partie du calcul se réduit à la résolution d'une équation du
troisième degré, qui donne toujours une solution unique.
Lt^ seconde partie sera comprise comme cas particulier
d^Y^s le calcul de l'attraction d'un ellipsoïde sur un point
^^*t.^rîeur.
^oint intérieur. — Il faut se servir de l'équation (5), y sxibstituer à /3, 7 leurs valeurs en «, A, B, C, tirées des »"el étions
a' - p» ^: A' — BS a» — 7= = A' - CM
p\:&is, posant - = u, on devra intégrer à partir d'une valeur de II pour laquelle ^ soit nul, jusqu'à la valeur 11 == i qui répond à l'ellipsoïde considéré. Or l'équation (1), dans laquelle on remplace A par «, montre que | est nul lorsque a est infini ; car alors tous les éléments de l'intégrale sont nuls. Les limites seront donc u = o ci u = i : el Ton aura finalement, pour un point intérieur,
(6] X- 4^f*pBCa /*» uyiu
^ette valeur étant exacte, quelque rapproché de la surlace qm; soit le point attiré, elle conviendra lorsque ce V^^^t sera situé sur la surface. On en déduira facilement
3a6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
les théorèmes de Newton étendus à un ellipsoïde q\ conque.
L'intégrale qui entre dans la formule (6) ne peut s* tenir sous forme finie que dans le seul cas où Tellipso est de révolution.
Supposons que V ellipsoïde soit de révolution auti de l'axe des x.
Il faut poser B == C; alors, désignant par v une qu tité égale à l'unité quand le point attiré est intérieur situé sur la surface, et égale à la racine positive de quation
quand le point attiré est extérieur, on arrive aux mules suivantes :
I® B* > A* ; V ellipsoïde est aplati.
Posant X' = -- — I , en sorte que -- X soit Pexcentr
de Tellipse méridienne, on a, d'après la formule (6 les formules analogues relatives aux deux autres coordonnés,
Xu — arctaDg.^'j
47rfxp(i+V)
nV
a® B' < A' 5 V ellipsoïde est allongé. Les formules {7) subsistent encore, pourvu que Te regarde X comme une quantité imaginaire^ égale au |
duit de l'excentricité i/ i — ~ par le symbole ^- Pour mettre ces formules sous forme réelle, il suffi
poser r— = 65 alors 0 représente rexcenlricîté de Fel-
lipse méridienne, et Ton a
