna l'extension du théorème de Maclaurin à un point extérieur quelconque. Laplace (♦***) démontra cette extension, et résolut complètement le problème derattraclion d'un ellipsoïde quelconque sur un point situé comme on voudra^ mais sa solution est extrêmement compliquée.

Depuis ce temps, plusieurs solutions ont été publiées. Nous citerons les plus remarquables. La solution dtr

{') De causa physica fluxus et rejluxus maris, Prix de rAcadémie de Science» de Paris, t. IV. — Traité des fluxions, llv. I, chap. xiv.

(**) Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin^ ^11^'

(***) Smanls étrangers (AcadémiQ des Sciences), t. X, 1785.

(*"**) Mémoires de P Académie des Sciences de Paris, 1782. — Mécamif* céleste f liv. III, chap. 1.

STATIQUE. 3ll

M. Ivory {*) ramène à la recherche de rattraction sur un poinl intérieur celle de ratlraciion sur un point extériear, qui était réputée jusqu'alors beaucoup plus difficile. La solution de Gauss (**) est très- remarquable par sa simplicité. Parmi les diverses solutions publiées par M. Chasles (***), il en est une fort simple, fondée sur la Géométrie. Plnfin M. Dirichlet (♦**♦) ramène à des intégrales simples les intégrales triples qui mesurent Tattraction, en se servant d'un artiGce d'analyse fort ingénieux, qui consiste à multiplier la quantité comprise sous les

signes f par un facteur qui est égal à Tunité entre les

limites des intégrales, et qui se réduit à zéro en dehors de ces limites.

Nous rapporterons brièvement la méthode de Gauss, parce qu^elle est peu connue, et consiste presque tout entière dans des théorèmes généraux susceptibles d'un grand nombre d'applications.

1. Tliéorèmes préliminaires, — Ces théorèmes, fondements de la méthode, ont pour but de ramener les inté- S**dles triples à des intégrales doubles. On y considère un c^orps terminé par une surface absolument quelconque, c^ w peut se composer de plusieurs parties isolées.

Soient :

OX, OY, OZ des axes rectangulaires ^

d$ l'élément de surface au point P dont les coordonnées ««ntx,jr, z-

(*) Phitosophical Transactions, 1809.

(**) Commenlaliones Soc. reg. Se. Gottingensis recentioresy t. H, i8i3.

(•"*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. VI, i838, * ^^«emcslre, p. 90a. — Journal de Bl. Liouville^ t. V, i8/|0, p. 4C5.

(*••*) Académie de Berlin, 1839. — Comptes rendus des séances de *• 'Àctidétnie des Sciences de Paris, t. VIII, 1839, i" sem., p. id6.

3ia MÉCANIQDB RATION HELLE.

Ja la valeur numérique de la projection de rélémei ds sur le plan ZOY ;

PN la normale extérieure au point P^ c'est-à-dire normale qui se dirige hors du corps ;

(Na) Tangle que la direction PN fait avec l'axe des

positifs;

M un point matériel attiré par le corps \

ria distance du point M à un point du corps, prise <

valeur numérique.

Théorème I. — L'intégrale j cos (5iX) ds étendue toute la surface du corps est nulle.

En effet, l'élément de celte intégrale, cos (NX) ds^ i égal à — rfff ou à + rfa, suivant qu'on entre dans le cor ou qu'on en sort par l'élément de surface ds^ quand < suit dans le sens de l'axe des x une parallèle à cet a menée par l'élément d<j. Mais, en suivant toute la lo gueur de celte droite, on entre dans le corps et l'on sort un même nombre de fois; donc les éléments de l'i t^rale qui ont la même projection dtj se détruisent de à deux. Par suite, l'intégrale est nulle.

Théorème H. — Le volume du corps est représet

par Vintégrale j x cos (NX) ds, étendue à toute la Si face.

En effet, d'après ce que Ton a dit au théorème préc dent sur la double valeur du produit cos(NX)di, éléments de l'intégrale actuellement considérée qui se situés dans le petit cylindre élevé sur la base da parai lement à l'axe des Xy font une somme précisément ég; au volume de la portion du corps qui est renfermée da ce petit cylindre.

STATIQUE. 3l3

Théorème III. — Si Von suppose le co/ys homogène, que l'on représente parf(r) r attraction fie l'unité de

masse à la distance r, et que Ton fasse j f (r) dr =:F (r) ^

/'attraction du corps sur le point M, estimée suivant la riirection des x positifs, sera représentée par l'intégrale

F (r) cos {NX)rf5, étendue à toute la surface.

CoDSÎdéroDS un élément de volume renfermé dans le petit cylindre de base da^ entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x et très-voisins Tun de Tautre. Représentons par (MX) l'angle que fait la direction de Taxe des .X positifs avec la droite qui joint Télément de volume au point M. L*attraction de Téiément de volume estimée suivant Taxe des x sera

'-dfT/(r)cos(^X)dx.

Or cos (MX) //x est la projection de Taccroissement dx sur la droi le qui joint Télémcn t de volume au point M ; c'est donc raccroissement correspondant dr changé de signe. Il s'ensuit que l'attraction élémentaire est dGf(r)dr, Pour obtenir Tattraction de toute la partie du corps qui est renfermée dans le petit cylindre de base da, il faut former Tin légrale indéGnie rfaF(r), donner successivement à r les valeurs correspondantes aux éléments de surface ds découpés par le petit cylindre, affecter les résultats du signe — ou du signe -h suivant qu'on entre dans le corps ou qu'on en sort en traversant Télément ds dans la direction des x positifs, puis faire la somme des termes obtenus. Mais, d'après ce qu'on a dit plus haut, ceci

revient à faire la somme des éléments F (r) cos (NX) ds <{ui appartiennent au cylindre considéré^ si donc on

3l4 MÉCAHIQUE RATIOHlfSLLB.

étend cette somme à toute la surface, on aura rattraction totale.

Les trois théorèmes suivants se rapportent plus spécialement aux coordoDuécs polaires. Nous conserverons la même notation, si ce n'est que da représentera Télément de surface découpé sur une sphère décrite de M comme centre avec un rayon égal à Tuniié, par un petit cône dont le sommet est en M pt dont les arêtes s'appuient sur le contour de l'élément de surface ^.v. De plus, nous représenterons par (NiVI) Tangle que la normale extérieure PN à Télément d^ fait avec la direction PM.

Théorème IV. — L'intégrale l — —j~ — étendue à

toute la surface du corps est nulle, égale à — ^it ou^ égale à — 2 7r, suiy^ant que le point M est extérieur corps, intérieur au corps ou situé sur la surface.

En effet, décrivons une sphère de M comme centre ave» ^^^c

un rayon égal à la distance r du point M à Télément ds^^J^$.

La surface découpée sur cette sphère par le petit rftn^ m\v

dont on a parlé sera

/\ r'^ddy ou bien dlcos(NM)A,

le signe + se rapportant au cas où le rayon mené du poui^Snl M à rélénienl ds entre dans le corps en traversant ^^mcet élément, et le signe — se rapportant au cas où le ray^^oo sort du corps. On a donc

±da=: — 5

les signes étant réglés par la même loi.

Or, si le point M est extérieur au corps, chaque rmyon entrera dans le corps et en sortira un même nombre de

STATIQUE. 3l5

fois; donc, dans ce cas, Tinlégrale i — ^ — ^-^ — étendue

i tonte la surface sera nulle.

Si le point M est intérieur au corps, chaque rayon sortira une fois de plus qu il n'entrera; donc, dans ce cas, l'int^rale étendue à toute la surface du corps se réduira

à l'intégrale — 1 da étendue à toute la surface de la

sphère sur laquelle sont situés les éléments r/cr, c'est-àdire que sa valeur sera — 4^-

Si le point M est situé sur la surface, ce point peut être considéré comme extérieur relativement à la partie du corps qui est située du côté de la normale extérieure par rapport au plan tangent au point M; il peut être considéré comme intérieur relativement à l'autre partie du corps. Par suite, l'intégrale aura pour valeur la surface de la demi-sphère sur laquelle sont situés les éléments </a, prise négativement, ou — 27r.

CoBOLLÂiKE. — Si l'on représente par G une fonction raitionnelle de cos(MX), cos(Mi), cos(iMZ), l'intégrale

Gco$(NM)r/f , 1 , 1 r 11

-9 étendue a toute la surface, est nulle toutes

les fois que le point M est extérieur au corps; car la fonction G conserve la même valeur tout le long d'un ^ïiême rayon.

Théorème V. — Le volume du corps est représenté P^r r intégrale — "^ t ^ ^^^ ÇtiM) ds, étendue à toute la ^^face.

Ce théorème se démontre de la même manière que le théorème II, en observant que le volume du petit cône

3l6 xéCAMQUE RATIONKELLE.

terminé à rélénicnt ds est

-^r.r^dfT ou ± ^ '•cos(NM)d!f ,

le signe étant choisi comme dans le théorème précédent.

Théorème VI. — Si Von suppose le corps homogène, ,^ que Von représente par f[r) V attraction de V unité de -^e^

masse à la distance r, et que Von fasse j f^f{r) rfr=cf (f), .^^^^ ^

V attraction du corps sur le point M, estimée suivant la^s:^ direction des x positifs, sera représentée par Vintcgral^^^

©(r) cos(NM)cos(MX)r/f . ■ , , ,

-ï-^— ^ ^ étendue a toute la surface ^^

pourvu que le point M soit extérieur ou intérieur a ,^^ corps. Si le point M était situé sur la surface^ il faudra -mû

ajouter à l'intégrale précédente le terme Try (o) cosM^^^ ^^

Mx désignant Vangle que la normale extérieure cm^// point M fait avec Vaxe des x positifs.

En effet, rattraclion exercée suivant Taxe des x ^^ar

Télément de volume qui est renfermé dans le petit c^mie

dont la base est ds^ entre deux sphères de rayons r et

r -h dr^ est égale à

— r^dfj.f[r) ces (MX) r/r.

Il s^ensuit que Tatiraction de tout le cône terminé â la surface ds^ s'il était rempli d'une matière homogène 9

serait égale à ^^^[^(o) — ç (r)]cos(MX), ou bien 9

. [?(o)~<p(r)lcos(NM)cos(MX)^5 , . . .

± ^-^ ^^—^ \ ^^ — ï le signe -+- répon—

dant au cas où le rayon mené du point M à travers la sur-^ face ds entre dans le corps en traversant cette surface» etle signe — répondant au cas où ce rayon sort du corps^ Diaprés cela, l'attraction de tout le corps sera représentée^

STATIQUE. 3l7

•ar la somme

rf(r) co%(^M]cos{MX) (is , , fcos(NM)cos(MX)iij

Or, si le point M est extérieur au corps, les éléments e la seconde intégrale qui sont situés sur un même rayon ^nt deux à deux égaux et de signe contraire; par suite, Btte intégrale est nulle.

Si le point M est intérieur, les éléments de la seconde iCégrale qui sont situés sur un même rayon se détruisent

ncore, sauf l'un d'eux q^i est — cos{MX)rf<T; en sorte ue cette intégrale se réduit à la somme

cos(MX)£fo',

tendue à toute la surface de la sphère et changée de igné. Mais, le rayon étant normal â la surface de la phère, cette dernière intégrale est encore nulle^ en vertu lu théorème I.

Enfin, si le point M est situé sur la surface, la seconde nlégrale est nulle, lorsqu'on Tétend à la partie du corps pii est située du côté de la normale extérieure par rap- K)ri au plan tangent au point M. Cette même intégrale étendue à Tautre partie du corps a pour valeur r y\

— / cos(MXjrf<r.

la somme s'étendanl à la surface de la demi-sphère qui ^l située par rapport au plan tangent d'un même côté que la partie du corps considérée. Or, d'après le théoïime I, si Ton nomme dxs 1 élément de surface du grand cercle suivant lequel le plan langent coupe la sphère, on a la relation

— I cos(MX)r/(T-f- icosM,dm-—0,

3l8 MÉCANIQUE rXtIONHBLLB.

OÙ la première intégrale est celle qu'il s'agit de ci et où la secgnde inlégrale s'étend à la surface di cercle et, par suite, a pour valeur tt cosM,. â: théorème est complètement démontré.

Le terme additionnel tt^ (o) cos (Mj^) est nul da; de la nature^ car, dans celte loi, (f (r) est égal aa de r par une constante. Ce terme^est infini lorsq traction est inversement proportionnelle au cuL une puissance plus élevée de la distance; il s'ensi pour une loi d^ attraction inversement proportî au cube ou à une puissance plus élevée de la di tout corps exerce sur un point de sa surface une tion infinie.

Distinction entre les deux directions de la noi une sur/ace. — Pour appliquer les théorèmes préc il faut savoir distinguer la normale extérieure de maie intérieure, lorsque Téquation de la surface e née en coordonnées rectangulaires.

Soit V = o l'équation de la surface, et posons

Les cosinus des angles que la normale au point avec les axes des x, des^ et des z sont respeciivem

u^, vÇ, vÇ.

dx dy dz

Le radical de la fonction U doit être pris avec k signe dans les trois cosinus qui répondent à une direction ; mais on ne voit pas à priori quel est 1 qui convient à la normale extérieure, quel est ce convient à la normale intérieure.

Pour lever cette ambiguïté, portons sur la n

STATriQUE. , 3 19

exlérîeure à partir du point P, pris sur la surface, une très-pclile longueur PP' = di^é Quand nous passerons du point P au point P', les accroissements des coordonnées

seront

dx=zdi^ cos (NX), rif = rff^cos(NY), riz — du cos(NZ).

Par suite, la fonction V, qui est nulle au point P, aura au point P' la valeur

on bien

cos(NX)H cos{^Y)-♦- — cos(lNZ) h

dz)

D'après cette expression, où dv^ est essenliclleraent positif, on a la règle suivante : Le radical qui entre dans les \ 'Videurs des cosinus relatifs à la normale extérieure doit L éire pris positif ou négatif suiy^ant que la fond ion y m devient positivée ou négatiy^e pour les points extérieurs au \ corps et situés dans le voisinage du pied de la normale.

1 Expression de Vêlement de surface en coordonnées I oavilignes, — Les intégrales qui font T objet des théo- 'imesprécédeuts étant relatives à des surfaces, il convient, pour les évaluer, de prendre comme lignes coordonnées tnx lignes tracées sur la surface même et variables suivant une loi conventionnelle avec deux paramètres p ciq. Us valeurs de ces paramètres auxquelles correspondent les lignes qui se coupent en un point déterminé de la surs kct sont» les coordonnées de ce point, puisqu'elles en faentla position.

L élément de surface ds sera le petit quadrilatère com- I^ |rii entre les lignes correspondantes aux paramètres p, ^^-hdp, Çi g -hdq. Il s'agît d'exprimer la surface de ce dît quadrilatère en fonction de p^ q^ dp et dq.

fcfti

320 MécARiQinB rXtioknblle.

Concevons que Xy y et z soient exprimés en /? et ^, à Faide de Téquation de la surface, et des deux relations établies entre ces cinq variables par la définition même des nouvelles lignes coordonnées. Soient X et W les dérivées partielles de x par rapport à p et k ç^ (jl et [a' celles de^, V et v' celles de z.

Les sommets du petit quadrilatère ds^ pris dansFordr^^ où ils se présentent quand on suit le contour dans un mêm^^ sens, ayant pour coordonnées, dans le nouveau système^^ (P^Ç)AP^dp^^)i (P'^^PyÇ'+-dç)(p,ç^d(i), 1^^ coordonnées des mêmes sommets seront, dans le systèn^^^ rectangulaire,