X- j^—^dpdq

De plus, le théorème IV dit que l'iutégrale

est égale à o quand le point attiré est extérieur, et égale ^

— ABr ^^^"^ ^^ point attiré est intérieur.

A Taide de ces formules on peut arriver à connaître ^ * valeur de f, en comparant, l'attraction de rellipsoï^c^^^ donné avec celle des ellipsoïdes homofocaux. Pour cek- ^^* ' on considère A, B, C comme des valeurs particulières ^at *-" tribuées à des variables a, P, y, qui sont assujetties a "«-■ ^ relations

a' — P^ = const., a^ — 7' = const.

Alors la formule (i), appliquée à l'un quelconque clc*5

STATIQUE. 3a3

îpsoïdes homofocaux, peut s'écrire

a Ton étend cette formule à uu ellipsoïde homofocal Iniment voisin, ce qui se fait par une différentiatiou re- 17e aux variables âc, /3, y, et que Ton désigne par la catéristique d les accroissements correspondants aux ac- •issements simultanés de ces variables, il vient

rSr= —(a —or) Sx — [^ —y)^X — (c — z)$z. } d'après les expressions de j:, jj z en p et ^,

l'aîlleurs,

peut donc

écrire

te formule, combinée avec celle qui précède, donne, observant que a. cosp = x,

-"X'Xl'-^-^-^'^

"" r^(« — ^) ^ fi^—r) ^ z(c'-z)'

le cette équation on retranche l'équation (2) mulli- ^e par oa et appliquée à un ellipsoïde homofocal quel-

conque* il vient

L'intégrale qui figure ici n'est autre que l'int^rale (3 ^ « par conséquent, on a

quand le point attiré est extérieur, et

quand le point attiré est intérieur. Il n*y a pas lieu à cou sidérer ici le cas où le point attiré est situé sur la surface ^ car, dans ce cas, on ne peut faire varier a sans que 1"^^ point devienne extérieur ou intérieur.

Point extérieur, — L'équation (4) montre que lésai

tractions de deux ellipsoïdes homofocaux sur un mèm^ point extérieur sont dirigées suivant la même droite, et sont proportionnelles aux masses des ellipsoïdes. Cette proposition étant vraie quelle que soit la distance du point à la surface, il s'ensuit que la proposition est encore applicable lorsque le point attiré est situé sur la surface; pourvu, toutefois, que l'attraction varie d'une manière continue quand le point attiré s'approche de la surface jusqu'au contact. Cette condition est satisfaite dans la loi

de la nature: car l'attraction ^- de l'élément de masse

qui est infiniment rapproché du point attiré est un infi* niment petit, qui disparaît à la limite dans l'attraction totale, puisque dm est un infiniment petit du troisième ordre et r* un infiniment petit du second ordre.

STATIQUE. 3a5

D'après cela, pour auoir Vaitixiction d'un ellipsoïde

sur un point extérieur, il faudra d^ abord déterminer y

/parmi les ellipsoïdes homofocaux à V ellipsoïde donné ^

celui dont la surface passe au point attiré-^ puis calculer

i ^attraction de ce nouvel ellipsoïde sur le point donné,

lequel est situé à la surface^ et enfin réduire V attraction

obtenue dans le rapport de la masse de Vellipsoïde

<fo#»/ié à la masse de V ellipsoïde homofocal, La première